反證法在高等數(shù)學中的應用和對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

孫春薇 王旭磊

摘?要：反證法是高等數(shù)學一種廣泛應用的思考方法，本文舉例說明了適用反證法的不同情形，幫助學生對其更好地理解、掌握和運用，進而分析了反證法在大學生創(chuàng)新能力、意識和思維的培養(yǎng)中所起的作用。

關(guān)鍵詞：反證法;高等數(shù)學;創(chuàng)新

1 緒論

牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦??！痹跀?shù)學的證題方法中，反證法和分析法、綜合法一樣，歷史悠久，從古希臘傳到現(xiàn)在[1]。

在高等數(shù)學中常常遇到這樣一些命題，它們的結(jié)論很難直接證明，但結(jié)論的反面卻容易否定，能夠通過否定結(jié)論的反面來肯定結(jié)論的正確的方法，就是反證法[2]。事實上，高等數(shù)學中的許多定理是運用反證法證明的，例如，海涅定理的充分性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理、最大最小值定理都是運用反證法的典型[3]。此外，在學習過程中也經(jīng)常要運用反證法來解題。

要推翻一個命題的結(jié)論，也可以只需舉出一個反例。實用中，我們往往找命題中易于觀察、判斷、證明、計算的特殊情況作為反例，因為若對特殊情況命題不成立，那么它對一般情形當然也不成立，這就說明命題結(jié)論不真。

從以上例題可見，要正確使用反證法，要注意以下幾點：

（1）否定結(jié)論前，先要弄清楚結(jié)論的反面，即結(jié)論的否定命題。這一步?jīng)Q定能否正確使用反證法。

（2）否定結(jié)論時，要注意題設中增加了一個新的條件，在證明過程中必須使用這個條件，否則無法引出矛盾。

（3）否定結(jié)論后，需要有根據(jù)地進行推導，設法引出矛盾，這是反證法的關(guān)鍵所在。這一步運用得當，往往能得到一個簡練而確切的證明。

3 結(jié)語

高等數(shù)學教學的重要任務之一，就是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，而反證法這種逆向思考的方法，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力不可或缺的一種思維形式。所以我們在講授反證法時，除了強調(diào)這是一種簡明有效的數(shù)學方法，更要引導學生加強從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維。

參考文獻：

[1]斐禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]呂通慶.數(shù)學分析中一些重要概念及其矛盾概念[M].北京：人民教育出版社，1979.

[3]幾米多維奇，李榮涷譯.數(shù)學分析習題集[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]朱勻華，周健偉，胡建勛.數(shù)學分析的思想方法[M].廣州：中山大學出版社，2001.

基金項目：教育部產(chǎn)學研協(xié)同與人項目“基于能力導向的產(chǎn)學可做應用型學科課程體系建設研究”，青島農(nóng)業(yè)大學校級教學研究項目“創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育與專業(yè)教育融合研究”

作者簡介：孫春薇（1981—?），女，漢族，山東青島人，碩士研究生，講師，研究方向為生物統(tǒng)計;王旭磊（1979—?），男，漢族，山東青島人，博士研究生，講師，研究方向為信息系統(tǒng)管理。