改進的黏彈材料應力松弛模型

康永剛， 張秀娥

(防災科技學院, 三河 065201)

在取定應變的情況下，應力隨時間增加而減小的現(xiàn)象，稱為應力松弛。應力松弛對評價黏彈材料的長期使用很重要，相應的理論和方程是材料科學的重要研究內(nèi)容[1]。常見的黏彈性模型由虎克彈簧和牛頓黏壺組合得到，由它們的本構(gòu)方程可以得到相應的應力松弛函數(shù)[2]。近幾十年，分數(shù)模型的研究是熱點[3-4]，它們的本構(gòu)方程含有分數(shù)階導數(shù)或積分，相應的應力松弛函數(shù)含有Mittag-Leffler函數(shù)。工程上，經(jīng)驗松弛公式[5-6]也比較常用。在實際應用時，這些模型都有一定的局限性[7]。由彈簧和黏壺構(gòu)造的模型，優(yōu)點是形象直觀、物理意義明確。缺點是要準確描述實驗數(shù)據(jù)，需要含較多彈簧和黏壺的結(jié)構(gòu)，即包含較多的待定參數(shù)，從而計算難度也會增加。用相對較少的參數(shù)給出實驗數(shù)據(jù)比較精確的描述，是構(gòu)造模型時必須考慮的問題。

一些研究者指出，可結(jié)晶性聚合物表現(xiàn)出兩種典型的應力松弛行為：當初始應力較大或溫度較低時，松弛速率與應力滿足指數(shù)關(guān)系(exponential law)；當初始應力較小或溫度較高時，松弛速率與應力滿足冪律關(guān)系(power law)[8]。許多研究者從松弛動力學角度來研究該現(xiàn)象。唯象黏彈模型與實際工程應用緊密相連，但是各種模型并沒有給出松弛速率與應力的這種關(guān)系。

經(jīng)典黏彈模型中的黏性元件為牛頓黏壺。實際流體不一定符合牛頓流動定律，如黏度不是常量，具有屈服應力、彈性特性、觸變流體等[9]。用假塑性黏壺與彈簧串聯(lián)，得到改進的Maxwell模型。改進的Maxwell模型再與彈簧并聯(lián)，給出改進的Zener模型。并且得出松弛速率與應力滿足冪律的關(guān)系及冪律型松弛函數(shù)。

1 改進的Maxwell模型

牛頓流體滿足條件為

(1)

(2)

式(2)中：k和n為材料參數(shù)。

滿足式(2)的黏壺，有假塑性黏壺(01)。指數(shù)n與1相差越大，說明流體的非線性越強。雖然冪律流體有較大的實用價值，但用滿足式(2)的黏壺來構(gòu)建黏彈模型的研究并不多，筆者曾用該類型黏壺(以假塑性黏壺為例)代替牛頓黏壺，構(gòu)造出改進的兩元件和三元件模型，可以較好地描述材料的蠕變實驗數(shù)據(jù)[10-11]。

Maxwell模型是虎克彈簧和牛頓黏壺的串聯(lián)結(jié)構(gòu)，能定性描述應力松弛過程，不能描述材料的實際蠕變行為。用滿足式(2)的假塑性黏壺(即0

(3)

由式(2)得

(4)

式(3)和式(4)相加，給出改進的Maxwell模型的本構(gòu)方程為

(5)

圖1 改進的Maxwell模型Fig.1 Modified Maxwell model

蠕變時應力為定值，該模型的蠕變函數(shù)(時間的一次函數(shù))與實際材料蠕變行為并不相符。

應力松弛時應變?yōu)槌?shù)ε0，可得到松弛方程為

(6)

式(6)中：K為常數(shù)。

松弛速率與應力之間存在冪律關(guān)系。

式(6)作為一種非Debye松弛方程，引起一些研究者的興趣[12]。應變?nèi)《ㄖ郸?，對式(5)分離變量求定積分，由于初始時刻σ0=Eε0，得到式(5)對應的松弛函數(shù)為

(7)

或整理為相對簡潔的形式為

σ=(t/τ+c)-α

(8)

σ=(t/τ)-α

(9)

可見，常見的冪律型松弛為式(7)的近似情況，可把式(7)稱為改進的冪律型松弛。許多材料的松弛曲線滿足冪律函數(shù)式(9)，但一般只是當作一種經(jīng)驗公式來用。利用假塑性黏壺構(gòu)建改進的Maxwell模型，給出該類松弛的本構(gòu)方程，以及冪律函數(shù)的指數(shù)α與表示材料非線性的參數(shù)n的關(guān)系。圖2是指數(shù)α隨參數(shù)n的變化曲線，α隨n的增大而變大。式(9)有一個不足，即初始時刻時趨于無窮大，與實際情況不相符。改進的Maxwell模型的松弛方程式(7)克服了這一局限。

圖2 α隨n的變化曲線Fig.2 The curve ofα following n

下面推導式(7)與Debye型松弛的關(guān)系。式(7)可變?yōu)?/p>

(10)

進一步對指數(shù)進行改寫，得到

(11)

σ=Eε0e-Et/k

(12)

注意，此時k=η。即經(jīng)典的Maxwell模型作為一種特例，包含在改進的Maxwell模型中，即Debye型松弛是冪律型松弛式(7)的特例。

圖3(a)是n取值變化時，式(7)在雙對數(shù)坐標下改進的Maxwell模型的松弛曲線，其他參數(shù)分別為E=100 Pa，k=0.05 Pa·sn和ε0=0.1。注意，由式(2)可知，參數(shù)k的單位與指數(shù)n有關(guān)?？梢?，松弛曲線可分為兩個區(qū)域。而比較常用的經(jīng)驗松弛函數(shù)f(t)=(t/τ)-α在此類坐標下為直線，對表現(xiàn)為兩個區(qū)域的松弛過程是不能描述的。圖3(b)是k取不同值時，式(7)在雙對數(shù)坐標下的曲線，其他參數(shù)分別為n=0.9，E=100 Pa和ε0=0.1。時間增加，k值對曲線的影響越大。圖3(c)是E取不同值時，式(7)在雙對數(shù)坐標下的曲線，其他參數(shù)分別為n=0.9，k=0.05 Pa·s0.9和ε0=0.1?？梢姡珽對整個時間域的松弛曲線都有明顯影響。

圖3 冪律松弛函數(shù)式(7)的松弛曲線Fig.3 Power function Eq.(7)

2 改進的Zener模型

Zener模型(標準固體模型)既可以定性描述黏彈性材料的應力松弛特征，也可以定性描述其蠕變特征。Zener 模型是一種三元件模型，由一個Maxwell 單元和一個虎克彈簧并聯(lián)得到。用改進的Maxwell模型與彈簧并聯(lián)，得到一種改進的Zener模型(圖4)。并聯(lián)時應變相同，這兩部分分別滿足方程式(13)和式(14)，即

(13)

σR=E0ε

(14)

式中：σL為左邊改進的Maxwell單元的應力；σR為右邊彈簧的應力。

式(14)兩邊同乘以E-1k1/n，加到式(13)兩邊，得到

(15)

式(15)變?yōu)?/p>

(16)

式(14)兩邊加到式(16)兩邊，得到改進模型的本構(gòu)方程為

(17)

并聯(lián)時合應力為各部分應力之和，改進的Zener模型松弛函數(shù)為改進的Maxwell單元和彈簧E0的松弛函數(shù)之和，即

σ=[α-1Ek-1/nt+(Eε0)-1/α]-α+E0ε0

(18)

式(18)中：α=n/(1-n)。當t較大時，忽略求和項(Eε0)-1/α，式(18)可簡化為σ=At-α+B形式，該松弛函數(shù)也比較常用。σ0表示常應力，此時對式(17)進行分離變量求定積分，由于t=0時σ0=ε0(E0+E)，所以改進的Zener模型的蠕變函數(shù)為

(19)

σ=Eε0e-Et/k+E0ε0

(20)

(21)

因此，經(jīng)典模型可認為是改進模型的一種特殊情況。

圖5是E0分別為1、2、3 Pa時式(18)的松弛曲線，其他參數(shù)分別為n=0.9，k=0.05 Pa·s0.9，E=100 Pa,ε0=0.1?？梢?，改進的Zener模型松弛曲線可分為三個區(qū)域，E0主要影響第三個區(qū)域。

圖4 改進的Zener模型Fig.4 Improved Zener model

n=0.9， k=0.05 Pa·s0.9， E=100 Pa，ε0=0.1圖5 松弛函數(shù)式(18)的松弛曲線Fig.5 Stress relaxation function Eq.(18)

3 對聚異丁烯松弛模量的研究

圖6 式(9)對聚異丁烯應力松弛模量的擬合Fig.6 Eq.(9) fit of stress-relaxation modulus of polyisobutylene

圖7 式(8)對聚異丁烯應力松弛模量的擬合Fig.7 Eq.(8) fit of stress-relaxation modulus of polyisobutylene

4 結(jié)論

(1)用假塑性黏壺與彈簧串聯(lián)，得到改進的Maxwell模型。改進的Maxwell模型再與彈簧并聯(lián)，得到改進的Zener模型。常應變時，可得出松弛速率與應力滿足冪律關(guān)系。

(2)求解本構(gòu)方程得到改進的冪律型松弛函數(shù)。常見的松弛函數(shù)f(t)=(t/τ)-α是改進松弛函數(shù)的一種近似情況，而Debye型松弛是改進松弛函數(shù)的極限情況。并且改進松弛函數(shù)，克服了函數(shù)f(t)=(t/τ)-α當t→0時趨于無窮大的缺點。

(3)在雙對數(shù)坐標中，松弛函數(shù)f(t)=(t/τ)-α為直線，而改進的冪律型松弛函數(shù)分為兩個區(qū)域，其中一個區(qū)域近似為直線。因此，改進的冪律型松弛函數(shù)對于一部分為直線的松弛過程比較適用。并且擬合比較方便，可先擬合直線確定部分參數(shù)。