數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)算理理解

教學(xué)內(nèi)容

《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（人教版）三年級下冊第二單元第15-16頁

教學(xué)目標(biāo)

1.理解一位數(shù)除兩位數(shù)的算理，掌握筆算方法。

2.經(jīng)歷筆算除法的探究過程，滲透數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，初步形成歸納概括能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

3.體驗數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重難點

教學(xué)重點是掌握除數(shù)是一位數(shù)的筆算方法。教學(xué)難點是理解每求出一位商后，如果有余數(shù)，應(yīng)該與下一位的數(shù)和在一起繼續(xù)除的道理。

教學(xué)策略

1.實物操作。在教學(xué)筆算除法時，要注意將分小棒的過程充分“物化”，讓學(xué)生在具體操作中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并為理解相應(yīng)的豎式計算過程提供支持。

2.數(shù)形結(jié)合。在講解與歸納過程中通過小棒將算理具體化，讓學(xué)生理解每一步計算結(jié)果的含義，在具體實踐中，建立形象，形成表象，逐步感悟算理，促進(jìn)思維發(fā)展。

3.注重表達(dá)。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1.出示情境：同學(xué)們，每年的3月12號是我國的植樹節(jié)。請看，小朋友他們正在種樹呢！從圖你們能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？（課件出示主題圖）

2.導(dǎo)入新課：請學(xué)生思考，怎樣解決我們提出的問題？（三年級平均每班植樹多少棵？四年級平均每班植樹多少棵？ ）

設(shè)計意圖：充分利用主題圖，培養(yǎng)學(xué)生愛護(hù)環(huán)境，保護(hù)自然的情感，使學(xué)生知道在植樹活動中有數(shù)學(xué)，激發(fā)問題意識。

二、合作交流，探究新知

（一）教學(xué)例1

1.列式：孩子們，我們先來解決三年級的問題，三年級平均每班要種多少棵樹，你們會列式嗎？

生：42÷2。

師：能說說理由嗎？你說要把42棵樹平均分給兩個班，所以要用除法。

2.嘗試計算

師：請同學(xué)們先想一想，可以怎樣求42÷2的得數(shù)，并將想法填寫在學(xué)習(xí)單上，最后以四人小組為單位議一議。

學(xué)生匯報：

法一：估算

生1：將42÷2看成40÷2，大約等于20。

師：很好，估算可以幫我們后面判斷筆算結(jié)果是否合理提供了依據(jù)。

法二：口算

生2：把42分成40和2，40÷2=20，2÷2=1，最后把它們的結(jié)果相加得21。

師：你能用我們學(xué)過的表內(nèi)除法的知識來解決問題，真不錯。

法三：擺小棒

讓分小棒的小組到講臺前演示分小棒的過程，并進(jìn)行講解：42就是4捆小棒加上2根小棒。先分4捆小棒，把4捆小棒平均分成兩份，每份是2捆小棒，還剩下2根小棒，把這2根小棒平均分成兩份，然后跟剛才分的2捆小棒合起來。平均每份就有21根小棒。

師：同學(xué)們，你們看懂了嗎？他們借助我們的老朋友小棒來解決問題！

設(shè)計意圖：以上設(shè)計注重算法的多樣化。首先需要充分認(rèn)識估算在日常生活和工作中的廣泛作用，認(rèn)識估算對學(xué)生的數(shù)感培養(yǎng)具有重要意義，同時立足于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，讓學(xué)生運用已有知識經(jīng)驗解決新問題，感受新舊知識之間的聯(lián)系，為后面理解豎式的算理起到了很好的思維及形式的鋪墊。

3.講明算理（以下要將擺小棒圖與說理結(jié)合起來）

法四：筆算

師：大家能不能列豎式來計算？那請一位為學(xué)生黑板將計算過程寫出來。

（1）教師提問：孩子們，你們看明白了嗎？誰能夠結(jié)合擺小棒的方法說說他們是怎么筆算的？

教師根據(jù)學(xué)生回答，結(jié)合小棒進(jìn)行講解：先從十位除起，十位上有4個十，4個十除以2等于2個十，也就是把這4捆小棒平均分成了兩份，每份2捆，所以在十位上商2。2乘2個十等于4個十，表示被分掉的4個十，也就是剛才分掉的4捆小棒。已經(jīng)分掉了4個十，還剩個位上的2個一，就是剩下的2根小棒，2個一除以2，商1，1乘2，一二得二，也就是分掉的2根小棒。相減得0。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生將42根小棒平均分成兩組的思考過程和豎式筆算的過程進(jìn)行對照，筆算過程就是把分小棒的過程用豎式的形式表示出來，讓學(xué)生看到豎式筆算與分小棒的過程存在著本質(zhì)的聯(lián)系，為學(xué)生深刻理解算理奠定堅實基礎(chǔ)。

（2）加深理解

教師：對于我們剛才的解答過程，你們還有什么疑問嗎？

A：為什么要在十位上商2？（把這4捆小棒平均分成了兩份，每份2捆，所以在十位上商2）

B：過程中的4表示什么？（表示被分掉的4個十，也就是剛才分掉的4捆小棒）

C：下面的兩個2是什么意思？（上面的2表示還剩2個一，就是剩下的2根小棒;下面的2表示分掉2個一，也就是分掉2根小棒）

D：0代表什么？（表示沒有剩余，因為還剩2個一，又分掉2個一，因此沒有剩余）

設(shè)計意圖：通過討論交流，讓學(xué)生理解豎式的算理，先從高位算起，個位未進(jìn)行計算移下來計算，講完過程后又通過一系列問題討論來加深印象，能夠讓學(xué)生對算理清晰理解。

4.小結(jié)并優(yōu)化：（1）回顧一下，我們都是怎樣解決問題的呢，請你來說一說，請同桌間也互相說一說。（2）我們用了這么多種方法來解決問題，你們最喜歡哪一種？為什么？你說最喜歡列豎式計算的方法，它不僅計算簡潔，并且每一部表示上面意思都很清楚。這就是我們今天要學(xué)習(xí)的兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法（板書課題：筆算除法）

（二）教學(xué)例2

1.列式：同學(xué)們，那四年級平均每班種多少棵樹？我們可以怎么列式？大家都說用52÷2。你們能結(jié)合例1所學(xué)的除法豎式，先擺一擺小棒，然后在學(xué)習(xí)單上將分52根小棒的過程用豎式表示出來嗎？如果有問題，可以隨時求助老師！

設(shè)計意圖：例2教學(xué)時同樣要讓學(xué)生經(jīng)歷分小棒的過程，將分小棒的過程和豎式結(jié)合起來，以便借助數(shù)形結(jié)合提煉算法，實現(xiàn)算理到算法的自然過渡。

2.學(xué)生匯報結(jié)果，結(jié)合小棒明確豎式的計算過程：

（1）?????? 筆算除法的計算時，要從被除數(shù)的最高位除起。

（2）?????? 被除數(shù)十位上的5表示5個十，5捆小棒不能平均分成2份，最多平均分其中的4捆，平均分成兩份，每份是兩捆。表示最多能分2個十，要在商的十位（跟被除數(shù)的十位數(shù)對齊）上寫2。

（3）?????? 用除數(shù)2去乘2個十，積是4個十，把4寫在十位5的下面。5捆小棒分掉4捆，還剩l捆，5減4得1，表示十位上還剩1個十沒有分。

（4）?????? 剩下的1捆小棒，要拆開與2根合并為12根再分。也就是剩下的1個十與個位上的2個一合并。這時要把十位上的余數(shù)1個十和被除數(shù)個位上的2落下來，合在一起，表示剩下12個一。12除以2得6，要在商的個位（和被除數(shù)的個位對齊）上寫6。

（5）?????? 再用除數(shù)2去乘6，積是12，表示從被除數(shù)中又分掉12個一，寫在落下來的被除數(shù)的12的下面。12減12得0，在余數(shù)的位置上寫0，表示分完了，計算過程結(jié)束。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生充分經(jīng)歷直觀操作（ 平均分小棒）、語言表征（具體說說怎么分的）以及符號表征（抽象出豎式）的過程。這樣，學(xué)生既能說清操作過程，看懂圖示，會用豎式表示，又能根據(jù)豎式用操作活動和圖示進(jìn)行解釋，促進(jìn)了學(xué)生對算理的理解。

3.驗算：同學(xué)們，我們剛才通過探究52÷2=26，到底正確嗎？應(yīng)該怎么辦？

你們提出要進(jìn)行驗算，你是說：在沒有余數(shù)的除法算式里，可以用商和除數(shù)相乘，看是不是被除數(shù)來進(jìn)行驗證。你的方法很巧妙，那請同學(xué)動手算一算。

設(shè)計意圖：驗算可以幫助學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)解答問題時出現(xiàn)的錯誤，并能迅速糾正。驗算可以有效幫助學(xué)生克服“粗心”的缺點。提高學(xué)生計算能力的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的驗算習(xí)慣。

（三）比較例1和例2的區(qū)別

師：同學(xué)們，我們今天通過筆算除法來解決問題，比較一下，例1和例2的兩個除法豎式有什么不同呢？我們是怎樣進(jìn)行計算的？

生1：第一個豎式，除數(shù)去除被除數(shù)最高位時能夠除盡，沒有余數(shù)。第二個豎式，除數(shù)去除被除數(shù)最高位時不能除盡，有余數(shù)。

師：筆算除法時，如果十位上除后有余數(shù)怎么辦？

生2：如果除到被除數(shù)的十位以后還有余數(shù)，要把余數(shù)與被除數(shù)的下一位數(shù)合起來繼續(xù)除。

設(shè)計意圖：通過比較兩道例題的區(qū)別，突出“被除數(shù)十位上有余數(shù)”的情況，幫助學(xué)生掌握兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算方法。

（四）總結(jié)算法

師：我們這節(jié)課探究了筆算除法，誰來說說應(yīng)該怎么計算？

一位數(shù)除兩位數(shù)的筆算方法，從被除數(shù)的高位除起，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在那一位上面，如果求出一位商后還有余數(shù)，余下的數(shù)要與被除數(shù)個位落下來的數(shù)合并后，繼續(xù)除。

三、應(yīng)用拓展，提高技能

完成書本16頁做一做，請你們同桌間化身為書上這兩只小兔子，比一比，看誰又快又準(zhǔn)確計算出這些豎式的得數(shù)，獲得勝利的果實！

設(shè)計意圖：通過練習(xí)一是讓學(xué)生鞏固新知識，提高學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的能力;二是結(jié)合解決課始提出的問題，讓學(xué)生體驗應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思考的重要性。

四、總結(jié)收獲，歸納方法

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了除數(shù)是一位數(shù)除兩位數(shù)的筆算除法？是怎樣學(xué)的呢？誰來跟大家分享一下你的收獲？

小結(jié)：一開始同學(xué)們通過遷移將除數(shù)算式轉(zhuǎn)化為以前學(xué)習(xí)過的表內(nèi)除法來解決問題，能學(xué)以致用。又能通過擺小棒來理解一位數(shù)除兩位數(shù)的除法豎式計算過程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法。如果同學(xué)們以后也遇到類似問題，希望你們能繼續(xù)用這種方法來使問題迎刃而解！那現(xiàn)在讓我們?nèi)ブ腔勰疑详J闖關(guān)吧！

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)通過總結(jié)課題—內(nèi)容—學(xué)法三個層次回顧了整節(jié)課的知識點以及探究過程。讓學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，反思評價，再一次體驗學(xué)習(xí)經(jīng)歷，對學(xué)習(xí)過程是進(jìn)行系統(tǒng)化、條理化的歸納，不僅促進(jìn)學(xué)生掌握知識、領(lǐng)悟方法，培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力。

教學(xué)設(shè)計特色

1.算法多樣，基于已有經(jīng)驗。

學(xué)生新知的學(xué)習(xí)是基于已有知識和經(jīng)驗的主動建構(gòu)，是在原有基礎(chǔ)上形成、拓展、驗證和修改，是一個動態(tài)進(jìn)步的過程。在本節(jié)課教學(xué)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了表內(nèi)除法以及簡單的除法豎式，具有一定的經(jīng)驗。因此在教學(xué)例1時讓學(xué)生自主選擇喜歡的方法來解決問題時呈現(xiàn)出算法多樣的情況，能夠幫助學(xué)生形成發(fā)散思維，復(fù)習(xí)舊知、突破新知。

2.數(shù)形結(jié)合，加強(qiáng)算理理解。

數(shù)學(xué)結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛，它能將數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)來研究，以便以形助數(shù)，使問題簡單化和具體化。例1教學(xué)讓每個學(xué)生經(jīng)歷將42根小棒平均分成兩組的過程，讓學(xué)生明白除的順序和平均分小棒的順序一致，結(jié)合豎式弄清每一步計算中各個數(shù)的含義。例2教學(xué)同樣也要讓每個學(xué)生經(jīng)歷52根小棒平均分兩組的過程，將分小棒的過程與豎式結(jié)合起來，讓學(xué)生明白豎式中每個數(shù)的含義及來由，借助文字表征提煉算法，實現(xiàn)由算理到算法的自然過渡。因此在教學(xué)過程中多運用直觀工具教學(xué)，對于學(xué)生鞏固和加深對有關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解、打好基礎(chǔ)、提高能力是非常重要的。

3.問題啟發(fā)，促進(jìn)思維深層。

解決問題不是單純的解數(shù)學(xué)題，而是包括提出數(shù)學(xué)問題、建立數(shù)學(xué)模型、尋找解決問題的策略、制定解決問題的計劃、實施解決方案、反思評價等。在本節(jié)課教學(xué)中，首先設(shè)計了導(dǎo)向性的問題“可以怎樣求42÷2的得數(shù)”;接著是計劃性問題“結(jié)合擺小棒的方法說說他們是怎么筆算的？”;最后是目標(biāo)性問題“筆算除法應(yīng)該怎么計算？”使得學(xué)生探究并理解筆算除法的算理，進(jìn)一步掌握算法。教師和學(xué)生圍繞這個問題進(jìn)行交往互動，形成解決問題的方法，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是解決問題的過程。

作者簡介：潘婉婷（1996-）女，漢，福建泉州，研究生在讀，集美大學(xué)（福建廈門，361021），基礎(chǔ)教育