余數(shù)不同，結(jié)果就不相同？

馬迎雪

[摘要]在幫助學(xué)生糾正“余數(shù)不同，結(jié)果就不相同”的錯誤認(rèn)知過程中，深有感觸。對于新知識，不論是學(xué)生還是教師，都應(yīng)該對其深度挖掘，追求知識本質(zhì)。知識不應(yīng)局限于教材本身，更重要的是學(xué)習(xí)知識的過程中收獲的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想，并善于利用思想把知識連點成線，建構(gòu)屬于自己的知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

[關(guān)鍵詞]余數(shù);本質(zhì);深度挖掘;過程;思想;能力

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0057-02

學(xué)習(xí)了蘇教版教材四年級上冊“商不變的規(guī)律”后，學(xué)生出現(xiàn)了較大面積的理解誤區(qū)：200÷30=20÷3=6……2或者200÷30>20÷3。這種情況引起了教師的重視和研討的興趣。為了調(diào)查全班學(xué)生的理解狀況，筆者在班級中進(jìn)行了一次針對性問答：

師：200÷30和20÷3這兩個算式相等嗎？說說你的理由。

生1（非常自信）：當(dāng)然相等，被除數(shù)和除數(shù)同時除以10，商不變，這是商不變的規(guī)律。

師：200÷30=？ 20÷3=？

生2：200÷30=6……20.20÷3=6……2。

師：200÷30=20÷3成立嗎？為什么？

很多剛剛回答“相等”的學(xué)生陷入了思考中或者干脆否定，認(rèn)為不相等，因為余數(shù)不相等，所以結(jié)果也不相等。

調(diào)查顯示，大部分四年級學(xué)生認(rèn)為“余數(shù)不相等，結(jié)果就不相等”。

因為五年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了小數(shù)除法，于是筆者也在五年級展開了同樣的調(diào)查：

師：四年級時我們學(xué)的是有余數(shù)的除法，算得200÷30=6……20。20÷3=6……2，那么200÷30=20÷3嗎？為什么？

生1：相等（開始說“不相等”，但慌忙搖頭堅定地改口說“相等”），因為200÷30=20÷3=6.66……

師：可余數(shù)不相等啊。

（片刻的安靜后）

生2：有余數(shù)說明有剩余還可以繼續(xù)平均分，余2是繼續(xù)平均分成3份，余20是繼續(xù)平均分成30份，所以繼續(xù)分的結(jié)果還是一樣的。

調(diào)查顯示，五年級學(xué)生不再輕易地被表面的結(jié)果迷惑，幾乎所有學(xué)生都認(rèn)定余數(shù)不同只代表沒有充分平均分，充分平均分后的結(jié)果是一樣的。在與五年級學(xué)生交流的過程中發(fā)現(xiàn)，他們四年級學(xué)習(xí)時關(guān)于余數(shù)的思想誤區(qū)已經(jīng)解決，從除法的本質(zhì)平均分人手，有余數(shù)說明有剩余，沒有充分的平均分。用此方法再跟四年級學(xué)生分析時，他們豁然開朗。

在針對學(xué)生較大面積地出現(xiàn)理解誤區(qū)進(jìn)行調(diào)查和解決的過程中，產(chǎn)生了幾點關(guān)于課堂教學(xué)的思考。

一、追求知識本質(zhì)，規(guī)避表面誤區(qū)

學(xué)生產(chǎn)生“余數(shù)不相等，結(jié)果就不相等”的誤解，歸根結(jié)底是沒有重視知識本質(zhì)，沒有從本質(zhì)入手去思考問題。其實，不論是課堂上，還是做習(xí)題中，學(xué)生都能很快判斷什么情境用除法，也知道除法包含平均分和包含除，但在這個余數(shù)問題中，學(xué)生似乎把目光都放在余數(shù)身上，完全忘記了這是除法中產(chǎn)生的余數(shù)，更別說從平均分的角度來思考問題了。

因此，面對每一個新接觸的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生需要充分經(jīng)歷知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，這樣才可以把新知識的本質(zhì)納入自己的知識系統(tǒng)中。

現(xiàn)如今，追求公式、定理、題海的數(shù)學(xué)時代已經(jīng)過去，義務(wù)教育階段更是注重對知識的追根溯源及于追源過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這顯然對學(xué)生尤其是教師提出了更高的要求，要求學(xué)生有從知識本質(zhì)思考的習(xí)慣，要求教師必須對每一個知識的來龍去脈了如指掌，還要善于洞察學(xué)生的學(xué)習(xí)困難點，并及時引導(dǎo)突破。

二、提高推理能力，抓住培養(yǎng)關(guān)鍵期

在調(diào)查五年級學(xué)生時，發(fā)現(xiàn)他們雖然會有短暫的思考停頓，但很快就得出“雖然余數(shù)不相等，但是得數(shù)依然相等”的結(jié)論。盡管學(xué)生已經(jīng)有了小數(shù)除法的理論基礎(chǔ)，但是他們沒有停止思考，而是用小數(shù)除法的知識得出肯定結(jié)論后，反過來思考為什么會出現(xiàn)余數(shù)不同，一步步想到為什么會出現(xiàn)余數(shù)，進(jìn)而深層次思考除法的本質(zhì)。這一切都得益于學(xué)生有一定的推理能力。而對比中明顯感受到四年級學(xué)生推理能力的不足。小學(xué)生思維能力的發(fā)展是有一定規(guī)律的，其中四、五年級是學(xué)生推理能力發(fā)展的關(guān)鍵期。因此，教師應(yīng)抓住培養(yǎng)關(guān)鍵期，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，教學(xué)時多設(shè)計有效核心問題及問題串，組織學(xué)生思考“為什么”。

其實在數(shù)學(xué)課程中就有很多培養(yǎng)推理能力的內(nèi)容，比如商不變的規(guī)律，就是歸納推理，從特殊到一般的推理。教學(xué)該內(nèi)容時經(jīng)常出現(xiàn)這樣有意思的現(xiàn)象：通過對比式子，大部分學(xué)生得出結(jié)論：“被除數(shù)和除數(shù)同時乘2，商不變;被除數(shù)和除數(shù)同時乘4，商不變……”結(jié)論傾向于就題論題，而只有少部分學(xué)生可以得出比較有概括性的結(jié)論：不管被除數(shù)和除數(shù)同時乘幾，商都不變。因此，如何通過課堂教學(xué)的組織，實現(xiàn)全班學(xué)生從特殊到一般的思想飛躍，再進(jìn)而驗證推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、完善性等，都對學(xué)生和教師提出了更高的挑戰(zhàn)。

作為教師，應(yīng)將學(xué)生能力的培養(yǎng)融進(jìn)課程教學(xué)中，深入思考學(xué)生和課堂的結(jié)合點，提高教學(xué)質(zhì)量，聚焦素養(yǎng)培養(yǎng)。

三、深度挖掘教材，拓寬思維視角

商不變的規(guī)律是通過具體的計算、表格填寫、歸納推理進(jìn)而得出結(jié)論的。學(xué)生掌握這個知識點本身并不難，但是容易形成“什么都不變”的思維定式。就像剛開始問學(xué)生：200÷30=20÷3成立嗎？學(xué)生都回答“成立”，因為商不變的規(guī)律。其實，學(xué)生這時根本就沒有認(rèn)識到雖然結(jié)果是相等的，商是不變的，但是余數(shù)是會變化的事實，更不會認(rèn)識到余數(shù)不僅有變化，而且也是有規(guī)律的。因此在教學(xué)中，教師有必要深度挖掘教材，拓寬思維角度。

在教學(xué)中，商不變的規(guī)律是否可以升級為“商不變、余數(shù)變化的規(guī)律”？在設(shè)計表格時，除了被除數(shù)、除數(shù)、除法算式和商，可增設(shè)“余數(shù)”一欄，通過同樣的推理方式，得到結(jié)論：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變，但是余數(shù)會變，余數(shù)隨被除數(shù)或除數(shù)變化，也要乘以或除以這個相同的數(shù)。其實這個設(shè)計教師肯定不陌生，因為它正好出現(xiàn)在課后練習(xí)中，但是這個問題是不是可以滲透到新課程的學(xué)習(xí)中，甚至可以拓展到更多的版本（商隨被除數(shù)變化的規(guī)律、商隨除數(shù)變化的規(guī)律等）中呢？

知識和思維的延展對學(xué)生來說是有必要的，但是更重要的是通過這種方式，讓學(xué)生了解到書本上的知識是有限的，而通過知識學(xué)習(xí)的過程中感悟收獲的思維和能力卻是無限的。學(xué)生可從不同知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)中感受到相同的思維方式和知識本質(zhì)，比如“小數(shù)點向右（左）移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律”（蘇教版教材五年級上冊）學(xué)習(xí)中同樣應(yīng)用到了歸納推理、“小數(shù)除以小數(shù)”（蘇教版教材五年級上冊）轉(zhuǎn)化時亦用到了商不變的規(guī)律等。學(xué)習(xí)時，學(xué)生對相同的數(shù)學(xué)思想方法又進(jìn)行了一次調(diào)用和鞏固，并且通過相同的思維方式的牽引學(xué)生又可把看似不同的知識點連成線，建立自己的知識體系，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

作為教師，應(yīng)通過平時教學(xué)中出現(xiàn)的問題，及時反思，改進(jìn)教學(xué)，并積極引導(dǎo)學(xué)生，讓課堂更有質(zhì)量。

（責(zé)編 黃春香）