從“開放題”中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

陳向榮

[摘? 要] 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，多強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)以及解題方法的訓(xùn)練，忽視學(xué)生數(shù)學(xué)思維力的養(yǎng)成. 新課改的推進(jìn)，更加注重學(xué)生思維的綜合發(fā)展. “開放題”的出現(xiàn)，契合素質(zhì)教育初衷，更能為學(xué)生提供多樣的數(shù)學(xué)思考空間，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，最大限度地激活學(xué)生的主觀能動性.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);開放題;解題思維;思維力

數(shù)學(xué)教育，要注重學(xué)生個性的發(fā)展，要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的獲得，而這些都要以訓(xùn)練學(xué)生的思維為基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)是思維的體操，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，無論是概念的學(xué)習(xí)還是規(guī)律的學(xué)習(xí)，都必須讓學(xué)生的思維高度參與. 除了概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)之外，還有一個重要的環(huán)節(jié)，就是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用環(huán)節(jié)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決問題，是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要途徑. 初中數(shù)學(xué)中，有一類習(xí)題是開放題，通過多種方式的“開放”，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展有著很重要的提升作用. 對開放題的引入，以答案不唯一、解法不固定等特點(diǎn)，更有助于多視角、多層面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求. 對開放題的運(yùn)用，一方面關(guān)注數(shù)學(xué)知識的靈活運(yùn)用;另一方面，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散，從不同解題技巧、方法上，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

■ 開放題的特點(diǎn)與類型把握

開放題具有探究性，該類題型關(guān)注學(xué)生邏輯思維與分析力的培養(yǎng)，其特點(diǎn)表現(xiàn)在：一是題設(shè)條件要么較多、要么不足. 一些開放題，題目信息很多，但信息并非都有用，一些信息具有混淆解題思路的作用，學(xué)生在面對開放題時，可能會因條件不足或者條件太多無從找準(zhǔn)解題思路. 二是答案不唯一. 開放題的求解，往往在解法上具有多樣性，導(dǎo)致結(jié)果并不唯一，學(xué)生需要嘗試多種解法，來得到不同的答案. 三是結(jié)論不明確. 一些開放題，在題型及呈現(xiàn)方式上，需要學(xué)生自己結(jié)合數(shù)學(xué)推理來獲得正確解法. 由于初中生數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗偏少，數(shù)學(xué)知識面相對狹窄，對開放題的教學(xué)，教師要把握題型的多樣性，向?qū)W生講解不同的求解技巧.

如平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為四條邊的中點(diǎn)，問需要滿足什么條件，四邊形EFGH為菱形？對于該題所需要的條件，并不唯一，學(xué)生可以發(fā)揮空間想象力來嘗試求解. 當(dāng)然，對于結(jié)論不確定的開放題，往往與條件開放有關(guān)，學(xué)生需要辨析開放題的類型，靈活優(yōu)化解題思路.

對于數(shù)學(xué)教師而言，對開放題特點(diǎn)與類型的把握，需要經(jīng)過認(rèn)真的思考來完成. 在教師進(jìn)行思考的時候，必須高度重視學(xué)生的思維情況，尤其是要重視學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，特別要搞清楚所教學(xué)生在思維的哪些方面存在薄弱之處，然后有針對性地選擇開放題，這樣才能起到應(yīng)有的效果，這也是因材施教原則的充分體現(xiàn).

■ 開放題的運(yùn)用，深化學(xué)生對數(shù)

學(xué)知識的建構(gòu)

開放題的學(xué)習(xí)和求解，對初中學(xué)生而言具有一定難度. 但開放題因涉及多個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維力的培養(yǎng)具有重要意義. 教師要注重開放題的運(yùn)用，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，引入開放題，讓學(xué)生在解題中夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識體系. 在學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容時，關(guān)于一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)等知識的整合，我們可以圍繞函數(shù)開放題，讓學(xué)生了解不同函數(shù)的特點(diǎn). 如某題中，要求學(xué)生寫出圖像經(jīng)過（-2，3）的函數(shù)關(guān)系式. 該題的題設(shè)條件是經(jīng)過某點(diǎn)的函數(shù)，只給出了點(diǎn)坐標(biāo)，可能的函數(shù)關(guān)系式既可以是一次函數(shù)，還可以是二次函數(shù)或其他函數(shù)形式. 這種訓(xùn)練，學(xué)生需要結(jié)合不同函數(shù)的知識點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖像經(jīng)過的點(diǎn)坐標(biāo)，逐一寫出符合條件的函數(shù)表達(dá)式. 在初中數(shù)學(xué)階段，開放題在題型及解法上，起點(diǎn)設(shè)置相對要低，學(xué)生較易介入，并能夠從開放題的求解中，讓學(xué)生了解不同函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，為后續(xù)的解題應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

開放題的教學(xué)與運(yùn)用，教師還可以根據(jù)具體問題，引領(lǐng)學(xué)生將所學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行建構(gòu). 開放題在實(shí)踐應(yīng)用中具有良好的綜合性，由于不同問題涉及的知識點(diǎn)較多，需要學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思維. 針對一些難度較高的開放題，教師可以結(jié)合題型，展開深層次的剖析，讓學(xué)生體會知識點(diǎn)的內(nèi)在關(guān)聯(lián). 如“軸對稱圖形”與“圖形的全等”這兩個概念同時出現(xiàn)時，學(xué)生易混淆. 對于圖形全等，可以根據(jù)全等概念，分析全等的條件，梳理證明全等的方法;對于對稱圖形的條件，學(xué)生會從對稱軸的分析入手，辨析兩個圖形為全等關(guān)系. 由此可見，數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，對不同題型的求證或求解，需要學(xué)生具有開放的數(shù)學(xué)思維，并優(yōu)化解題方法. 如某題中，求過一點(diǎn)（0，3），且函數(shù)值y隨自變量x的增大而減少的一次函數(shù)關(guān)系式. 分析題意，既然是求一次函數(shù)關(guān)系式，我們可以引入待定系數(shù)法來求解. 將x=0，y=3，代入y=kx+b（k≠0），再根據(jù)y隨x增大而減少，得出k<0，這樣的k不唯一，可以取多個值. 由此，一次函數(shù)關(guān)系式也具有多種形式，如y=-x+3，y=-2x+3等，都滿足題目要求.

之所以說開放題的運(yùn)用能夠深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的理解，能夠促進(jìn)學(xué)生更有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，是因為學(xué)生在解答開放題的時候，思維非常開放，同時也非?；钴S，這樣學(xué)生就能選擇更多的知識來應(yīng)對要解決的問題，顯然更多知識的選用，可以讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律之間的聯(lián)系. 這種聯(lián)系的存在，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)變得非常高效，同時在這樣的過程中也培養(yǎng)了學(xué)生的知識建構(gòu)能力. 從核心素養(yǎng)的角度來看，這就是一種關(guān)鍵能力. 所以說開放題的教學(xué)與運(yùn)用，客觀上還促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.

■ 借助開放題，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思

維力

開放題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，為學(xué)生提供了更多的探究機(jī)會. 在條件開放的數(shù)學(xué)題目中，從不同條件的變換中，讓學(xué)生開動腦筋、知果尋因. 如某題中，有一長方形紙，長、寬分別為12 cm、5 cm，要在該紙片上剪出一個菱形，求菱形的面積. 對于該題的分析與求解，我們鼓勵學(xué)生結(jié)合剪紙活動來思考，并嘗試求解. 有學(xué)生提出，應(yīng)該先在長方形的長、寬取中點(diǎn)，再進(jìn)行連接，就得到菱形，且該菱形的面積為長方形的一半;有學(xué)生提出，應(yīng)該在兩條長邊各截取一個點(diǎn)，與另外兩頂點(diǎn)連線的長度與所截取的線段的長度相等;有學(xué)生認(rèn)為，可以假設(shè)菱形邊長為x，列出方程求解……通過對學(xué)生不同解題思路的探討，教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理該類開放題的特點(diǎn). 對于圖形認(rèn)知類開放題，建議先畫圖，將抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，為后續(xù)求解創(chuàng)造條件. 初中生在求解開放題時，教師要注重對學(xué)生自主意識的激發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)解題能力.

開放題的學(xué)習(xí)中，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適度布置開放題訓(xùn)練任務(wù)，讓學(xué)生從中獲得多樣的解題方法，鞏固所學(xué)知識. 比如在學(xué)習(xí)“因式分解”知識后，我們可以引入開放題：某二次三項式x2+ax+12，在整數(shù)范圍內(nèi)能進(jìn)行因式分解，則a的值是多少？分析該題，題設(shè)條件限定于整數(shù)范圍，意味著對“12”進(jìn)行拆分，可以有“3×4”“2×6”“1×12”，則a的值可以為7，8，13. 但有學(xué)生認(rèn)為，還可以將“12”拆分為“（-3）×（-4）”“（-2）×（-6）”“（-1）×（-12）”，則對于a的值，又可以是-7，-8，-13. 對于學(xué)生的求解思路，教師要及時進(jìn)行點(diǎn)評. 因式分解類題目，考慮到答案的不唯一性，如果在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，則應(yīng)該包含上述六種情形，a的值應(yīng)該有6個. 對該題的解答，學(xué)生很容易因為忽略了負(fù)數(shù)情形而出現(xiàn)漏解，因此，學(xué)生要理解因式分解的內(nèi)涵，全面考慮解題結(jié)果.

思維力是學(xué)生最重要的能力之一，是智力的核心組成部分，當(dāng)然也是核心素養(yǎng)中強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力. 相對于一般的題目，開放題顯然可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維力. 在開放題的解答過程中，筆者發(fā)現(xiàn)不同學(xué)生的思路往往是不一樣的，這個時候組織學(xué)生進(jìn)行討論與交流，則某位學(xué)生的發(fā)現(xiàn)就有可能補(bǔ)充另一位學(xué)生的盲點(diǎn)，于是在課堂上常常聽到有學(xué)生在恍然大悟之后發(fā)出的驚訝聲音，這就是學(xué)生思維力被激活的一種表現(xiàn)，也體現(xiàn)了開放題在激活學(xué)生思維力方面的價值.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用開放題來充實(shí)教學(xué)，可以讓學(xué)生的思維能力得到很好的培養(yǎng)，可以提升學(xué)生在解題過程中的思維品質(zhì)，從而也就提升了教學(xué)的效果. 從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，初中階段數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)需要很強(qiáng)的能力支撐，這個能力主要就是指思維能力. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是單一指向的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生的思維空間往往比較小，因此思維能力的培養(yǎng)效果就不那么明顯;相比較而言，開放題的選擇與運(yùn)用，就可以化解這些不足，從而更好地優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，提升教學(xué)效果.