高中數(shù)學(xué)解題中的有效策略

黃秋林

在解數(shù)學(xué)習(xí)題時，同學(xué)們要抓住幾個解題要點，否則，在解題時便會出現(xiàn)錯誤.現(xiàn)舉例說明.

一、在解題過程中要明晰數(shù)學(xué)問題

解題的第一步，在于要明確數(shù)學(xué)問題的概念、公式、定理、性質(zhì)、符號，這是解題的基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)題目中涉及的概念、公式、定理、性質(zhì)、符號是平時在學(xué)習(xí)時就要去理解、記憶的，做習(xí)題的水平，能夠直接反映出平時的理解、記憶水平.

例1如果雙曲線x2a2-y2b2=-1的離心率為54，那么兩條漸近線的方程為（）.

A.x9±y16=0

B.x16±y9=0

C.x3±y4=0

D.x4±y3=0

該題易出現(xiàn)的錯誤為選擇答案D，選擇的依據(jù)為e=ca=54c2a2=2516=a2+b2a2=1+b2a2b2a2=916ba=±34y=±34xx4±y3=0.該題的錯誤在于沒有正確地理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、漸進(jìn)線方程的概念.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），它的漸進(jìn)線方程有兩種形式y(tǒng)=±bax或y=±abx，現(xiàn)在不能僅僅憑雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程來確定它的漸進(jìn)線方程為兩種形式中的哪一種，此時要通過離心率e=ca>1來推知a、b的關(guān).現(xiàn)已知離心率為54，那么可知x2a2-y2b2=-1y2b2-x2a2=1，于是e=cb=b2+a2b=54，于是可得ab=34.因為雙曲線的焦點在y軸上，所以雙曲線的漸進(jìn)線方程為y=±bax，那么可得y=±43x，從而可得x4±y3=0.審題的第一步就是要明晰數(shù)學(xué)概念，即要明確該題要解決的是什么數(shù)學(xué)問題，它涉及的概念是什么，概念和概念之間的關(guān)系是什么.

二、在解題過程中要應(yīng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S邏輯分析問題

解題的第二步，要應(yīng)用嚴(yán)密的思維邏輯分析問題.在做習(xí)題時，要用抽象思維來分析問題，然后應(yīng)用分類思想將問題分類，把數(shù)學(xué)問題變成一個問題的集合.現(xiàn)在，要探討的問題，可以成為這個集合中的非空子集，然后，要理順非空子集之間的邏輯關(guān)系，解子集和子集的聯(lián)系，直至完成問題的求解.

例2編號為1，2，3，4，5的五個人，分別坐在編號為1，2，3，4，5的座位上，則至多有兩個號碼一致的坐法種數(shù)為多少？

這一題較為常見的錯解為“至多有兩個號碼一致”的對立事件是“三個或四個（即五個）號碼一致”，那么可知三個號碼一致有C35A22種，四個號碼一致僅1個，于是所求的坐法種數(shù)為A55-C35A22-1=99.該題錯誤的原因為在審題時，沒有理解文本內(nèi)容的內(nèi)在邏輯，如果存在3個號碼一致的情形時，則另兩個號碼就不能一致.于是“至多有兩個號碼一致”的對立事件是“三個和四個（即五個）號碼一致”，于是所求的坐法種數(shù)為A55-C35-1=109.在高中時期，在解決數(shù)學(xué)問題時，不能僅僅只憑著感覺、直覺來審題，而要應(yīng)用嚴(yán)密的邏輯思維來分析問題，避免在審題時出現(xiàn)邏輯思維漏洞.

三、在解題過程中要挖掘文本的隱含條件

解題的第三步，就是要在分析問題時，發(fā)現(xiàn)問題中有沒有隱含的條件.在解決數(shù)學(xué)問題時，如果沒有發(fā)現(xiàn)隱含的條件，便意味著沒有正確的理解問題，即不能正確的解答習(xí)題.

例3已知（x+2）2+y24=1，求x2+y2的取值范圍.

該題最常見的錯誤為：由已知得y2=-4x2-16x-12，于是可知x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283，那么當(dāng)x=-83時，x2+y2有最大值283，于是x2+y2的取值范圍是（-∞，283].該題出現(xiàn)解題錯誤的原因是沒有發(fā)現(xiàn)已知條件中包含一個隱含條件，即x的取值范圍已經(jīng)受到了限制.該題的正確答案為根據(jù)已知條件得y2=-4x2-16x-12，那么x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283，因為（x+2）2+y24=1（x+2）2=1-y24≤1-3≤x≤-1，所以當(dāng)x=-1時x2+y2有最小值1，從而可得x2+y2的取值范圍是[1，283].在分析題目時，要挖掘出問題的隱含條件，把它當(dāng)作數(shù)學(xué)問題探討對象中非空子集的一部分.如果在解題時，沒有挖掘出隱含條件，那么意味著邏輯分析會出現(xiàn)錯誤.