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    復(fù)合材料層合板熱彈性問題的新半解析法

    2020-01-18 01:48:16屈鶴鵬劉彥波
    關(guān)鍵詞:合板熱應(yīng)力彈性體

    盧 翔,屈鶴鵬,劉彥波

    (中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院,天津 300300)

    隨著復(fù)合材料在航空航天、汽車工業(yè)、交通運(yùn)輸、化工紡織等領(lǐng)域得到越來越多的應(yīng)用,復(fù)合材料層合板的熱彈性問題逐漸成為材料界和力學(xué)界的研究重點(diǎn)。研究復(fù)合材料層合板的理論主要有以下幾種:經(jīng)典層合板理論、一階剪切變形理論、高階剪切變形理論、高階層合板理論、分層理論以及三維彈性理論[1-3]。上述層合板理論沒有考慮復(fù)合材料承載能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于普通材料的特點(diǎn),在研究復(fù)合材料層合板問題時(shí)均存在不足,不能兼顧精確性和方便性。楊正林等[4]以Hamilton 正則方程理論為基礎(chǔ),給出了層合板熱彈性問題體的半解析法;鄒貴平[5]在一階層合板理論的基礎(chǔ)上,采用共軛辛正交的方法給出了層合板熱應(yīng)力分析的精確解法;隨后,相關(guān)學(xué)者通過增維積分法建立了熱彈性體的齊次狀態(tài)方程,并給出了相應(yīng)的精確解法[6-9]。傳統(tǒng)的半解析法在求解層合板位移和應(yīng)力時(shí)有一定的震蕩性,且隨著網(wǎng)格密度增大,高維指數(shù)運(yùn)算需要耗費(fèi)大量機(jī)時(shí),不適應(yīng)于大規(guī)模有限元問題。

    以彈性力學(xué)最小勢(shì)能原理和修正的H-R 變分原理為基礎(chǔ),將熱彈性體的位移單元[10]與Hamilton 半解析混合單元[11]相結(jié)合,構(gòu)建了新的半解析混合單元,提出了新的半解析法,結(jié)合位移法和Hamilton 正則方程半解析法的優(yōu)點(diǎn),大大簡(jiǎn)化了問題的計(jì)算。通過實(shí)例計(jì)算,研究了梯度溫度載荷作用下層合板的熱彈性問題,通過與不同方法的計(jì)算結(jié)果[12]相對(duì)比,驗(yàn)證了新方法的可靠性。

    1 基本理論推導(dǎo)

    1.1 基本理論

    彈性體在變溫情況下的應(yīng)變分量包括自由熱膨脹引起的應(yīng)變分量和熱膨脹時(shí)彈性體內(nèi)各部分之間相互約束引起的應(yīng)變分量,其與熱應(yīng)力之間同樣服從胡克定律。因此,參照彈性力學(xué)的基本方程,可得各向正交異性復(fù)合材料熱彈性問題的本構(gòu)方程為

    其中:σ = [σxxσyyσzzσyzσxzσxy]T為應(yīng)力變量向量;T 為溫度載荷向量;ε=[εxxεyyεzzεyzεxzεxy]T為應(yīng)變向量;S = C-1為熱彈性體的柔度系數(shù)矩陣;α =[α1α2α30 0 0]T為線膨脹系數(shù)矩陣;

    為剛度系數(shù)矩陣。

    1.2 Hamilton 正則方程和最小勢(shì)能原理

    1.2.1 Hamilton 正則方程

    根據(jù)Hellinger-Reissner 廣義變分原理,層合板熱彈性問題的泛函表達(dá)式為

    其中:Su為應(yīng)力邊界;Sσ為位移邊界;Q=[u v w]T為彈性體的位移向量為邊界面上已知的位移向量;p=[pxxpyypzz]T為彈性體受到的表面力;為邊界面上已知的應(yīng)力向量。

    根據(jù)彈性力學(xué)的Hamilton 正則方程理論,可得熱彈性體修正后的H-R 變分原理為

    其中:p = [ pxzpyzpzz]T為平面外應(yīng)力向量;H 為Hamilton 函數(shù),其表達(dá)式為

    其中:G1和G2為偏微分算子矩陣;Φij為本構(gòu)關(guān)系式(1)經(jīng)轉(zhuǎn)置后應(yīng)力向量與應(yīng)變向量之間的關(guān)系矩陣[6]。

    按照文獻(xiàn)[4]中的方法,分別以P 和Q 為變量對(duì)Hamilton 函數(shù)進(jìn)行變分,可得熱彈性體的Hamilton 正則方程為

    其中:A,B,C 和D 分別為Hamilton 函數(shù)經(jīng)變分后P和Q 的系數(shù)矩陣,即

    1.2.2 最小勢(shì)能原理

    彈性力學(xué)中的傳統(tǒng)有限元位移法是以最小勢(shì)能原理[13]為基礎(chǔ)的,不考慮體積力,則熱彈性體最小勢(shì)能原理的泛函可表示為

    熱彈性體的幾何方程可表示為

    其中,X 為熱彈性體應(yīng)變向量ε 與位移量Q 之間的關(guān)系矩陣,即

    將式(8)代入式(7),可得用位移變量表示的最小勢(shì)能原理為

    2 半解析混合單元模型

    將文獻(xiàn)[11]中的Hamilton 等參元法運(yùn)用到求解層合板的熱彈性問題中。對(duì)于任意形狀的四邊形單元,以平面四節(jié)點(diǎn)Hamilton 等參元為例,將插值后的變量[11]代入式(9)即可得到經(jīng)Hamilton 等參元離散后任意單元的最小勢(shì)能原理的泛函表達(dá)式,即

    由于δΠP=0,因此以Qe為變量,對(duì)式(10)進(jìn)行變分,可以得到

    其中

    按照同樣方法對(duì)熱彈性體的Hamilton 正則方程式(6)進(jìn)行Hamilton 等參元離散,即可得到離散后的Hamilton 正則方程為

    其中:N 為插值函數(shù)矩陣;J 為雅各比矩陣式[11],選取式(12)中的第1 個(gè)方程

    將其與式(11)合并,可建立熱彈性體經(jīng)Hamilton等參元離散后的半解析混合單元模型(不計(jì)體積力),即

    3 層合板熱彈性問題混合方程

    層合板的任一子層均可用上述方法進(jìn)行離散并建立半解析混合單元。經(jīng)過單元組裝,可以得到任一子層的混合狀態(tài)方程。具體對(duì)式(15)求和后可得

    其中:m 為層合板第m 子層;Am、Bm和Km分別為經(jīng)單元組裝后的系數(shù)矩陣;f1m、Γ1m和Γ2m分別為f1e、Γ1e和Γ2e進(jìn)行單元求和后的結(jié)果,即

    在具體求解時(shí),首先對(duì)式(16)第2 個(gè)方程進(jìn)行位移求解,然后將所得位移結(jié)果一一代入第1 個(gè)方程進(jìn)行平面內(nèi)應(yīng)力的求解。因此,式(16)中第1 個(gè)方程就變成更為簡(jiǎn)潔的一階微分方程,即

    其中:Φm(z)=BmQ(z)m+f(z)1m

    式(17)的解為

    其中

    對(duì)于n 層的層合板,根據(jù)層間的連續(xù)關(guān)系,則有

    其中:m = 2,3,…,n;hm為層合板第m 子層的厚度;Pm(0)為第m 層下表面的平面外應(yīng)力向量;Pm(hm)為第m 層上表面的平面外應(yīng)力向量。

    引入傳遞矩陣并結(jié)合式(18)~式(19),可以得到層合板上下表面應(yīng)力之間的關(guān)系表達(dá)式。然后根據(jù)層合板上下表面的應(yīng)力位移初始值即可求得層合板任意位置處的應(yīng)力和位移。

    以上求解方法實(shí)際上就是先求位移,然后求平面外應(yīng)力的微分方程。很明顯,對(duì)比式(6)和式(17)的系數(shù)矩陣可以發(fā)現(xiàn),后者的指數(shù)維數(shù)是前者的1/4。由于傳統(tǒng)位移法在求解位移時(shí)是準(zhǔn)確的,因此從理論上講,新半解析法在保證計(jì)算精度的同時(shí),可以有效提高運(yùn)算速度,減少運(yùn)算時(shí)間。

    4 實(shí)例分析

    選取1 塊等厚度的矩形薄板,如圖1 所示(a,b 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于厚度h),溫度載荷T 為y 的函數(shù)。無量綱化后的幾何性質(zhì):a=100,b=20;材料特性:彈性模量E=210,泊松比v=0.3;應(yīng)力溫度系數(shù):α11=0.000 1,T0=100;板的上下表面和側(cè)面均為應(yīng)力自由表面。分別考慮兩種溫度載荷條件下矩形薄板的熱彈性問題:①T(y)=T0(1-y2/b2);②T(y)=T0(1-y3/b3)。

    圖1 自由邊界條件下的矩形薄板Fig.1 Rectangular plate with free edges

    由文獻(xiàn)[13]可知矩形薄板內(nèi)熱應(yīng)力的精確解為

    離散過程中,由于網(wǎng)格的疏密程度對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較大,因此只選用32 × 12 網(wǎng)格密度下新半解析解的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差分析,即

    A(0,0)和B(0,-20)兩點(diǎn)在不同溫度載荷條件下的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果如表1~表4 所示。

    表1 和表2 分別給出了施加溫度載荷1 時(shí)不同網(wǎng)格密度條件下A(0,0)點(diǎn)和B(0,-20)點(diǎn)熱應(yīng)力σxx的計(jì)算結(jié)果。圖2 和圖3 分別是溫度載荷條件1 作用下A(0,0)點(diǎn)和B(0,-20)點(diǎn)的熱應(yīng)力σxx隨網(wǎng)格密度的變化。由圖2 和圖3 可以直觀地看出,相對(duì)于ABAQUS解,新半解析解的計(jì)算結(jié)果受網(wǎng)格疏密程度的影響更小。通過橫向?qū)Ρ瓤梢园l(fā)現(xiàn),當(dāng)網(wǎng)格疏密程度一樣時(shí),新半解析解比ABAQUS 解更接近精確解,具有更高的計(jì)算精度。即使在網(wǎng)格密度較小的情況下,新半解析解的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果也和精確解十分接近。

    表1 溫度載荷條件1 作用下點(diǎn)A(0,0)處熱應(yīng)力σxx的3 種解Tab.1 σxxat Point A(0,0)under Thermal Case One

    表2 溫度載荷條件1 作用下點(diǎn)B(0,-20)處熱應(yīng)力σxx的3 種解Tab.2 σxxat Point B(0,-20)under Thermal Case One

    表3 溫度載荷條件2 作用下點(diǎn)A(0,0)處熱應(yīng)力σxx的3 種解Tab.3 σxxat Point A(0,0)under Thermal Case Two

    表4 溫度載荷條件2 作用下點(diǎn)B(0,-20)處熱應(yīng)力σxx的3 種解Tab.4 σxxat Point B(0,-20)under Thermal Case Two

    表3 和表4 分別給出了施加溫度載荷2 時(shí)不同網(wǎng)格密度條件下A(0,0)點(diǎn)和B(0,-20)點(diǎn)熱應(yīng)力σxx的計(jì)算結(jié)果。由表3 可以看出,在溫度載荷條件2 作用下,矩形薄板中心處的熱應(yīng)力σxx=0,無論是新半解析解還是ABAQUS 有限元解,都很好地符合了這一結(jié)果。由表4 可以看出,在溫度載荷條件2 作用下,隨著網(wǎng)格密度增大,兩者的計(jì)算結(jié)果均越來越接近精確解。不同的是,與ABAQUS 有限元解相比,新半解析解的計(jì)算結(jié)果誤差更小、精確度更高,并在較小的網(wǎng)格密度下可保證計(jì)算的精確性。網(wǎng)格密度決定了計(jì)算機(jī)的工作量,因此新半解析解在保證較高計(jì)算精度的同時(shí),可有效縮短計(jì)算時(shí)間。同時(shí)對(duì)計(jì)算機(jī)的運(yùn)行內(nèi)存和運(yùn)行速度要求不高,適用于大規(guī)模有限元計(jì)算。

    圖2 A(0,0)點(diǎn)σxx隨網(wǎng)格密度的變化Fig.2 σxxvariation at Point A along with mesh density change

    圖3 B(0,-20)點(diǎn)σxx隨網(wǎng)格密度的變化Fig.3 σxxvariation at Point B along with mesh density change

    在合適的網(wǎng)格密度下,ABAQUS 解也可得到較為精確的結(jié)果。由于研究溫度梯度對(duì)層合板層間熱應(yīng)力影響的文獻(xiàn)較少,因此在沒有精確解做參考的情況下,也可以將新半解析解和ABAQUS 解進(jìn)行對(duì)比分析。

    5 結(jié)語

    新半解析法承襲了傳統(tǒng)位移法和Hamilton 半解析法的優(yōu)點(diǎn),在保證計(jì)算精度的同時(shí),可以大大降低計(jì)算量,有效減少計(jì)算時(shí)間,相對(duì)于原有的半解析混合法和傳統(tǒng)有限元法,更適應(yīng)于大規(guī)模有限元問題的分析。分別采用新半解析法和ABAQUS 有限元仿真計(jì)算不同溫度載荷條件下矩形薄板的熱彈性參數(shù),并與精確解進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性。

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