巧婦能為無米之炊
——以三角方程為例

■趙 煒

一般來說，一個(gè)方程一個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)才能夠解出唯一解。但是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中往往會(huì)發(fā)現(xiàn)一些反常的情況，比如一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)能夠解出唯一解，又如兩個(gè)方程五個(gè)未知數(shù)能夠解出一個(gè)定比例關(guān)系。對(duì)于這種未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的情況，下面我們就以三角方程為例進(jìn)行分析。

一、一元二次三角方程

例1設(shè)α，β∈(0，π)，且cosα+cosβ-，求α，β的值。

評(píng)注：對(duì)于一元二次三角方程，一般情況下解是不確定的，只有特殊情況下才有定解。特殊情況主要有非負(fù)數(shù)之和為0，基本不等式取等號(hào)，一元二次方程判別式為0等。

二、二元一次三角方程組

例2已知cosα+cosβ=，sinα+sinβ=，求cos(α-β)。

解：兩式平方相加得2+2cos(α-β)=，推出cos(α-β)=。

評(píng)注：這是人教版教材必修四P147的一道習(xí)題，它本質(zhì)上是四個(gè)方程四個(gè)未知數(shù)(考慮到sin2α+cos2α=1，sin2β+cos2β=1)，但用解方程的方法解出這四個(gè)未知數(shù)再計(jì)算cosα-β( )將會(huì)非常煩瑣。

希爾伯特說過：“數(shù)學(xué)問題的寶藏是無窮無盡的，一個(gè)問題一旦解決，無數(shù)新的問題就會(huì)取而代之?！比绻覀兯伎几话愕膯栴}呢?

問題1：設(shè)cosα+cosβ=m，sinα+sinβ=n，當(dāng)m，n∈R滿足什么條件時(shí)有解?

由萬能公式得

問題2：α，β的具體值能求出嗎? (有些同學(xué)對(duì)例1 的方法始終難以接受，因?yàn)槲覀兪冀K未把α，β求出來，下面我們就利用反三角函數(shù)把α，β表示出來)

解：由問題1中的①③兩式知

評(píng)注：兩式相加減即可解出α，β。當(dāng)然，一般情況下α，β有無窮多組解。即使取k1=k2=0，考慮到方程組兩式各有正負(fù)性兩種選擇，此時(shí)α，β也有四組解。

三、多元一次三角方程組

例3已知abc≠0，φ+θ≠mπ，φ-θ≠nπ，m，n∈Z，且求證：。

解法一：兩式相減得a(cosθ-cosφ)+b(sinθ-sinφ)=0，和差化積得·，即，所 以。設(shè)，則a=。

代入原式得c=kcoscosθ+。所以。

解法二：已知兩點(diǎn)A(cosθ，sinθ)，B(cosφ，sinφ)都在直線ax+by=c上，但點(diǎn)A，B又決定一條直線(cosθ-cosφ)(y-sinφ)=(sinθsinφ)(x-cosφ)，化 簡(jiǎn) 得xcos+。又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定唯一一條直線，所以兩直線重合，故有對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，即。

評(píng)析：本題只有兩個(gè)方程，而卻有a，b，c，θ，φ五個(gè)未知數(shù)，解題時(shí)很容易陷入不知所措的境況。解法一觀察到兩式相減可以消去變量c，通過解出a，b的比例關(guān)系，代入原式尋找c的比例關(guān)系，逐層推進(jìn)，是一個(gè)可行的方法。而解法二則更勝一籌，通過觀察方程的幾何意義，推導(dǎo)出本題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，免去了煩瑣的計(jì)算。

例4已知0＜α＜β＜γ＜2π，且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0。求β-α的值。

解法一：代數(shù)法。由條件得sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，兩式平方相加得2+2cos(β-α)=1，則cos(β-α)=。

因?yàn)?＜α＜β＜γ＜2π，所以β-α=或。同理可證γ-β=。若βα=，則γ=(γ-β)+(β-α)+α≥++α＞2π，矛盾。故β-α=。

解法二：向量法。設(shè)=(sinα，cosα)，)，則原條件化為，，則β-α為向量的夾角，移項(xiàng)得。兩邊平方得cos(β-α)=，解得cos(β-α)=-。后同解法一。

總結(jié)：解法二實(shí)際上證明了一個(gè)在單位圓上的三個(gè)點(diǎn)組成的△ABC滿足重心和外心重合于坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABC為正三角形，從而β-α=γ-β=。

綜合例3、例4我們可以看出，多元的三角方程問題如果就題論題，常常會(huì)一葉障目，不見泰山，導(dǎo)致計(jì)算過程相當(dāng)煩瑣，很可能走彎路。如果從更高的觀點(diǎn)來看，找出題目的幾何意義或物理背景，往往能夠思路更清晰，計(jì)算更簡(jiǎn)潔，取得事半功倍之效。