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    巧婦能為無米之炊
    ——以三角方程為例

    2020-02-12 09:23:08■趙
    關(guān)鍵詞:方程組本題比例

    ■趙 煒

    一般來說,一個(gè)方程一個(gè)未知數(shù),兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)才能夠解出唯一解。但是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中往往會(huì)發(fā)現(xiàn)一些反常的情況,比如一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)能夠解出唯一解,又如兩個(gè)方程五個(gè)未知數(shù)能夠解出一個(gè)定比例關(guān)系。對(duì)于這種未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的情況,下面我們就以三角方程為例進(jìn)行分析。

    一、一元二次三角方程

    例1設(shè)α,β∈(0,π),且cosα+cosβ-,求α,β的值。

    評(píng)注:對(duì)于一元二次三角方程,一般情況下解是不確定的,只有特殊情況下才有定解。特殊情況主要有非負(fù)數(shù)之和為0,基本不等式取等號(hào),一元二次方程判別式為0等。

    二、二元一次三角方程組

    例2已知cosα+cosβ=,sinα+sinβ=,求cos(α-β)。

    解:兩式平方相加得2+2cos(α-β)=,推出cos(α-β)=。

    評(píng)注:這是人教版教材必修四P147的一道習(xí)題,它本質(zhì)上是四個(gè)方程四個(gè)未知數(shù)(考慮到sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1),但用解方程的方法解出這四個(gè)未知數(shù)再計(jì)算cosα-β( )將會(huì)非常煩瑣。

    希爾伯特說過:“數(shù)學(xué)問題的寶藏是無窮無盡的,一個(gè)問題一旦解決,無數(shù)新的問題就會(huì)取而代之?!比绻覀兯伎几话愕膯栴}呢?

    問題1:設(shè)cosα+cosβ=m,sinα+sinβ=n,當(dāng)m,n∈R滿足什么條件時(shí)有解?

    由萬能公式得

    問題2:α,β的具體值能求出嗎? (有些同學(xué)對(duì)例1 的方法始終難以接受,因?yàn)槲覀兪冀K未把α,β求出來,下面我們就利用反三角函數(shù)把α,β表示出來)

    解:由問題1中的①③兩式知

    評(píng)注:兩式相加減即可解出α,β。當(dāng)然,一般情況下α,β有無窮多組解。即使取k1=k2=0,考慮到方程組兩式各有正負(fù)性兩種選擇,此時(shí)α,β也有四組解。

    三、多元一次三角方程組

    例3已知abc≠0,φ+θ≠mπ,φ-θ≠nπ,m,n∈Z,且求證:。

    解法一:兩式相減得a(cosθ-cosφ)+b(sinθ-sinφ)=0,和差化積得·,即,所 以。設(shè),則a=。

    代入原式得c=kcoscosθ+。所以。

    解法二:已知兩點(diǎn)A(cosθ,sinθ),B(cosφ,sinφ)都在直線ax+by=c上,但點(diǎn)A,B又決定一條直線(cosθ-cosφ)(y-sinφ)=(sinθsinφ)(x-cosφ),化 簡(jiǎn) 得xcos+。又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定唯一一條直線,所以兩直線重合,故有對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例,即。

    評(píng)析:本題只有兩個(gè)方程,而卻有a,b,c,θ,φ五個(gè)未知數(shù),解題時(shí)很容易陷入不知所措的境況。解法一觀察到兩式相減可以消去變量c,通過解出a,b的比例關(guān)系,代入原式尋找c的比例關(guān)系,逐層推進(jìn),是一個(gè)可行的方法。而解法二則更勝一籌,通過觀察方程的幾何意義,推導(dǎo)出本題的數(shù)學(xué)本質(zhì),免去了煩瑣的計(jì)算。

    例4已知0<α<β<γ<2π,且sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0。求β-α的值。

    解法一:代數(shù)法。由條件得sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ,兩式平方相加得2+2cos(β-α)=1,則cos(β-α)=。

    因?yàn)?<α<β<γ<2π,所以β-α=或。同理可證γ-β=。若βα=,則γ=(γ-β)+(β-α)+α≥++α>2π,矛盾。故β-α=。

    解法二:向量法。設(shè)=(sinα,cosα),),則原條件化為,,則β-α為向量的夾角,移項(xiàng)得。兩邊平方得cos(β-α)=,解得cos(β-α)=-。后同解法一。

    總結(jié):解法二實(shí)際上證明了一個(gè)在單位圓上的三個(gè)點(diǎn)組成的△ABC滿足重心和外心重合于坐標(biāo)原點(diǎn),則△ABC為正三角形,從而β-α=γ-β=。

    綜合例3、例4我們可以看出,多元的三角方程問題如果就題論題,常常會(huì)一葉障目,不見泰山,導(dǎo)致計(jì)算過程相當(dāng)煩瑣,很可能走彎路。如果從更高的觀點(diǎn)來看,找出題目的幾何意義或物理背景,往往能夠思路更清晰,計(jì)算更簡(jiǎn)潔,取得事半功倍之效。

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