洋洋的多邊形問題

劉頓

在學(xué)習(xí)多邊形時(shí)，總會遇到以多邊形的內(nèi)角和公式為背景的習(xí)題.這類習(xí)題形式豐富，變化多端.這不，洋洋同學(xué)就遇到了一些涉及角度的問題一

一、漏掉一個(gè)角的問題

例1，洋洋在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，不小心算漏了一個(gè)角，得到的內(nèi)角和為2 020°.你知道他漏算的那個(gè)角的度數(shù)嗎？這個(gè)多邊形是幾邊形？

分析：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，其內(nèi)角和應(yīng)是180°的整數(shù)倍，且每一個(gè)內(nèi)角應(yīng)大于0°而小于180°.根據(jù)這些條件即可求解，

解：n邊形的內(nèi)角和是1800的整數(shù)倍，根據(jù)題意，得

2 020°÷180°=11……40°，則漏算的角應(yīng)是180°-40°=140°.

所以該多邊形的內(nèi)角和為2 020°+140°=2160°，其邊數(shù)為14.

二、多加一個(gè)角的問題

例2 洋洋在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心，誤把一個(gè)外角加了進(jìn)去，得其和為2 260°.此時(shí)的洋洋陷入了求解的困境，請你幫助洋洋找出這個(gè)外角，并確定這個(gè)多邊形的邊數(shù)，

解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.多加的外角度數(shù)為a，則根據(jù)題意得（n-2）.180°=2 260°-a.因2 260°=12x180°+100°.而內(nèi)角和應(yīng)是180°的整數(shù)倍，故洋洋多加的一個(gè)外角為100°.這是十四（12+2）邊形的內(nèi)角和，

說明：在本題中，誤加進(jìn)去的外角的取值范圍應(yīng)該是大于0°小于180°.另外，注意求得的邊數(shù)是14，而不是12.

三、內(nèi)角依次增加的問題

例3 洋洋在做關(guān)于多邊形的內(nèi)角和的題目的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)有這樣一道題：

一個(gè)多邊形的所有內(nèi)角如果從小到大排列，恰好依次增加相同的度數(shù)，且最小的角為100°，最大的角為140°.求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和依次增加的度數(shù).

對此題洋洋感到很困惑.你能幫洋洋解決問題嗎？

分析：若設(shè)該多邊形為n邊形，則其內(nèi)角和為180°· （n-2）.因?yàn)樽钚〗菫閘00°，最大角為140°，且依次增加的度數(shù)相同，則它的內(nèi)角和應(yīng)該為（100°+140°）n/2進(jìn)而可以求解.

解：若設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n，則有

（100+140）n/2=180·（n-2），

解得n=6.

依次增加的度數(shù)是

（140°-100°）÷（6-1）=40°÷5=8°.

故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6，依次增加的度數(shù)是8°.

四、說法對否的問題

例4 已知n邊形的內(nèi)角和θ=（n-2）×180°.

（1）洋洋說，θ能取360°.芳芳說，θ也能取630°.洋洋和芳芳的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n;若不對，請說明理由.

（2）洋洋還給芳芳出了下面這個(gè)題目：

若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，內(nèi)角和增加了360°.試確定x.

請幫芳芳解決問題.

解：（1） 360°÷180°=2，

630°÷180°=3……90°.故洋洋的說法對，芳芳的說法不對.3600÷180°+2=2+2=4.洋洋同學(xué)所說的多邊形的邊數(shù)是4.

（2）依題意，有

（n+x-2）x180°-（n-2）x180°=360°，解得x=2.

五、外角與內(nèi)角的問題

例5 洋洋發(fā)現(xiàn)，一個(gè)多邊形的一個(gè)內(nèi)角的補(bǔ)角與其他的內(nèi)角的和恰為500°.求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

分析：此題按一般方法解比較困難，不妨換一個(gè)角度思考，由靜思動(dòng).先設(shè)題目中所述的內(nèi)角為a，則它的補(bǔ)角為β=180°-a.再把a(bǔ)看作變化的角，讓a由小變大，

解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n.因?yàn)槎噙呅蔚膬?nèi)角和是（n-2）x180°，所以500°-180°<（n一2）×180°<500°+180°.整理得3 7/9