一類大時(shí)滯對(duì)象控制器參數(shù)尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)仿真研究

楊世勇,劉殿通

(煙臺(tái)大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院, 山東 煙臺(tái) 264005)

在冶金、化工和建材等行業(yè)的工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中,由于物料或能量的傳輸延遲,許多被控對(duì)象都具有純滯后的性質(zhì)．純滯后時(shí)間τ對(duì)控制系統(tǒng)的性能極為不利,它使系統(tǒng)的超調(diào)量增大,調(diào)節(jié)時(shí)間延長(zhǎng)．一般認(rèn)為,廣義對(duì)象純滯后時(shí)間τ與對(duì)象時(shí)間常數(shù)T之比τ/T大于0.5,則稱之為大滯后對(duì)象[1]．τ/T的增加還會(huì)使系統(tǒng)的設(shè)計(jì)十分困難,而且極易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定,嚴(yán)重影響產(chǎn)品質(zhì)量,有時(shí)還會(huì)因?yàn)槌{(diào)嚴(yán)重造成生產(chǎn)事故．另外,大時(shí)滯系統(tǒng)也是能耗大戶．因此,研究大時(shí)滯系統(tǒng)的優(yōu)化控制,無(wú)論是對(duì)于提高產(chǎn)品質(zhì)量、安全生產(chǎn),還是對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和減少環(huán)節(jié)污染,都具有重要意義,長(zhǎng)期以來(lái)都是控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[2-6]．

在控制器的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中,目標(biāo)函數(shù)的選擇是重要的決策之一．即使是針對(duì)同一對(duì)象,采用相同的控制率和尋優(yōu)算法,如果目標(biāo)函數(shù)不同,控制效果會(huì)差異很大．傳統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)通常分為兩大類[1],一類是直接根據(jù)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)特性提出來(lái)的,如系統(tǒng)在階躍作用下的上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量等;還有一類是誤差積分型目標(biāo)函數(shù),它是系統(tǒng)希望輸出與實(shí)際輸出之差的某個(gè)函數(shù)的積分．然而,對(duì)于具有大時(shí)滯、大慣性、多擾動(dòng)的復(fù)雜對(duì)象,如果采用這些常規(guī)的目標(biāo)函數(shù)對(duì)控制器參數(shù)尋優(yōu),通常無(wú)法達(dá)到期望的控制效果．因此,針對(duì)復(fù)雜對(duì)象,通過(guò)研究和改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)的途徑來(lái)優(yōu)化控制器參數(shù)以提高其控制品質(zhì),成為人們研究的熱點(diǎn),并且通常以“在常規(guī)目標(biāo)函數(shù)中再增加一些環(huán)節(jié)(約束條件),并通過(guò)對(duì)各環(huán)節(jié)加權(quán)平衡來(lái)達(dá)到系統(tǒng)綜合最優(yōu)”為基本原則,提出了各種改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù)[7-10]．例如,文獻(xiàn)[7]針對(duì)一類大時(shí)滯對(duì)象控制系統(tǒng)超調(diào)量大的缺陷,將誤差變化率引入到誤差積分型目標(biāo)函數(shù)中,并用黃金分割法平衡誤差與誤差變化率的權(quán)重,改善了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能;文獻(xiàn)[8]則同時(shí)將超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間引入到誤差積分型目標(biāo)函數(shù)中,將誤差積分指標(biāo)、超調(diào)量指標(biāo)和調(diào)節(jié)時(shí)間指標(biāo)三者的權(quán)重進(jìn)行綜合分析,設(shè)計(jì)了一種適合大慣性對(duì)象的綜合型目標(biāo)函數(shù),獲得較好的預(yù)期效果;而文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]則根據(jù)系統(tǒng)的特點(diǎn)和要求,分別將控制量和輸出量添加到常規(guī)的目標(biāo)函數(shù)中,其平衡權(quán)重的方法也各有特色,均收到了良好的控制效果．然而,在上述這些改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù)中,都不包含對(duì)象的特性參數(shù),如果對(duì)象的特性發(fā)生大的變化,系統(tǒng)的適應(yīng)能力會(huì)比較差,控制品質(zhì)會(huì)有所下降．

本文在常規(guī)誤差積分型目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上,提出一種改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù),不僅適合于一類大時(shí)滯對(duì)象的控制器參數(shù)尋優(yōu),而且還能夠有效地克服因?qū)ο筇匦愿淖兯鶐?lái)的不利影響,在適應(yīng)能力方面較其他的改進(jìn)方案更有優(yōu)勢(shì)．最后用仿真結(jié)果證明,基于改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù)所尋控制器參數(shù)的控制性能,明顯優(yōu)于常規(guī)的目標(biāo)函數(shù)．

1 被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型

某鋼鐵廠軋鋼車間在對(duì)工件軋制前,必須將工件加熱到某設(shè)定溫度,圖1是一個(gè)加熱工段的溫度控制系統(tǒng)[1]．

在圖1所示的加熱爐控制系統(tǒng)中,共采用溫度變送器TT共6臺(tái),高值選擇器HS共3臺(tái),Σ是加法器,I/P是電-氣轉(zhuǎn)換器,另外還有1臺(tái)PID調(diào)節(jié)器．通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得加熱爐的數(shù)學(xué)模型為式(1):

(1)

溫度傳感器與變送器的數(shù)學(xué)模型為式(2):

(2)

因此,廣義被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型為式(3):

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[1],因1/(10s+1)≈e-10s,所以式(3)可轉(zhuǎn)化為式(4):

(4)

式(4)即為最終得到的廣義對(duì)象數(shù)學(xué)模型．

因?yàn)樯鲜鰧?duì)象的時(shí)滯比τ/T=90/120=0.75>0.5,若采用常規(guī)方法整定PID參數(shù),很難得到滿意結(jié)果．對(duì)于這類大時(shí)滯對(duì)象,工程上通常采用Smith預(yù)估補(bǔ)償方案[1],但該補(bǔ)償方案對(duì)于對(duì)象模型的精度和相對(duì)穩(wěn)定性要求很高,而加熱爐在實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程中,負(fù)荷和環(huán)境會(huì)經(jīng)常發(fā)生變化,其對(duì)象特性也會(huì)隨之發(fā)生變化,一旦對(duì)象的特性發(fā)生大的變化時(shí),會(huì)出現(xiàn)欠補(bǔ)償或過(guò)補(bǔ)償,系統(tǒng)中就會(huì)出現(xiàn)既有超前項(xiàng),又有滯后項(xiàng),性能指標(biāo)會(huì)發(fā)生惡化[2]．因此,為了提高控制品質(zhì),考慮采用PID控制器參數(shù)尋優(yōu)的方案設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)．

2 基于常規(guī)目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)尋優(yōu)與仿真

2.1 常規(guī)誤差積分型目標(biāo)函數(shù)[2,11]

圖2是一閉環(huán)控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖．所謂誤差積分型目標(biāo)函數(shù),就是系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程中,被控量c(t)偏離其新穩(wěn)態(tài)值c(∞)的誤差e(t)沿時(shí)間軸的積分,即圖2中陰影部分的面積,定義誤差函數(shù)為e(t)=c(∞)-c(t),所謂性能最優(yōu)的系統(tǒng),就是使這個(gè)積分值減至極小的系統(tǒng)．顯然,無(wú)論是偏差幅度增大,還是過(guò)渡過(guò)程時(shí)間拖長(zhǎng),都會(huì)使誤差積分值增大,所以陰影部分的面積越小,則系統(tǒng)的性能指標(biāo)就越好,因此誤差積分型指標(biāo)是一類綜合指標(biāo)．

常規(guī)的誤差積分型目標(biāo)有如下4種:

(1)誤差平方積分型(ISE):

(5)

(2)時(shí)間乘以誤差平方積分型(ITSE):

(6)

(3)誤差絕對(duì)值積分型(IAE):

(7)

(4)時(shí)間乘以誤差絕對(duì)值積分型(ITAE):

(8)

從圖2可以看出,目標(biāo)函數(shù)(5)和(7)即ISE和IAE的大小主要取決于左起第1塊陰影面積,但在一般情況下,系統(tǒng)的超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts主要由左起第2塊陰影面積大小來(lái)反映,因此還應(yīng)該加上這第2塊陰影面積的份額,處理方法是分別將它們乘以時(shí)間函數(shù)t作為權(quán)系數(shù),所以也就相應(yīng)地出現(xiàn)了(6)和(8)2種目標(biāo)函數(shù)．

2.2 PID參數(shù)尋優(yōu)與仿真

加熱爐控制系統(tǒng)的PID參數(shù)尋優(yōu)原理如圖3．

Fig.3 Schematic diagram of PID parameters optimization

圖3中目標(biāo)函數(shù)分別為上述的4種類型,被控對(duì)象為式(4)的加熱爐數(shù)學(xué)模型,PID控制率傳遞函數(shù)為式(9):

Gc(s)=kp+ki/s+kds,

(9)

其中:kp,ki和kd分別為比例、積分和微分系數(shù)．

根據(jù)圖3的尋優(yōu)原理,在Matlab環(huán)境下構(gòu)建閉環(huán)控制系統(tǒng),并采用單純形法[11-13]對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu),尋優(yōu)初始值取為

kp0=0.970 8,ki0=0.002 73,kd0=86.266,

得到4組基于4種目標(biāo)函數(shù)的PID參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果:

(1)ISE:kp*=1.557 6,ki*=0.007 7,kd*=53.928 2;

(2)ITSE:kp*=1.418 1,ki*=0.007 4,kd*=47.433 4;

(3)IAE:kp*=1.214 7,ki*=0.006 8,kd*=35.872 6;

(4)ITAE:kp*=1.101 2,ki*=0.006 5,kd*=27.945 5.

分別將4組PID控制器參數(shù)帶入加熱爐控制系統(tǒng),得到系統(tǒng)在階躍輸入下的4組輸出響應(yīng)對(duì)比曲線如圖4,仿真數(shù)據(jù)結(jié)果如表1．

表1各類目標(biāo)函數(shù)仿真結(jié)果

Tab.1 Simulation results of all types of objective functions

序號(hào)目標(biāo)函數(shù)δ/%tp/sts/s 1ISE17.65214700 2ITSE12.00225504 3IAE5.42247380 4ITAE3.50258302

仿真結(jié)果分析:

(1) 當(dāng)以ISE為目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)時(shí),其平方項(xiàng)對(duì)較大誤差有較強(qiáng)的抑制作用,較少考慮小誤差,無(wú)時(shí)間約束,系統(tǒng)在起始階段有迅速減小誤差的傾向,響應(yīng)速度快,峰值時(shí)間短,但超調(diào)量很大,調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng),相對(duì)穩(wěn)定性很差,如圖4的點(diǎn)線;目標(biāo)函數(shù)ITSE是在ISE的基礎(chǔ)上加上了時(shí)間權(quán),兼顧了快速性與平穩(wěn)性,動(dòng)態(tài)性能較ISE有所改進(jìn),但超調(diào)量仍然較大,如圖4的點(diǎn)劃線．

(2)用IAE尋優(yōu)與ISE相似,也沒(méi)有時(shí)間上的約束,但是對(duì)超調(diào)量的抑制能力較ISE更強(qiáng),然而調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng),如圖4的虛線;類似地,目標(biāo)函數(shù)ITAE是在IAE的基礎(chǔ)上加上了時(shí)間權(quán),超調(diào)量進(jìn)一步減小,調(diào)節(jié)時(shí)間最短,綜合性能最佳,如圖4的實(shí)線．

從仿真結(jié)果可以看出,以ISE和ITSE為目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)的控制器參數(shù)使系統(tǒng)的超調(diào)量過(guò)大(超過(guò)10%),根本無(wú)法滿足實(shí)際的需要;而以ITAE為目標(biāo)函數(shù)時(shí)系統(tǒng)的綜合性能指標(biāo)最好,但該目標(biāo)函數(shù)中不包含對(duì)象的特征屬性,當(dāng)對(duì)象的特性發(fā)生變化時(shí),如純滯后時(shí)間τ、慣性時(shí)間常數(shù)T,由其是時(shí)滯比τ/T的改變,會(huì)導(dǎo)致控制品質(zhì)的下降,無(wú)法保證系統(tǒng)有足夠的穩(wěn)定裕度,為了提高系統(tǒng)的適應(yīng)能力,有必要將該目標(biāo)函數(shù)作進(jìn)一步改進(jìn)．

3 改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù)及其參數(shù)尋優(yōu)與仿真

3.1 改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù)[7-9,14-15]

對(duì)常規(guī)誤差積分型目標(biāo)函數(shù)的改進(jìn)通常需要解決2個(gè)基本問(wèn)題,一是根據(jù)系統(tǒng)的需求添加何種環(huán)節(jié);二是如何平衡好各個(gè)環(huán)節(jié)的權(quán)重,以達(dá)到系統(tǒng)性能整體最佳．其中,添加何種環(huán)節(jié),取決于所要解決優(yōu)化控制問(wèn)題的主要矛盾;而如何平衡好各個(gè)環(huán)節(jié)的權(quán)重,是實(shí)現(xiàn)改進(jìn)方案的關(guān)鍵技術(shù)手段．通過(guò)對(duì)前面加熱爐對(duì)象動(dòng)態(tài)特性的分析,以及對(duì)誤差積分型目標(biāo)函數(shù)的研究,結(jié)合大量仿真試驗(yàn)進(jìn)行綜合與整定,提出下列在ITAE基礎(chǔ)上的改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù)(Improved ITAE),簡(jiǎn)稱為IITAE,如式(10):

(10)

其中,c1和c2是平衡絕對(duì)誤差和誤差變化率的權(quán)系數(shù),且:

c1=[(t-τ)/T+a],c2=|t-τ-bT|,

關(guān)于IITAE的幾點(diǎn)說(shuō)明:

(1)首先,為了更有效地抑制超調(diào)量,改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,在IITAE中增加了誤差變化率環(huán)節(jié)．

(2)在權(quán)系數(shù)中包含了對(duì)象動(dòng)態(tài)特性信息,例如τ是對(duì)象時(shí)滯時(shí)間,T是對(duì)象慣性時(shí)間常數(shù),因?yàn)檠芯康氖谴髸r(shí)滯對(duì)象,動(dòng)態(tài)過(guò)程是從τ時(shí)刻才開(kāi)始的,所以用(t-τ)替代了時(shí)間t．

(3)在c1中添加了參數(shù)a(a≥1)是從c1取值的數(shù)量級(jí)考慮的,如果沒(méi)有a,c1就是從0開(kāi)始的取值,權(quán)重值的數(shù)量級(jí)跨越很大,而如果從a開(kāi)始,數(shù)量級(jí)基本在同一級(jí)別范圍;而在系數(shù)c2中添加了-bT項(xiàng)(b>0),既有數(shù)量級(jí)的因素,也是為了適度限制誤差變化率的權(quán)重,否則系統(tǒng)響應(yīng)速度會(huì)很遲緩,對(duì)c2使用絕對(duì)值,則能更合理地體現(xiàn)誤差變化率產(chǎn)生的影響．參數(shù)a和b的具體取值具有一定的靈活性,要根據(jù)實(shí)際對(duì)象特征和系統(tǒng)工藝要求,以尋求到控制器的最佳參數(shù),從而達(dá)到最佳控制效果為原則進(jìn)行整定與選擇,在本文中取a=1,b=0.9.

(4)最后需要說(shuō)明的一點(diǎn)是,本文的改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù)IITAE主要是針對(duì)一類“一階慣性加時(shí)滯”且具有大時(shí)滯、大時(shí)滯比的對(duì)象模型提出的,如果是其他類型的對(duì)象,則應(yīng)重新考慮改進(jìn)方案．

3.2 PID參數(shù)尋優(yōu)與仿真研究

仍然以加熱爐為被控對(duì)象,分別以ITAE和IITAE為目標(biāo)函數(shù),還是采用單純形法對(duì)PID控制器參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu),初始值同前,尋優(yōu)原理如圖3,PID控制率仍然為式(9)．針對(duì)式(4)的廣義對(duì)象模型,我們選擇了下列6組不同的對(duì)象參數(shù)做仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn),通過(guò)階躍響應(yīng)對(duì)比來(lái)比較2種目標(biāo)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響．

(1)τ=90,T=120,τ/T=0.75；

(2)τ=90,T=100,τ/T=0.9；

(3)τ=108,T=120,τ/T=0.9；

(4)τ=90,T=90,τ/T=1；

(5)τ=120,T=120,τ/T=1；

(6)τ=90,T=40,τ/T=2.25；

基于改進(jìn)前后2種目標(biāo)函數(shù)的6組PID參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果及其控制的性能指標(biāo)分別見(jiàn)表2和表3,相應(yīng)的6組仿真對(duì)比曲線如圖5—10．

表2 用ITAE優(yōu)化的PID控制器參數(shù)及仿真結(jié)果

表3 用IITAE優(yōu)化的PID控制器參數(shù)及仿真結(jié)果

Fig.5 The simulation results with the first set of parameters

Fig.6 The simulation results with the second set of parameters

Fig.7 The simulation results with the third set of parameters

Fig.8 The simulation results with the fourth set of parameters

Fig.9 The simulation results with the fifth set of parameters

在圖5中,當(dāng)時(shí)滯比τ/T=0.75還相對(duì)比較小時(shí),2種方案的控制效果差別不太明顯;在圖6—9中,當(dāng)時(shí)滯τ增大,或者時(shí)滯比τ/T增大時(shí),2種方案的控制品質(zhì)差距明顯增大:以ITAE為目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)的控制系統(tǒng),因?qū)ο蟮膭?dòng)態(tài)特性發(fā)生變化,導(dǎo)致控制品質(zhì)下降,超調(diào)量增大,調(diào)節(jié)時(shí)間延長(zhǎng);而以IITAE為目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)的系統(tǒng),能夠有效地克服上述不利因素的影響,仍然具有優(yōu)良的控制品質(zhì);在圖10中,當(dāng)時(shí)滯比增大至τ/T=2.25時(shí),改進(jìn)方案的性能指標(biāo)仍然很好,其適應(yīng)能力強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)表現(xiàn)得很明顯．

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)一類具有大時(shí)滯對(duì)象模型的PID控制器參數(shù)尋優(yōu)問(wèn)題,提出一種改進(jìn)型目標(biāo)函數(shù),不僅在常規(guī)的目標(biāo)函數(shù)中引入了誤差變化率環(huán)節(jié),并且還采用了具有對(duì)象特性參數(shù)的權(quán)系數(shù)來(lái)平衡兩者的權(quán)重,能夠有效地克服因純滯后和大時(shí)滯比帶來(lái)的不利影響,而且當(dāng)對(duì)象特性發(fā)生變化時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的適應(yīng)能力和魯棒性,其正確性與有效性通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得以證明．