問題為基礎的啟發(fā)式教學方法的具體應用“直線的一般形式”教學過程

1.回顧已知

老師：在此之前，咱們學習了平面直角坐標系中直線方程的幾種特殊形式。那么，請同學們獨立完成一下這個表格。

使用前提 直線方程

點斜式

斜截式

兩點式

截距式

（將直線方程的特殊形式進行系統(tǒng)的整理歸納，能喚醒學生對直線方程的基本記憶，使其與此節(jié)課新學的知識點有所聯(lián)系，便于學生將直線方程進行系統(tǒng)化的整理。）

2.引入課題

老師：剛才我們已經對上節(jié)課所學的知識進行了復習回顧，現(xiàn)在我想請大家思考一個問題：上述四種特殊形式的直線方程是否能夠表示平面直角坐標系中全部的直線？

（學生在圍繞直線方程特殊形式的局限性而展開積極主動思考時，會有一種卻想說而不知道該如何表達的心理狀態(tài)，這時的學生思維最活躍，教師把握好時機適當加以誘導能更好推動課堂高效發(fā)展。）

H同學：我認為可以。

I同學：我認為H是錯誤的，因為每種特殊形式的直線方程在表示直線的時候都有條件限定。

（兩人的觀點產生了沖突，大家都被卷入這場博弈之中，能夠激發(fā)同學們繼續(xù)學習研究的欲望）

J同學：我認為I說的是對的。因為只有當被表示的直線 與 軸垂直，即直線 的斜率存在時，才可以用點斜式或斜截式表達;而只有當直線 與 軸不垂直，也與 軸不垂直，也就是當直線 上的兩定點滿足 且 ，時，才能運用兩點式進行表示; 線在兩軸上的截距都存在，且 ， 時才能用截距式。

老師：同學們都講得很好，根據(jù)剛剛我們一起的討論和幾位同學的優(yōu)秀總結，現(xiàn)在可以得到：

1.我們上節(jié)課所學到的直線方程的四種表達形式都不能適用于平面直角坐標系中任意一條直線，他們有其各自的限制。

2.因為與 軸垂直的直線的斜率存在，其方程雖然不能用截距式表示，但可以用斜截式表示。那么，同理可得，過原點且不與x軸垂直的直線也是這樣。

那么現(xiàn)在就出現(xiàn)了一個問題請大家思考一下：有沒有那么一種直線，是四種特殊形式都無法進行表達的呢？如果有，它有什么特征？

所有學生：有！它與 軸垂直。

老師：那有沒有辦法把用方程表示出與 軸垂直的這一類直線？

所有學生：有！就是 。

（經過一番引導推理，學生對與 軸垂直的直線的方程表達形式有了一定的自我理解和猜想，接下來自然而然就是要把它完善。）

3.內容展開

老師：探索到現(xiàn)在為止，我們知道了任何一條平面直角坐標系中的直線都可以用直線方程的四種特殊形式加上 這五種形式中的一種或多種進行表達。

那么請大家再進行思考：我們能不能創(chuàng)建一個新的表達形式，可以將上述五種直線方程的表達形式都囊括其中？

（經此一問，學生再一次被置于“憤悱的情境之中，對新知識探究的欲望更強烈了。）

L同學： 由上節(jié)課可知，直線方程的其他三種特殊形式都可以轉化為斜截式，因此我覺得可以將直線的表達形式都統(tǒng)一于斜截式中。

M同學：那方程 也可以統(tǒng)一在斜截式中嗎？

L同學：哦！我沒把這個方程考慮在內。

（等大多數(shù)學生感到難以統(tǒng)一時，教師可以適當提示）：直線方程的四種特殊形式雖然各有不同，但大家可以嘗試著找找它們的共同點。

N同學：直線方程的這些表達形式都是關于x，y的二元一次方程。

老師：咦， 也是嗎？

O同學：當然是！只要使未知數(shù)y的系數(shù)為0，即 ，簡寫就是 。

P同學：這么一說，方程 還能看成是關于未知數(shù)x，y， ……的一次方程呢！

O同學：現(xiàn)在我們只是在平面直角坐標系中討論，只要未知數(shù)的個數(shù)小于等于二，所以，方程 只看成 ， 的一次方程就夠了。

老師：真好，同學們都敢于對其他同學的觀點進行辯駁，說明大家都有敏銳的觀察力和較強的思辨能力。那么，我們可以用一個怎樣的方程來表示平面直角坐標系中的任一直線呢？

所有學生：可以用含未知數(shù) ， 的一次方程 對平面直角坐標系中的任意一條直線進行表達。

老師：不錯！就像大家剛剛說的一樣：平面直角坐標系中任何一條直線都可用方程 來表示。

那么，聯(lián)系直線方程的定義，請大家再仔細想想：你怎么就確定方程 表示的總是直線呢？（這樣能使知識環(huán)環(huán)相扣，精益求精，使數(shù)學更加精確，問題有了新的走向，能夠充分開發(fā)學生的大腦思維的同時也將同學們刨根到底的心態(tài)進一步激發(fā)了。）

Q同學：用描點法就行。

R同學：描點法所畫出的圖象往往只是近似的，用它進行數(shù)學結論的嚴格證明還是有所不妥。

S同學：我認為可把方程 化為直線方程斜截式的樣子，如 ，也就是說它所表達的直線斜率是 ，與y軸所截得的截距是 。

同學：你說的是 的情況，在 時，由于 ， 不能同時等于0，那么這種情況下 就可以化為 ，顯而易見，它與x軸垂直了。

老師：請大家仔細想想，結合S和T說的，可以解決什么問題？

所有學生：證明了關于未知數(shù)x，y的一次方程 總是表示一條直線。

老師：那么，咱們這節(jié)課討論到現(xiàn)在就成功得到了以下結論：

首先，平面直角坐標系中的任意一條直線都可寫成關于未知數(shù)x，y的一次方程 的形式;

其次，方程 在平面直角坐標系中表達的總是直線。

老師：那么，我們剛剛推導出來的方程 與直線的四種特殊表達形式之間有怎樣的聯(lián)系？咱們該怎么稱呼它？

所有學生：剛剛推導出來的方程是方程其它表達形式的總和，囊括了它們所有可能的情況。我們可以稱方程 為直線方程的一般形式。

老師：很好，看樣子大家對直線方程的一般形式已經有了一定的了解和掌握，那么接下來請大家做兩道題來鞏固一下！

4.課堂練習

完成書后習題第四大題，做完之后小組之間可以相互檢查討論。

作者簡介：張紫薇（1997.10），女，漢族。湖南湘潭，碩士研究生。湖南科技大學，學科教學（數(shù)學）