選點預(yù)設(shè)，互動生成，利用技術(shù)，經(jīng)歷建模

馬晶

【摘要】本文通過函數(shù)建模課例研究，給出選點預(yù)設(shè)、互動生成、利用技術(shù)、經(jīng)歷建模的教學(xué)模式.在建模課中建構(gòu)多元聯(lián)系的學(xué)習(xí)環(huán)境，可使學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模整個過程，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).利用這種模式，能夠打造高效課堂，培育學(xué)生的高階思維.

【關(guān)鍵詞】高階思維;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;選點預(yù)設(shè);互動生成;圖形計算器

一、研究背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提出，是在認(rèn)真總結(jié)先期課改經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)建模育人價值的深度挖掘與進(jìn)一步提升.這必然會對數(shù)學(xué)建模教學(xué)提出新的要求.所以，在核心素養(yǎng)視域下對數(shù)學(xué)建模進(jìn)行研究就顯得十分必要.

不難看到，數(shù)學(xué)建模聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的幾個關(guān)鍵點：基于現(xiàn)實情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題”的過程，進(jìn)而發(fā)展“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力），達(dá)到“三會”（會用數(shù)學(xué)眼光看、會用數(shù)學(xué)思維想、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界）.

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體是數(shù)學(xué)教學(xué)活動.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用信息技術(shù)可以創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，可以幫助學(xué)生自主探究和解決問題，可以將一些抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容通過直觀演示變得直觀.可見，信息技術(shù)對改進(jìn)和完善數(shù)學(xué)教學(xué)活動具有重要作用.因此，本文正是在這樣的背景下，希望通過教學(xué)課例的研究形式探索出新課改中信息技術(shù)支持下的中學(xué)數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)模式.

二、教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)目標(biāo)和評價目標(biāo)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）通過探究身高和體重函數(shù)模型關(guān)系，經(jīng)歷并掌握建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的基本過程和基本思維方式.

（2）在解決建模問題過程中，會應(yīng)用圖形計算器等現(xiàn)代技術(shù)猜想、驗證、探究相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

2.評價目標(biāo)

（1）通過對身高、體重函數(shù)模型的選擇以及選擇理由的闡釋，診斷并發(fā)展學(xué)生的思辨思維.

（2）通過借助圖形計算器對數(shù)據(jù)、圖形、文字的多元處理，診斷并發(fā)展學(xué)生會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界的能力.

（3）通過學(xué)生自主設(shè)計港口函數(shù)模型的體驗過程，診斷并發(fā)展學(xué)生問題遷移的能力.

（二）教學(xué)評價與思路

Ⅰ.提出問題

不憤不啟，不悱不發(fā)，創(chuàng)設(shè)身高、體重預(yù)測軟件情境，把數(shù)學(xué)外部問題引入數(shù)學(xué)內(nèi)部進(jìn)行思考

提出問題：身高、體重預(yù)測軟件背后的數(shù)學(xué)原理是什么？身高和體重的函數(shù)模型關(guān)系又是怎樣建立的呢？

診斷并發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)思考觀察世界

Ⅱ.設(shè)計并實施身高、體重建模方案

科學(xué)探究與創(chuàng)新意識、證據(jù)推理與模型認(rèn)知

借助圖形計算器設(shè)計并實施建模方案，并對方案進(jìn)行交流、評價、篩選、優(yōu)化，并實施

診斷并發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維

Ⅲ.提出新的建模情境，通過遷移解決港口建模問題

建模過程、建模思維的抽象與遷移應(yīng)用

通過新的問題再次經(jīng)歷建模過程

診斷并發(fā)展學(xué)生對數(shù)學(xué)建模過程和思維方式的認(rèn)識水平

Ⅳ.課外延伸

解決問題能力的外部遷移

探索如日出升旗、十字路口紅綠燈時間合理安排等情境，建立數(shù)學(xué)模型并完整地給出方案

診斷并發(fā)展學(xué)生解決實際問題的能力水平，以及對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識水平

（三）教學(xué)過程

【學(xué)習(xí)任務(wù)1】由數(shù)學(xué)外部情境思考數(shù)學(xué)內(nèi)部本質(zhì).

【評價任務(wù)1】診斷學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界的水平.

【情境】身高與體重測試游戲.

設(shè)問：上面這個身高和體重測試軟件背后的數(shù)學(xué)原理是什么？計算機是怎樣建立身高與體重的數(shù)學(xué)模型的呢？

【學(xué)習(xí)任務(wù)2】能用圖形計算器分析數(shù)據(jù)，形成直觀想象.

【評價任務(wù)2】診斷并發(fā)展學(xué)生直觀想象的水平.

【情境1】觀察課前收集的本班男同學(xué)的身高與體重數(shù)據(jù).

【問題討論】

問題一：從表格中的數(shù)據(jù)你能感受到什么樣的規(guī)律？從數(shù)據(jù)中能猜測出用怎樣的函數(shù)模型能更好地刻畫出其中規(guī)律嗎？

問題二：怎樣能更直觀地感受到身高與體重的變化規(guī)律？

問題三：從散點圖看，你認(rèn)為用怎樣的函數(shù)模型刻畫效果比較好？理由是什么？

子問題1：什么叫作比較好的刻畫，好的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

子問題2：計算器給我們提供了幾種函數(shù)模型，你認(rèn)為最不可能的是什么，猜想最可能的是什么？

子問題3：對比“四次”模型和“EXP”（指數(shù)型函數(shù)）模型，你能體會到什么？

實驗1：用圖形計算器畫出散點圖并仔細(xì)觀察.

實驗2：小組合作交流，4名同學(xué)分別求出4種模型，組長負(fù)責(zé)記錄，并展現(xiàn)最后結(jié)論.

【活動1】給學(xué)生足夠的時間，讓他自己再次經(jīng)歷建模的全過程，并讓每組選一名同學(xué)到講臺前展示交流.

【情境2】我想知道身高180厘米的男生標(biāo)準(zhǔn)體重是多少，你能預(yù)測一下嗎？身高168厘米女生的標(biāo)準(zhǔn)體重你能預(yù)測一下嗎？

【猜想1】利用函數(shù)模型求解，直觀想象.

【活動2】利用圖形計算器探究結(jié)果，并討論結(jié)果的可能性和合理性.

【小結(jié)】函數(shù)模型受初始統(tǒng)計數(shù)據(jù)的限制和影響.

【學(xué)習(xí)任務(wù)3】能借助建立身高體重模型的經(jīng)驗獨立解決港口建模問題.

【評價任務(wù)2】診斷并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平.

【情境3】下面是某港口在某季節(jié)每天的固定時間與水深關(guān)系表：

問題一：能否建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型刻畫港口水深y與時間x的函數(shù)關(guān)系式？

問題二：從圖像中你能讀到什么信息？

問題三：假設(shè)某條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？

問題四：若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

【小結(jié)】函數(shù)模型可以解決實際問題.

師：小到身高、體重模型的建立，大到我們國家嫦娥探月工程都要經(jīng)歷類似的建模過程，我們學(xué)數(shù)學(xué)要做到入乎其內(nèi)，出乎其外，希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)生活中能夠用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

（四）作業(yè)設(shè)計

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.下表給出了某些地區(qū)的鳥類總數(shù)與這些地區(qū)的海拔高度，分析這些數(shù)據(jù)，看一看鳥類的種類數(shù)與海拔高度是否有關(guān)，并借助圖形計算器建立函數(shù)模型.

【提升訓(xùn)練】

2.為了便于大家參觀天安門廣場升國旗儀式，現(xiàn)將升旗時間規(guī)定介紹如下：天安門廣場國旗的升降時間是根據(jù)北京的日出日落時間確定的，具體時間是由北京天文臺的天文學(xué)家計算的.早晨，當(dāng)太陽的上部邊緣與天安門廣場所見地平線相平時，為升旗時間.日期不同，國旗的升降時間也有所差異.

根據(jù)給出的資料，你能發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律？如果你準(zhǔn)備10月1日到天安門廣場觀看升旗，你至少應(yīng)當(dāng)幾點鐘到達(dá)天安門廣場？

三、教學(xué)反思與教學(xué)改進(jìn)

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律.強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.”由此看來，某些教學(xué)內(nèi)容單純利用傳統(tǒng)的講授模式已經(jīng)不能很好地達(dá)成新課標(biāo)的要求，例如回歸方程的建立過程、隨機數(shù)的產(chǎn)生等.

和學(xué)生共同探索并實踐了在新授課中利用信息技術(shù)構(gòu)建多元聯(lián)系的學(xué)習(xí)環(huán)境，以及如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的策略.對前一類課我們更側(cè)重學(xué)生對新知識產(chǎn)生的親身經(jīng)歷過程，對后一類課我們更側(cè)重對新知識的多元表征和聯(lián)系，而共同點是要把握的核心是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

四、研究結(jié)論

在建模課中選點預(yù)設(shè)，互動生成，利用信息技術(shù)建構(gòu)多元聯(lián)系的學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模整個過程，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用這種教學(xué)模式，可以建構(gòu)高效課堂，提高學(xué)生的高階思維能力.

【參考文獻(xiàn)】

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