基于波動(dòng)理論的地震荷載對(duì)巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性特性研究

馬英泰

(青海建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，青海 西寧 810012)

隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)水平的不斷提高及建設(shè)規(guī)模的增大，與經(jīng)濟(jì)建設(shè)息息相關(guān)的各行各業(yè)幾乎都涉及到大量的邊坡問(wèn)題，因此正確評(píng)價(jià)邊坡的穩(wěn)定性，對(duì)于確保生產(chǎn)建設(shè)的順利進(jìn)行及人民財(cái)產(chǎn)安全具有重要意義。作為一個(gè)自然災(zāi)害較為嚴(yán)重的國(guó)家，我國(guó)的地震呈現(xiàn)區(qū)域分布范圍廣、頻率高等特點(diǎn)，這些特性使得地震誘發(fā)的邊坡失穩(wěn)成為主要的地震地質(zhì)災(zāi)害類(lèi)型。雖然目前對(duì)于邊坡的靜力學(xué)穩(wěn)定(如靜荷載、開(kāi)挖等靜力問(wèn)題對(duì)邊坡的穩(wěn)定性分析及影響)研究較多并已取得較多成果，在工程應(yīng)用中也得到了大范圍推廣，但對(duì)邊坡地震動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的分析研究相對(duì)較少，且已有研究大多是針對(duì)抗震設(shè)防方面的，其穩(wěn)定性分析方法較為單一、簡(jiǎn)單，主要以靜力學(xué)極限平衡法為主。為彌補(bǔ)這方面的缺陷，本文以彈性波動(dòng)理論為基礎(chǔ)，考慮不同地震作用下的動(dòng)荷載效應(yīng)，建立地震作用下邊坡響應(yīng)的相關(guān)波動(dòng)方程，從而評(píng)價(jià)地震動(dòng)力荷載對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，以期為解決邊坡動(dòng)力問(wèn)題提供參考[1-4]。

1 波動(dòng)理論

依據(jù)波場(chǎng)分解理論可知：假設(shè)地震波從底面垂直向上入射，在邊坡的底面和2個(gè)側(cè)面的法向和切向臨空面可視為分別在邊坡的底面和2個(gè)側(cè)面設(shè)置了不同振動(dòng)條件的黏性阻尼器和彈簧。正確實(shí)現(xiàn)波動(dòng)輸入的方法就是使在邊界上施加荷載后的黏性阻尼器、彈簧的應(yīng)力和位移狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)相符。

1.1 側(cè)面的波動(dòng)輸入

對(duì)于側(cè)邊界上任一點(diǎn)P而言，總的應(yīng)力和位移應(yīng)為自由波場(chǎng)在P點(diǎn)引起的應(yīng)力和位移與散射波場(chǎng)在P點(diǎn)引起的應(yīng)力和位移之和，即

σm=σf+σs

(1)

um=uf+us

(2)

式中:σm，um分別為總的位移和應(yīng)力；σf，uf分別為自由場(chǎng)中P點(diǎn)引起的位移和應(yīng)力；σs，us分別為散射場(chǎng)P點(diǎn)引起的位移和應(yīng)力[5]。假設(shè)在P點(diǎn)施加的應(yīng)力為FP，考慮到散射波的應(yīng)力應(yīng)滿足黏彈性人工邊界條件，并將式(1)、(2)代入，則這時(shí)P點(diǎn)的應(yīng)力邊界條件為：

(3)

式中：α為邊界系數(shù)；G為邊界單元塊體的土粒比重；R為波傳播后的衰減半徑；ρ為邊界單元塊體的土體重度；c為土體的黏聚力。

將式(3)整合后可得：

(4)

設(shè)側(cè)邊界法線方向?yàn)閤軸，則在側(cè)邊界上P點(diǎn)沿3個(gè)方向應(yīng)施加的應(yīng)力為：

(5)

1.2 底邊界上的波動(dòng)輸入

同理，在底邊界上Q點(diǎn)沿3個(gè)方向應(yīng)施加的應(yīng)力為：

(6)

2 動(dòng)力荷載方程的建立及求解

考慮上述人工黏彈性邊界條件以及巖質(zhì)邊坡的自身變形特點(diǎn)，可將巖質(zhì)邊坡視為彈性體。基于彈性力學(xué)的相關(guān)理論，對(duì)地震作用下的邊坡動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行理論分析。將含有邊坡的山體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為一個(gè)等腰三角形，如圖1所示，其中山體高度為h，頂部角度為α。

圖1 山體邊坡簡(jiǎn)化示意圖

考慮上述人工黏彈性邊界條件，可將邊坡對(duì)地震荷載的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題等效成邊坡在邊界條件下的彈性力學(xué)問(wèn)題，可將巖質(zhì)邊坡體視為各向同性彈性體，然而由于邊坡多為不規(guī)則結(jié)構(gòu)，直接求解較為困難，因此需要采用一種新的方法進(jìn)行分析。

在山體的底部構(gòu)造一個(gè)虛擬的半圓形邊界，如圖2所示。利用該虛擬邊界將山體“一分為二”，根據(jù)巖質(zhì)邊坡的構(gòu)造特性，可將邊坡下部及其周邊區(qū)域定義為A區(qū)，將邊坡的上體部分定義為B區(qū)，其公共邊界設(shè)為S。為了方便求解，在邊坡底部中心和頂點(diǎn)處分別建立兩個(gè)坐標(biāo)系，令x軸正方向?yàn)樗降乇矸ㄏ蛳蛳路较颉?/p>

圖2 模型分區(qū)示意圖

以此為基礎(chǔ)，利用彈性波動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論在A區(qū)和B區(qū)兩個(gè)區(qū)域內(nèi)分別構(gòu)造動(dòng)荷載函數(shù)，然后在公共邊界S上利用邊界條件建立方程組求解，獲得在地震動(dòng)力荷載下巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定系數(shù)。

2.1 動(dòng)荷載方程的建立

文獻(xiàn)[6]中各向同性均勻連續(xù)介質(zhì)地震波的控制方程為

式中：W為土體重度；x為水平向位移；y為豎向位移；cs為介質(zhì)的剪切波速；t為響應(yīng)時(shí)間。考慮穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，將上述各向同性均勻連續(xù)介質(zhì)地震波的控制方程轉(zhuǎn)化為平面極坐標(biāo)的形式，可得

(7)

式中：r為極坐標(biāo)下極向位移；θ為極坐標(biāo)下角度變化量；k=ω/cs，其中ω為圓頻率。

利用分離變量法對(duì)式(7)進(jìn)行求解，求得其通解式為

W=(AJn(kr)+BYn(kr))(Csin(nθ)+Dcos(nθ))

(8)

式中：A,B,C,D為待求常數(shù)；Jn(kr)和Yn(kr)分別為n階的第一類(lèi)和第二類(lèi)Bessel函數(shù)。

2.1.1A區(qū)動(dòng)荷載方程的建立

由1中地震波底部傳播方式可知，地震波入射到A區(qū)時(shí)振幅可表示為

(9)

式中：W1為波的二次傳導(dǎo)后振幅；W0為波函數(shù)的最大幅值(后面計(jì)算中將其取為1，因此略去)；ε2n為地震波底部傳播條件下的應(yīng)變；J2n(kr)為2n階的第一類(lèi)Bessel函數(shù)；J2n+1(kr)為(2n+1)階的第一類(lèi)Bessel函數(shù)β為地震波的入射角。

(10)

式中：εm為地震波反射m次后的應(yīng)變，ε0=1，εm=2(m≥1時(shí))，其中m為反射次數(shù)(如m=0則說(shuō)明不反射，該情況在彈性邊界中不存在)；Jm(k|z|)為反射m次后的Bessel函數(shù)。

復(fù)平面內(nèi)應(yīng)力τrz的表達(dá)式為

(11)

則入射波、反射波對(duì)應(yīng)的應(yīng)力τ1為

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

其中

(16)

式中：τ2為該應(yīng)力條件下的剪應(yīng)力。

2.1.2B區(qū)動(dòng)荷載方程的建立

由于B區(qū)內(nèi)存在波的多次反射和疊加，波形復(fù)雜，常規(guī)方法難以求解，因此需要引入駐波的概念進(jìn)行進(jìn)一步計(jì)算。假設(shè)B區(qū)內(nèi)只存在一種駐波，其產(chǎn)生的效果和多種波反射疊加后的效果等效。B區(qū)內(nèi)的駐波函數(shù)應(yīng)該滿足在邊坡上應(yīng)力自由的邊界條件，即

(17)

式中：τθz為剪應(yīng)力。

(18)

(19)

相應(yīng)的應(yīng)力τ3為：

(20)

其中Amγ(z+h)的表達(dá)式見(jiàn)式(7)。

2.2 動(dòng)荷載方程的求解

如此得到了兩個(gè)區(qū)域內(nèi)波函數(shù)的表達(dá)式，由于S是一個(gè)虛擬的邊界，實(shí)際上在邊界S上應(yīng)該有位移和應(yīng)力的連續(xù)條件，因此建立方程組

(21)

將構(gòu)造的波函數(shù)表達(dá)式代入式(21)，對(duì)方程進(jìn)行傅里葉變換，得到兩個(gè)無(wú)窮代數(shù)方程組，求解該方程組，最后得到兩組未知系數(shù)Am和Bm。

3 邊坡穩(wěn)定性分析

將2中求得的未知系數(shù)代入位移和應(yīng)力表達(dá)式中，可得到各區(qū)域的位移幅值變化情況。

假設(shè)A區(qū)半圓形邊界的半徑為R，入射波的波長(zhǎng)為λ，則有入射波的波數(shù)η=2R/λ。為研究不同的地震載荷對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響特性(即研究不同的波數(shù)和入射角與邊坡坡面位移幅值之間的關(guān)系)，分別以邊坡頂角為60°、90°和120°為例，地震波在邊坡的左邊分別以水平和垂直方式入射，位移幅值變化情況如圖3所示。其中y/R=0對(duì)應(yīng)邊坡的頂部，y/R=±1對(duì)應(yīng)邊坡與水平面的相交位置。

圖3為不同的地震波載荷和入射角情況下的邊坡響應(yīng)情況，其中橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)邊坡上的不同位置，縱坐標(biāo)為不同位置對(duì)應(yīng)的位移放大系數(shù)。通過(guò)分析位移放大系數(shù)，可得到地震載荷作用下邊坡的穩(wěn)定性。

圖3 邊坡地表位移幅值圖

1)如圖3(a)所示，當(dāng)波數(shù)較小時(shí)，地表位移也相對(duì)較小，此時(shí)類(lèi)似于準(zhǔn)靜態(tài)問(wèn)題，邊坡整體位移放大系數(shù)約為2.0。

2)隨著波數(shù)的不斷增大，地表位移的變化越來(lái)越劇烈。位移放大系數(shù)最大值出現(xiàn)在η=1.0時(shí)60°邊坡的頂點(diǎn)處，約為5.5。

3)地震波垂直入射時(shí)，地表位移呈對(duì)稱分布，其最大值在邊坡頂部；地震波水平入射時(shí)，地表位移的最大值始終出現(xiàn)在邊坡迎向地震波的坡腳處。

4)邊坡角度對(duì)位移的變化趨勢(shì)影響不大，但是角度越小，其變化越劇烈。

4 結(jié)論

本文以彈性波動(dòng)理論為基礎(chǔ)，考慮不同地震作用下的動(dòng)荷載效應(yīng)，建立地震作用下邊坡響應(yīng)的相關(guān)動(dòng)荷載方程，分析了不同的地震荷載對(duì)邊坡的影響特性，得到以下結(jié)論：

1)利用公共邊界上的連續(xù)條件建立方程組，通過(guò)動(dòng)力學(xué)方法求解得到了地震波以不同波數(shù)、入射角入射條件下的邊坡響應(yīng)情況，從而進(jìn)一步評(píng)價(jià)了地震動(dòng)力荷載對(duì)邊坡的穩(wěn)定性影響。

2)研究結(jié)果顯示地震波波數(shù)、入射角等都會(huì)對(duì)邊坡響應(yīng)產(chǎn)生不同程度的影響。

3)研究結(jié)果可為解決邊坡動(dòng)力問(wèn)題提供參考依據(jù)。

除此之外，邊坡形態(tài)、坡體材質(zhì)等因素都會(huì)對(duì)邊坡的響應(yīng)情況產(chǎn)生不同的影響，以后將進(jìn)一步進(jìn)行研究。