次級(jí)通道估計(jì)誤差對(duì)Fx-Newton算法的影響*

張 能，何 琳，李 彥，王迎春

(1. 海軍工程大學(xué) 振動(dòng)與噪聲研究所， 湖北 武漢 430033；2. 海軍工程大學(xué) 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430033)

對(duì)于船舶機(jī)械低頻振動(dòng)線(xiàn)譜，通常采用主被動(dòng)隔振的方法加以控制，而自適應(yīng)控制算法在執(zhí)行過(guò)程中通常需要對(duì)由作動(dòng)器輸出到誤差信號(hào)的次級(jí)通道進(jìn)行模型估計(jì)或辨識(shí)，在此過(guò)程中不可避免會(huì)引入誤差，因此開(kāi)展次級(jí)通道估計(jì)誤差對(duì)自適應(yīng)控制算法的影響研究具有重要意義。

文獻(xiàn)[1]通過(guò)分析傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位置和根軌跡，研究了次級(jí)通道相位估計(jì)誤差對(duì)最小均方濾波(the Filtered-x Least Mean Square, FxLMS)算法收斂速度和穩(wěn)定性的影響，結(jié)果表明次級(jí)通道相位估計(jì)誤差小于90°時(shí)能收斂，當(dāng)相位估計(jì)誤差小于45°時(shí)，相位誤差對(duì)收斂時(shí)間影響較小。文獻(xiàn)[2-3]針對(duì)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)，采用隨機(jī)分析的方法，研究了次級(jí)通道估計(jì)誤差對(duì)FxLMS算法性能的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)次級(jí)通道真實(shí)模型與估計(jì)模型負(fù)相關(guān)時(shí)，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。王雷針對(duì)次級(jí)通道估計(jì)相位誤差對(duì)FxLMS算法的收斂性開(kāi)展了研究，通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)相位延遲越大，系統(tǒng)收斂速度越慢，穩(wěn)定性越差[4]。Hansen等忽略真實(shí)的次級(jí)通道傳遞函數(shù)(假設(shè)該傳遞函數(shù)幅值為1，相位為0°)，理論推導(dǎo)了步長(zhǎng)因子的取值范圍，分析了次級(jí)通道估計(jì)誤差對(duì)頻域FxLMS算法穩(wěn)定性的影響[5]。

FxLMS算法的收斂速度受制于濾波參考信號(hào)自相關(guān)矩陣的特征值分布，實(shí)時(shí)性較差，而Fx-Newton算法具有收斂速度快、對(duì)矩陣特征值分散度不敏感的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)[6-8]將Fx-Newton算法應(yīng)用于船舶機(jī)械主被動(dòng)隔振系統(tǒng)中，有效隔離了振動(dòng)線(xiàn)譜。然而，在Fx-Newton算法執(zhí)行過(guò)程中需要估計(jì)次級(jí)通道模型，而針對(duì)次級(jí)通道估計(jì)誤差對(duì)Fx-Newton算法的影響，未見(jiàn)學(xué)者開(kāi)展相關(guān)研究。

本文通過(guò)在頻域Fx-Newton算法中引入估計(jì)誤差模型，假設(shè)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)，基于含次級(jí)通道估計(jì)誤差的Fx-Newton算法迭代公式，通過(guò)理論推導(dǎo)，從次級(jí)通道估計(jì)相位誤差和幅值誤差兩方面來(lái)分析Fx-Newton算法的穩(wěn)定性和收斂性。最后建立兩自由度主被動(dòng)隔振模型，在不同相位誤差和幅值誤差條件下開(kāi)展主動(dòng)控制仿真，以驗(yàn)證理論分析結(jié)果。

1 含次級(jí)通道估計(jì)誤差的Fx-Newton算法推導(dǎo)

文獻(xiàn)[6-8]推導(dǎo)了Fx-Newton算法的濾波器更新方程，基本的Fx-Newton算法的原理如圖1所示。

圖1 Fx-Newton算法結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of the Fx-Newton algorithm

Fx-Newton算法中濾波器系數(shù)的更新公式表示為

(1)

次級(jí)通道模型的估計(jì)包含于Fx-Newton算法的迭代公式中，在實(shí)際工程應(yīng)用中不可避免地會(huì)出現(xiàn)誤差，影響著算法的穩(wěn)定性和收斂性。在主被動(dòng)隔振系統(tǒng)應(yīng)用中，通?？刂频氖钦駝?dòng)線(xiàn)譜，這里為了研究方便，考慮輸入為某一正弦信號(hào)，并且算法在頻域執(zhí)行，次級(jí)通道模型估計(jì)誤差表示為H(z)，則考慮次級(jí)通道模型估計(jì)誤差的自適應(yīng)前饋控制系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 考慮次級(jí)通道估計(jì)誤差的Fx-Newton算法結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of the Fx-Newton algorithm considering the estimation error of the secondary path model

頻域Fx-Newton算法的迭代公式可以表示為

(2)

式中，“*”表示共軛。

(3)

記次級(jí)通道估計(jì)誤差的相位為φh，則復(fù)數(shù)h可以表示為

h=|h|ejφh

(4)

其中|h|=1和φh=0°表示次級(jí)通道估計(jì)不存在幅值誤差和相位誤差。

由圖2可知，誤差信號(hào)e(n)表示為

e(n)=d(n)+wT(n)xf(n)

(5)

(6)

將式(3)、式(6)代入式(2)中，可得

(7)

(8)

(9)

(10)

當(dāng)n→∞時(shí)，v(n)必須收斂到零，F(xiàn)x-Newton算法才能穩(wěn)定，則下面的條件必須滿(mǎn)足

(11)

將h*=|h|e-jφh代入式(11)中，可得

(12)

將式(12)展開(kāi)得到

(13)

式(13)化簡(jiǎn)可得

μ<2|h|cosφh

(14)

其中|h|為次級(jí)通道估計(jì)誤差的幅值，因此，對(duì)于次級(jí)通道估計(jì)存在誤差的系統(tǒng)，F(xiàn)x-Newton算法的穩(wěn)定性條件為

0<μ<2|h|cosφh

(15)

由式(15)可知，次級(jí)通道模型估計(jì)誤差對(duì)Fx-Newton算法的影響可以分為相位誤差和幅值誤差兩部分來(lái)討論。

2 兩自由度主被動(dòng)隔振模型與仿真算例

2.1 兩自由度主被動(dòng)隔振模型

下面建立兩自由度主被動(dòng)隔振模型，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。上層機(jī)械設(shè)備質(zhì)量為m1，下層平臺(tái)質(zhì)量為m2，上層隔振器剛度和阻尼分別為k1和c1，下層隔振器剛度和阻尼分別為k2和c2，作動(dòng)器和上層被動(dòng)隔振器并聯(lián)，f為激勵(lì)力，fa為主動(dòng)控制力。設(shè)x1、x2表示機(jī)械設(shè)備和下層平臺(tái)的垂向位移，則該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(16)

圖3 兩自由度主被動(dòng)隔振模型Fig.3 Two degree-of-freedom active-passive vibration isolation model

(17)

化簡(jiǎn)，消去X1可得

[m1m2s4+(m1c1+m1c2+m2c1)s3+
(m1k1+m1k2+m2k1+c1c2)s2+
(c1k2+c2k1)s+k1k2]X2
=m1s2Fas+(c1s+k1)Fs

(18)

記a=m1m2，b=m1c1+m1c2+m2c1，c=m1k1+m1k2+m2k1+c1c2，d=c1k2+c2k1，e=k1k2，分別令Fs=0、Fas=0，可得下層平臺(tái)位移X2和激勵(lì)力Fs、主動(dòng)控制力Fas之間的傳遞函數(shù)

(19)

2.2 仿真算例

表1給出了2.1節(jié)兩自由度主被動(dòng)隔振模型的參數(shù)值。

表1 主被動(dòng)隔振模型參數(shù)

根據(jù)主被動(dòng)隔振模型，在Simulink/MATLAB中建立仿真模型如圖4所示，其中Fx-Newton算法通過(guò)自定義的S函數(shù)模塊實(shí)現(xiàn)，F(xiàn)x-Newton算法的步長(zhǎng)因子為0.000 2，初始時(shí)濾波器系數(shù)為零矢量，階數(shù)為64。由于Euler求解器具有簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，仿真采用固定時(shí)間步長(zhǎng)的Euler求解器。仿真時(shí)間步長(zhǎng)為0.001 s，仿真時(shí)間為10 s，在1 s時(shí)開(kāi)啟主動(dòng)控制。

激勵(lì)力為多頻正弦激勵(lì)，由25 Hz和50 Hz的正弦波與表示外界干擾的高斯白噪聲疊加而成，其表達(dá)式為

f=6sin(50πt)+10sin(100πt)+n0

(20)

其中，n0表示高斯白噪聲，其均值為0，方差為0.01。

3 結(jié)果與討論

3.1 次級(jí)通道估計(jì)相位誤差的影響

考慮次級(jí)通道估計(jì)不存在幅值誤差(|h|=1)，分別在次級(jí)通道估計(jì)相位誤差φh為0°、45°、 90°時(shí)，對(duì)圖4所示主被動(dòng)隔振模型開(kāi)展仿真，得到控制后下層平臺(tái)振動(dòng)加速度的時(shí)間歷程曲線(xiàn)和功率收斂曲線(xiàn)分別如圖5、圖6所示。

由圖5可知，隨著次級(jí)通道估計(jì)相位誤差從0°增大到45°，下層平臺(tái)振動(dòng)加速度收斂速度降低，當(dāng)相位誤差增大到90°時(shí)，下層平臺(tái)振動(dòng)加速度在控制后直接發(fā)散。同時(shí)圖6也反映出相位誤差從0°增大到45°時(shí)收斂速度降低，相位誤差為90°時(shí)功率收斂曲線(xiàn)在控制后直接發(fā)散，說(shuō)明相位誤差的存在降低了Fx-Newton算法的穩(wěn)定性，當(dāng)相位誤差達(dá)到90°時(shí)，F(xiàn)x-Newton算法直接發(fā)散，與理論分析結(jié)果一致。

3.2 次級(jí)通道估計(jì)幅值誤差的影響

考慮次級(jí)通道估計(jì)沒(méi)有相位誤差(φh=0°)，分別在幅值誤差|h|為0.5、1、2時(shí)開(kāi)展主被動(dòng)隔振系統(tǒng)仿真，得到控制后下層平臺(tái)振動(dòng)加速度的時(shí)間歷程曲線(xiàn)和功率收斂曲線(xiàn)分別如圖7、圖8所示。

圖4 主被動(dòng)隔振模型Simulink/MATLAB仿真模型Fig.4 Simulation model of the active-passive vibration isolation system in the Simulink/MATLAB

(a) φh=0° (b) φh=45° (c) φh=90°圖5 不同相位誤差時(shí)下層平臺(tái)振動(dòng)加速度時(shí)間歷程曲線(xiàn)Fig.5 Curves of the acceleration of the middle raft under different phase errors

圖6 不同相位誤差時(shí)下層平臺(tái)振動(dòng)功率收斂曲線(xiàn)Fig.6 Curves of the vibrational power of the middle raft under different phase errors

(a) |h|=0.5 (b) |h|=1 (c) |h|=2圖7 不同幅值誤差時(shí)下層平臺(tái)振動(dòng)加速度時(shí)間歷程曲線(xiàn)Fig.7 Curves of the acceleration of the middle raft under different amplitude errors

圖8 不同幅值誤差時(shí)下層平臺(tái)振動(dòng)功率收斂曲線(xiàn)Fig.8 Curves of the vibrational power of the middle raft under different amplitude errors

由圖7、圖8可知，當(dāng)次級(jí)通道估計(jì)幅值誤差|h|=0.5時(shí)，下層平臺(tái)振動(dòng)加速度收斂速度較不存在幅值誤差時(shí)(|h|=1)快，F(xiàn)x-Newton算法能更快收斂到穩(wěn)態(tài)；當(dāng)次級(jí)通道估計(jì)幅值誤差|h|=2時(shí)，下層平臺(tái)振動(dòng)加速度收斂速度較不存在幅值誤差時(shí)慢，F(xiàn)x-Newton算法收斂速度降低，驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果。

4 結(jié)論

針對(duì)次級(jí)通道估計(jì)存在誤差的問(wèn)題，在正弦輸入信號(hào)假設(shè)條件下，理論推導(dǎo)了含次級(jí)通道估計(jì)誤差的頻域Fx-Newton算法迭代公式，闡述了Fx-Newton算法的穩(wěn)定性條件，并就相位誤差和幅值誤差對(duì)Fx-Newton算法穩(wěn)定性和收斂性的影響作了理論分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)相位誤差大于90°或者小于-90°，F(xiàn)x-Newton算法會(huì)發(fā)散；當(dāng)相位誤差在-90°～90°范圍內(nèi)，F(xiàn)x-Newton算法的穩(wěn)定性會(huì)在一定程度上降低，同時(shí)收斂速度也會(huì)降低。當(dāng)幅值誤差小于1時(shí)，F(xiàn)x-Newton算法的收斂速度較不存在幅值誤差時(shí)快；當(dāng)幅值誤差大于1時(shí)，F(xiàn)x-Newton算法的收斂速度較不存在幅值誤差時(shí)降低。通過(guò)對(duì)兩自由度主被動(dòng)隔振模型開(kāi)展仿真研究，驗(yàn)證了理論分析結(jié)果。本文的研究結(jié)果對(duì)提高Fx-Newton算法在工程應(yīng)用中的穩(wěn)定性和收斂性具有重要意義。