一種基于CAD繪圖軟件的渦旋壓縮機(jī)型線方程反求方法

郝勝利，馬國遠(yuǎn)，許樹學(xué)

（北京工業(yè)大學(xué)環(huán)境與能源工程學(xué)院，北京 100124）

1 引言

目前定基圓半徑圓漸開線被廣泛應(yīng)用于渦旋體、齒輪、刀具等零件上[1]。逆向工程[2，3]中經(jīng)常會(huì)遇到對(duì)已知零件進(jìn)行測(cè)繪反求，近而再對(duì)該零件進(jìn)行優(yōu)化開發(fā)的情形。此過程中，根據(jù)測(cè)繪所得圖形確定漸開線的基圓圓心和基圓半徑進(jìn)而求得整個(gè)型線的方程，具有重要意義。

對(duì)于一條定基圓半徑圓漸開線，若已知其基圓圓心，可通過構(gòu)造牛頓迭代算法反求出其基圓半徑值[4]。但在實(shí)際工程中遇到的情況通常是，測(cè)繪所得零件圖形中的圓漸開線并不顯示基圓圓心，只根據(jù)圓漸開線圖形反求漸開線基圓圓心和基圓半徑。對(duì)于基圓漸開線齒輪或花鍵，陳麗萍等人提出了一種基于3次多項(xiàng)式擬合的簡(jiǎn)易算法，迭代次數(shù)不超過9次即可快速擬合出滿足精確要求的基圓半徑[5]。對(duì)于小模數(shù)齒輪，在獲得齒廓測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)后，張中波運(yùn)用最小二乘原理建立了圓漸開線基圓半徑的反求模型，并給出了求解的詳細(xì)算法[6]。湯潔探討了一種基于最小二乘法原理的求解模型反求未知圓心位置的漸開線的基圓圓心和基圓半徑，但最終用GN法算出的基圓半徑值與理論值偏差為0.64 mm，誤差仍較大[7]。渦旋壓縮機(jī)作為第三代壓縮機(jī)產(chǎn)品，相比于第一代往復(fù)式壓縮機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小和重量輕等優(yōu)點(diǎn)，相比于第二代回轉(zhuǎn)式壓縮機(jī)容積系數(shù)更高、氣流脈動(dòng)更低[8]。尤其是在汽車空調(diào)上，渦旋壓縮機(jī)有其它類型壓縮機(jī)不可替代的優(yōu)勢(shì)[9]。渦旋盤是渦旋壓縮機(jī)的關(guān)鍵部件，渦旋盤的形狀直接影響壓縮機(jī)的性能[10-12]。對(duì)渦旋盤進(jìn)行反求研究，然后在已知的渦旋盤基礎(chǔ)之上進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，探索、創(chuàng)造出擁有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的新的開發(fā)技術(shù)和新產(chǎn)品，具有重大的理論意義和實(shí)用價(jià)值[13]。

本文提出了一種基于CAD繪圖軟件的渦旋壓縮機(jī)型線方程反求方法，并結(jié)合實(shí)際工程詳細(xì)介紹其具體實(shí)施過程，最終反求獲得了滿足加工精度要求的渦旋型線方程，并驗(yàn)證了所提出方法的可行性。

2 渦旋壓縮機(jī)型線方程

渦旋壓縮機(jī)由動(dòng)、靜2個(gè)渦旋盤組成，動(dòng)盤相對(duì)靜盤偏心并相差180°安裝。工作時(shí)動(dòng)盤以靜盤為中心作無自轉(zhuǎn)的回轉(zhuǎn)平動(dòng)，完成連續(xù)吸氣、壓縮及排氣的過程。常用的渦旋壓縮機(jī)渦旋盤內(nèi)、外壁型線由圓漸開線生成。圖1所示為一對(duì)渦旋盤的嚙合及型線參數(shù)圖，其型線的一般表達(dá)式為[14]

外壁漸開線

內(nèi)壁漸開線

其中 R0——基圓半徑，mm

?——型線漸開角，rad

α——漸開線起始角（又叫作漸開線初始角、漸開線發(fā)生角），rad

關(guān)鍵參數(shù)為R0和α，獲知這2個(gè)參數(shù)的值，便可唯一確定渦旋壓縮機(jī)的渦旋盤內(nèi)、外壁型線方程。

3 基圓參數(shù)的確定

圖2所示為一條圓漸開線的一小段，A、B、C是其上的任意3點(diǎn)。利用AutoCAD繪圖軟件，在A點(diǎn)、B點(diǎn)和C點(diǎn)作漸開線的法線。在AutoCAD中作漸開線上某點(diǎn)的法線具體步驟為：命令行輸入：xline（構(gòu)造線），點(diǎn)擊“Enter”；按住shift鍵點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵，點(diǎn)擊“垂直”；使鼠標(biāo)靠近漸開線，出現(xiàn)“遞延垂足”字樣時(shí)，單擊鼠標(biāo)，再選中漸開線上某一點(diǎn)，點(diǎn)擊“Enter”即得到漸開線該點(diǎn)處的法線。選擇點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C處的3條法線作為切線，以“相切、相切、相切”繪圓法作圓，此圓即為該漸開線的基圓。

以“相切、相切、相切”繪圓法作圓具體步驟為：用鼠標(biāo)點(diǎn)擊“繪圖——圓——相切、相切、相切”，而后依次把十字光標(biāo)靠近點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C處的3條法線，待出現(xiàn)“遞延切點(diǎn)”字樣時(shí)單擊鼠標(biāo)，即得到該漸開線的基圓。利用AutoCAD的查詢功能，先選中基圓，再將鼠標(biāo)放在基圓的象限點(diǎn)處，即可獲知基圓圓心坐標(biāo)及基圓半徑值。

4 渦旋型線方程的反求

4.1 初步擬合

圖1 渦旋壓縮機(jī)渦旋盤的嚙合及型線參數(shù)圖

圖2 以“相切、相切、相切”方式畫圓

根據(jù)上述中的反求基圓的方法，可求得某一待求渦旋型線所對(duì)應(yīng)的漸開線基圓圓心坐標(biāo)為（1.009945071，0.505085219），基圓半徑R0=2.805106666 mm。

此時(shí)先將AutoCAD 的圖形精度調(diào)至最大（0.00000000 mm），然后利用AutoCAD的查詢距離命令，多次查詢并求平均值，可得出該渦旋壓縮機(jī)渦旋盤的壁厚t=3.998785998 mm。

根據(jù)渦旋盤壁厚t、基圓半徑R0和漸開線起始角α之間的關(guān)系

易知α=t/（2R0），將上述渦旋盤壁厚t和基圓半徑R0的值代入（3）式，計(jì)算可得

α=0.712768973541771 rad

至此可得反求的內(nèi)外壁渦旋型線方程為

外壁漸開線

內(nèi)壁漸開線

與實(shí)際的基圓半徑和發(fā)生角真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比，可獲得所得數(shù)據(jù)的誤差大小

實(shí)際值：

基圓半徑 R0=2.801127 mm

發(fā)生角 α=0.7139983 rad

所以誤差為：

基圓半徑誤差 eR0=0.00398 mm

發(fā)生角誤差 eα=-0.00123 rad

4.2 精確擬合

基圓半徑的誤差eR0=0.00398 mm、發(fā)生角的誤差eα=-0.00123 rad，誤差相比于實(shí)際精確加工的誤差限（一般在μm級(jí)別） 依然較大[8，15-17]，須在上述擬合結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行更加精確的擬合，以獲得滿足實(shí)際加工精度要求的渦旋壓縮機(jī)型線方程。

對(duì)于獲取的一張實(shí)際的渦旋壓縮機(jī)動(dòng)盤（或靜盤） AutoCAD圖紙，雖然可以在CAD中查詢出渦旋型線各點(diǎn)的坐標(biāo)值，但這些坐標(biāo)值并不能直接用于渦旋型線方程的擬合，其原因在于：對(duì)渦旋壓縮機(jī)真實(shí)繪圖過程中，通常按照型線方程畫出內(nèi)外型線后，先對(duì)型線平移一個(gè)坐標(biāo)（x0，y0） （x0和y0的單位為：mm，x0為正值時(shí)代表向右平移，y0為正值時(shí)代表向上平移），然后繞基圓中心旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ（θ單位為：°，θ為正值時(shí)代表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)）。故AutoCAD圖紙中的渦旋型線，其基圓圓心坐標(biāo)通常不是（0，0），并且此刻的圖形還是繞基圓中心旋轉(zhuǎn)后的圖形。

結(jié)合實(shí)際加工經(jīng)驗(yàn)：繪圖時(shí)平移坐標(biāo)（x0，y0）中的x0和y0至多有一位小數(shù)，旋轉(zhuǎn)度數(shù)θ為整數(shù)度。

按照初步擬合得到的方程（4） 和（5），在Excel中計(jì)算得出隨著漸開角變化時(shí)渦旋型線上各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后以排氣孔（此處的排氣孔為實(shí)際渦旋壓縮機(jī)CAD圖中的排氣孔） 為坐標(biāo)原點(diǎn)，在CAD中畫出內(nèi)外型線，如圖3中黑色線所示（紅色線為實(shí)際渦旋壓縮機(jī)CAD型線）。

根據(jù)實(shí)際加工經(jīng)驗(yàn)，參照前文4.1節(jié)對(duì)渦旋型線方程的初步擬合部分，可知平移坐標(biāo)為（1，0.5）。

依次通過以下兩步則可使已知的原CAD內(nèi)外型線與初步擬合得出的型線高度重合，進(jìn)而利用型線上各點(diǎn)在CAD中的坐標(biāo)值直接用于型線方程式的擬合：

（1）將原CAD內(nèi)外型線（圖3中的紅色線） 平移（-1，-0.5）；

（2）將原CAD內(nèi)外型線繞點(diǎn)（0，0） 旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度-θ。

圖3 初步擬合得出的內(nèi)外型線（黑色線） 和實(shí)際渦旋壓縮機(jī)CAD內(nèi)外型線（紅色線）

在CAD中進(jìn)行多次試探性旋轉(zhuǎn)平移，根據(jù)兩型線的重合度情況，可得旋轉(zhuǎn)度數(shù)θ為-15°。如圖5所示，擬合得出的內(nèi)外型線和經(jīng)過旋轉(zhuǎn)+15°、平移（-1，-0.5） 后的原CAD內(nèi)外型線高度重合。

試探性旋轉(zhuǎn)平移求旋轉(zhuǎn)角度θ，采用“先觀察預(yù)估再二分法逐漸逼近”的原則進(jìn)行：首先對(duì)于平移（-1，-0.5） 后的原CAD內(nèi)外型線，選中內(nèi)外型線執(zhí)行繞點(diǎn)（0，0） 旋轉(zhuǎn)的命令，在輸入旋轉(zhuǎn)角度前，拖動(dòng)鼠標(biāo)（拖動(dòng)的效果即為改變旋轉(zhuǎn)角度），觀察原CAD內(nèi)外型線與擬合得出的內(nèi)外型線的重合情況，可知旋轉(zhuǎn)度數(shù)|θ|＜30°，如圖4所示，圖中的2條射線分別為0°構(gòu)造線和30°構(gòu)造線，用于輔助觀察預(yù)估旋轉(zhuǎn)度數(shù)θ；然后輸入旋轉(zhuǎn)度數(shù)15°，如圖5所示，原CAD內(nèi)外型線與擬合得出的內(nèi)外型線高度重合；同上再分別輸入旋轉(zhuǎn)度數(shù)14°和16°，對(duì)比發(fā)現(xiàn)原CAD內(nèi)外型線與擬合得出的內(nèi)外型線重合度均不及旋轉(zhuǎn)度數(shù)為15°時(shí)，至此可知旋轉(zhuǎn)度數(shù)θ為-15°。

圖4 利用觀察法預(yù)估可知旋轉(zhuǎn)度數(shù)|θ|＜30°

圖5 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)+15°、平移（-1，-0.5） 后的原CAD內(nèi)外型線和擬合得出的內(nèi)外型線高度重合

將原CAD 型線平移（-1，-0.5），再繞點(diǎn)（0，0） 旋轉(zhuǎn)+15°。圖中的渦旋型線在AutoCAD中呈現(xiàn)的各點(diǎn)的坐標(biāo)值便可直接用于渦旋型線方程的擬合。

方程式擬合在1stOpt軟件中進(jìn)行。

原CAD型線中內(nèi)、外型線是由若干段樣條曲線組成的，選組成外線的三段樣條曲線，各取每段樣條曲線上的最后一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（對(duì)于一段樣條曲線，其上的各點(diǎn)，首、末兩點(diǎn)原則上最準(zhǔn)確。由于組成內(nèi)、外型線樣條曲線上的起始處的點(diǎn)涉及到渦旋齒齒端修正，精確性未知，故不取樣條曲線上的起始處的點(diǎn)而取每段樣條曲線上的最后一個(gè)點(diǎn)），將得到的3 個(gè)點(diǎn)（-10.21294256，8.07578089）、（16.07632083，-14.65540116） 和（-22.06879417，21.09864371） 作為擬合點(diǎn)，在1stOpt擬合軟件的編程界面中編寫程序代碼，進(jìn)行型線方程式擬合。

擬合代碼如下：

運(yùn)算結(jié)果詳情：

計(jì)算用時(shí)（時(shí)：分：秒：毫秒）：00：00：01：408

優(yōu)化算法：麥夸特法（Levenberg-Marquardt）+通用全局優(yōu)化法

函數(shù)表達(dá)式：（（（-（（-10.21294256）） +r*（cos（t1）+（t1+b）*sin（t1）））^2）+（（-（16.07632083）+r*（cos （t2） +（t2 +b）*sin （t2）））^2） +（（-（（-22.06879417））+r*（cos（t3）+（t3+b）*sin（t3））） ^2））+（（（-（8.07578089）+r*（sin（t1）-（t1+b）*cos（t1）））^2）+（（-（（-14.65540116））+r*（sin（t2）-（t2+b） *cos（t2）））^2）+（（-（21.09864371）+r*（sin（t3）-（t3+b）*cos（t3）））^2））

目標(biāo)函數(shù)值（最?。?.23197516436008E-5

R：2.80122550464214

B：0.713615130243984

t1：3.82647807724986

t2：6.98565893485534

t3：10.1407691453284

可知擬合結(jié)果為

基圓半徑 R0=2.80122550464214 mm

發(fā)生角 α=0.713615130243984 rad

與實(shí)際的基圓半徑和發(fā)生角的真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比，可獲得精確擬合所得數(shù)據(jù)的誤差：

實(shí)際值

基圓半徑 R0=2.801127 mm

發(fā)生角 α=0.7139983 rad

與實(shí)際值相比擬合誤差

基圓半徑誤差 e（R0）=9.85046×10-5mm

發(fā)生角誤差 eα=-0.00038317 rad

精確擬合所得數(shù)據(jù)與初步擬合數(shù)據(jù)相比，基圓半徑誤差能減小兩個(gè)數(shù)量級(jí)，發(fā)生角誤差減小一個(gè)數(shù)量級(jí)，精度可以滿足加工要求。

由上得到渦旋型線圓漸開線方程。

外壁漸開線方程

內(nèi)壁漸開線方程

5 結(jié)論

本文提出了一種基于CAD繪圖軟件的渦旋壓縮機(jī)型線方程反求方法。該方法借助CAD繪圖軟件，根據(jù)基圓漸開線的生成原理和性質(zhì)，由未知圓漸開線上的3個(gè)點(diǎn)，借助幾何法便可完成基圓圓心和基圓半徑的反求。將該方法應(yīng)用于輔助反求渦旋壓縮機(jī)型線方程上，最終反求得出的型線方程，與實(shí)際型線方程對(duì)比，基圓半徑的誤差eR0=9.85046×10-5mm，發(fā)生角的誤差eα=-0.00038317 rad，精度能夠滿足加工要求。