基于歐拉迭代模型預(yù)測(cè)的欠驅(qū)動(dòng)水面船舶路徑跟蹤控制

李榮輝，陳志娟，李宗宣，卜仁祥

（1.大連海事大學(xué)航海學(xué)院，遼寧 大連 116026；2.廣東海洋大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，廣東 湛江 524088）

由于欠驅(qū)動(dòng)船舶運(yùn)動(dòng)具有模型不確定、受外界干擾以及舵角輸入受約束等特性，所以對(duì)其路徑跟蹤控制是比較復(fù)雜的。Fossen 提出Line of Sight（LOS）制導(dǎo)法[1]，將路徑跟蹤三維控制轉(zhuǎn)換為對(duì)船首向角的一維控制。文獻(xiàn)[2-3]在滑?？刂浦薪Y(jié)合增量反饋，避免對(duì)不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[4-6]利用自抗擾控制器的核心（即擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器）對(duì)內(nèi)部未知項(xiàng)和外部擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[7]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，避免不確定項(xiàng)和外界干擾。文獻(xiàn)[8-10]均采用自適應(yīng)算法對(duì)外界干擾進(jìn)行處理。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)最小二乘法與神經(jīng)元自適應(yīng)相結(jié)合的控制器，使船在風(fēng)浪流干擾下仍能跟蹤上曲線航跡。文獻(xiàn)[12]將Lyapunov 直接法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，使船在外界干擾下仍能跟蹤上正弦路徑。文獻(xiàn)[13]提出結(jié)合 backstepping 與徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)捷魯棒自適應(yīng)控制器，有效地解決風(fēng)浪流干擾。文獻(xiàn)[14]為防止所計(jì)算的控制律超出約束范圍，便引入輔助系統(tǒng)。文獻(xiàn)[2]利用雙曲正切函數(shù)本身的極值約束性對(duì)舵角輸入進(jìn)行了限制。文獻(xiàn)[15]提出模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control，MPC），使船能在有風(fēng)流的環(huán)境中跟蹤上參考路徑。文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤MPC控制器，能同時(shí)處理輸入及輸入增量約束。文獻(xiàn)[17]提出線性和非線性MPC，線性MPC 在計(jì)算量上更小卻在控制精度上不如非線性MPC 高，但兩者均能有效地處理約束問(wèn)題。

從以上研究可以看出，對(duì)處理外界干擾及模型不確定項(xiàng)的研究已多有成果，而對(duì)于舵角約束處理的方案則較少。在舵角約束方面，本研究考慮到MPC 只需在求解二次型（Quadratic Programming，QP）[18]時(shí)加入舵角的限制值，便可自然地解決舵角約束問(wèn)題，因此提出一種歐拉迭代MPC 控制算法，對(duì)船舶路徑跟蹤進(jìn)行控制。多數(shù)MPC 算法是將卷積模型或狀態(tài)空間模型作為預(yù)測(cè)模型，來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)值[16,19]。而船舶實(shí)際模型中各個(gè)狀態(tài)之間都是高度耦合的，需要對(duì)其簡(jiǎn)化處理。本研究為提高預(yù)測(cè)精度，采用分離型船舶模型（mathematical model group，MMG）作為預(yù)測(cè)模型，與簡(jiǎn)化后的船舶模型相比，MMG 與實(shí)際船舶運(yùn)動(dòng)情況更為符合。由于MMG 非線性和耦合程度較高，所需船舶參數(shù)較多且計(jì)算量大，因此本研究采用歐拉迭代法對(duì)MMG 模型進(jìn)行離散并預(yù)測(cè)，并通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證所提控制器的有效性。

1 船舶路徑跟蹤控制數(shù)學(xué)模型

分離型模型（MMG）是基于深層次的理論分析結(jié)合大量的試驗(yàn)進(jìn)行研究的，其將作用于船舶上的流體動(dòng)力和力矩分解為作用于船體、螺旋槳和舵上的流體動(dòng)力和力矩，并考慮各流體動(dòng)力和力矩之間的相互影響[2]。船舶在平面內(nèi)的位置與運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系如圖1 所示。

圖1 在流干擾下的船舶平面位置與運(yùn)動(dòng)參數(shù)Fig.1 Planimetric position and kinematicswith of ship under current disturbance

其中，在空間固定坐標(biāo)系中，船舶重心在固定坐標(biāo)系的位置用x0、y0表示，規(guī)定x軸指向正北，船首尾中心線與x軸的夾角即船首向角用φ表示。φc和Vc分別為流的流向和流速，ur為對(duì)水前進(jìn)速度，vr為對(duì)水橫移速度，對(duì)水合速度U=(ur2+vr2)1/2。船舶運(yùn)動(dòng)速度在oxyz坐標(biāo)系上沿x軸和y軸上的分量分別為u和v，u為對(duì)地前進(jìn)速度，v為對(duì)地橫移速度，船首繞z軸旋轉(zhuǎn)的角速度為r，對(duì)地合速度V=(u2+v2)1/2，漂角β=arctan(v/u)，δ為舵角。由圖1，考慮了風(fēng)、浪、流干擾和舵機(jī)響應(yīng)特性的船舶MMG 模型如下：

式中，δr為命令舵角，KE為舵機(jī)控制增益，TE為舵機(jī)時(shí)間常數(shù)，m為船舶質(zhì)量，mx和my為附加質(zhì)量，XH、YH和NH為作用于船體的黏性類流體動(dòng)力（矩），XP、YP和NP為螺旋槳力(矩)，XW、YW和NW為風(fēng)力(矩)，XWave、YWave和NWave為浪力(矩)，IZZ為船舶繞豎直軸的慣性矩，JZZ為附加慣性矩。XR、YR和NR為舵力(矩)，其計(jì)算公式如下：

式中，tR是舵阻力減額份數(shù)，aH是操舵引起的船體附加橫向力與舵橫向力的比值，xH是操舵誘導(dǎo)船體橫向力作用中心到船舶重心的距離，F(xiàn)N是舵正壓力。

本研究假設(shè)所有船舶系統(tǒng)狀態(tài)值x，y，φ，u，v，r均可被獲取到。給定螺旋槳轉(zhuǎn)速，只對(duì)橫向位移進(jìn)行控制，控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的舵角，使船舶跟蹤參考路徑。

2 路徑跟蹤控制器設(shè)計(jì)

2.1 MPC 控制器

本研究將MPC 作為路徑跟蹤控制器，MPC 算法包括預(yù)測(cè)模型、反饋校正、滾動(dòng)優(yōu)化三個(gè)要素[20]。它的主要優(yōu)點(diǎn)是只需通過(guò)在約束下計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的QP二次型，便可直接解決系統(tǒng)輸入限制的問(wèn)題。首先，根據(jù)預(yù)測(cè)模型和當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)來(lái)對(duì)預(yù)測(cè)時(shí)域Np內(nèi)的所有未來(lái)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。然后，建立包含預(yù)測(cè)誤差在內(nèi)的優(yōu)化函數(shù)。最后通過(guò)在有約束下求解此優(yōu)化函數(shù)，便可計(jì)算出最優(yōu)控制輸入。到下一時(shí)刻，利用系統(tǒng)新的測(cè)量數(shù)據(jù)的反饋，重復(fù)相同的流程，即滾動(dòng)優(yōu)化。本研究直接將MMG 模型作為預(yù)測(cè)模型，并基于歐拉迭代法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行離散和預(yù)測(cè)?？刂平Y(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 船舶路徑跟蹤MPC 控制設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structural diagram of MPC for ship path following

在當(dāng)前時(shí)刻，船舶運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)輸出當(dāng)前狀態(tài)值，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)狀態(tài)歷史信息對(duì)未知干擾項(xiàng)進(jìn)行逼近。然后，根據(jù)預(yù)測(cè)模型和當(dāng)前狀態(tài)對(duì)預(yù)測(cè)時(shí)域Np內(nèi)的所有未來(lái)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。利用預(yù)測(cè)路徑與參考路徑之間的預(yù)測(cè)誤差建立優(yōu)化函數(shù)。最后通過(guò)在有約束下求解此優(yōu)化函數(shù)，可計(jì)算出最優(yōu)控制舵角。待下一時(shí)刻，船舶運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)繼續(xù)將狀態(tài)值反饋給控制器，進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化，以此類推。

對(duì)式（1）中的各個(gè)狀態(tài)進(jìn)行離散和預(yù)測(cè)，式（1）中動(dòng)力學(xué)微分方程中的各個(gè)力矩之間是高度耦合的，很難轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間矩陣形式，即不能通過(guò)矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)。本研究采用歐拉法[21]，通過(guò)各個(gè)狀態(tài)之間的迭代，在保留原來(lái)各狀態(tài)之間耦合及非線性關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測(cè)：

式中，Tc是預(yù)測(cè)采樣時(shí)間，即連續(xù)兩個(gè)預(yù)測(cè)值之間的時(shí)間間隔。和分別是對(duì)式（1）中各微分方程的離散化，計(jì)算公式如下。

通過(guò)式（5）的預(yù)測(cè)結(jié)果和參考橫向位移yd，計(jì)算路徑預(yù)測(cè)誤差其中j=1，2，…，Np。

根據(jù)預(yù)測(cè)誤差，構(gòu)造優(yōu)化函數(shù)如式（7）：

式中，Q是權(quán)重矩陣，通過(guò)求解QP 二次型或者在約束條件δmin≤δ≤δmax下求解方程?f*(ēy,δ)/?δ=0，可以計(jì)算出最優(yōu)控制律δ*。由于MPC是利用計(jì)算機(jī)在線進(jìn)行運(yùn)算的[22]，所以只能在線通過(guò)每步優(yōu)化來(lái)計(jì)算控制律，而不能直接寫(xiě)出控制律的解析式。對(duì)于優(yōu)化函數(shù)中所包含的未知干擾項(xiàng)，利用RBF 進(jìn)行逼近并補(bǔ)償。Np是預(yù)測(cè)時(shí)域，Nc是控制時(shí)域，即在預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)時(shí)需要的未來(lái)輸入個(gè)數(shù)δk+1，δk+2，…，δk+Nc。Np、Nc和Tc作為控制參數(shù)，需要進(jìn)行設(shè)計(jì)。其穩(wěn)定性分析如下：

引理1：當(dāng)h(x)在兩端點(diǎn)a、b處的函數(shù)值A(chǔ)、B 異號(hào)時(shí)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)必存在至少一點(diǎn)ξ，使h(ξ)=0。

引理2[23]：一個(gè)函數(shù)能夠取到極值的充要條件：（1）存在使導(dǎo)數(shù)等于0 的點(diǎn)；（2）使導(dǎo)數(shù)等于0的那個(gè)x值，左右兩邊導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反。

由式（1）、（2）、（3）和（4），有

式中，F(xiàn)r為正的不含舵角的常系數(shù)，為不含舵角的其它項(xiàng)總和，γ是整流系數(shù)，與βR的值如下：

式中，L是船長(zhǎng)，Cb是方形系數(shù)，B是船寬。船舶在正常行駛時(shí)，船速為常速且漂角不太大，本研究取|β|≤25°，U≤7.5 m/s，轉(zhuǎn)首角速度|r|≤3°/s。將式（8）對(duì)δ求偏導(dǎo)，式（8）為差分方程，本不可以對(duì)其求導(dǎo)，本研究視其為各個(gè)時(shí)刻連續(xù)值的累加和，通過(guò)對(duì)每個(gè)時(shí)刻偏導(dǎo)數(shù)的累加來(lái)求近似整體的偏導(dǎo)數(shù)。并根據(jù)船舶參數(shù)可得：

由式（3）和（4），有

將（11）對(duì)δ求偏導(dǎo)，并把式（10）代入，得

對(duì)式（4）第2 項(xiàng)做三角函數(shù)變換，得

將式（14）對(duì)δ求偏導(dǎo)，由于參考位移yd不含舵角δ，并且舵力在速度u、v上的分量相對(duì)于在轉(zhuǎn)首角速度上的十分小[24]，所以忽略它們對(duì)舵角的導(dǎo)數(shù)，則有

式中，z1、z2以及z3如下：

由于舵角|δ|≤35°，所以z3恒小于零。將式（8）和（11）代入式（16）最后一項(xiàng)，有

由于舵角|δ|≤35°，所以cosδ＞ 0。h、j和i的大小均受預(yù)測(cè)時(shí)域Np限制。由于漂角較小且船首向角初始值是定值，故θe的符號(hào)和大小僅取決于δ、Np和Tc。因此，設(shè)計(jì)合適的控制參數(shù)Np和Tc便可以使式（15）有如下變化：

由于船舶運(yùn)動(dòng)過(guò)程是連續(xù)的，所以f也是連續(xù)的。則根據(jù)式（18）和引理1，存在最優(yōu)舵角δ*可使?f/ ?δ=0。并且，當(dāng)δ＜δ*時(shí)，?f/ ?δ＜ 0，當(dāng)δ＞δ*時(shí)，?f/ ?δ＞ 0。則根據(jù)引理2 可知，f在δ*處取極小值，則每一時(shí)刻滾動(dòng)求解δ*，使f與(k+j)通過(guò)每次得最小值而逐漸趨于零，從而使得y逐漸跟蹤上yd。

2.2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

本節(jié)利用船舶歷史信息（即上一采樣時(shí)刻的船舶輸出狀態(tài)值）和RBF 的梯度下降法訓(xùn)練權(quán)重值，使RBF 的輸出逼近外界未知項(xiàng)[25]。以(k) 為例，設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

式中yn是RBF 輸出，即(k)，m 是神經(jīng)元數(shù)，w是權(quán)重，h是隱含層輸出，計(jì)算如下：

式中，x是輸入，即[δ，]，cj是中心點(diǎn)矢量值，bj是寬度矢量值，計(jì)算如下：

式中，α∈(0，1) 是動(dòng)量因子，利用梯度下降法調(diào)節(jié)w、b和c，計(jì)算如下：

式中，η∈(0，1) 是學(xué)習(xí)速率，yh是船舶歷史狀態(tài)信息與控制器中對(duì)應(yīng)的水動(dòng)力之間的誤差數(shù)據(jù)，E為逼近偏差。通過(guò)誤差數(shù)據(jù)的訓(xùn)練，可以使RBF逼近船舶實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)與控制器中所用模型之間的偏差，即外界干擾項(xiàng)，用來(lái)補(bǔ)償MPC 中的預(yù)測(cè)模型。當(dāng)外界為定常干擾時(shí)，最終權(quán)值會(huì)穩(wěn)定。本研究為處理時(shí)變干擾，每隔3 個(gè)采樣時(shí)間便對(duì)RBF訓(xùn)練一次。逼近流程與相同。

3 仿真驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性，以大連海事大學(xué)實(shí)習(xí)船育龍輪為仿真對(duì)象，在MATLAB 中進(jìn)行仿真[26]，以式（1）中MMG 模型為仿真模型。育龍輪參數(shù)[27]：滿載吃水8 m，滿載排水量14 635 t，船長(zhǎng)126 m，船寬20.8 m，方形系數(shù)0.681，正面受風(fēng)面積369.9 m2，側(cè)面受風(fēng)面積1031.94 m2，螺旋槳直徑4.6 m，螺距3.66 m，舵面積18.8 m2，展弦比1.72，舵機(jī)時(shí)間常數(shù)TE2.5 s，設(shè)定螺旋槳轉(zhuǎn)速100 轉(zhuǎn)/分鐘。

仿真1：初始狀態(tài)：u=7.2 m/s，v=0，r=0，φ=0，(x0，y0)=(0，200 m)；外界干擾，風(fēng)速：10m/s，風(fēng)向：30°sin(0.02t)+45°；流速：1.0 m/s，流向：10°sin(0.005t)+45°；控制器參數(shù)：Np=18，Nc=1，Tc=2.0 s；RBF 參數(shù)：η=0.15，α=0.05，c0=[-1 -0.5 0 0.5 1;-1 -0.5 0 0.5 1]，b0=5，w0=0。

由圖3 可看出，船舶路徑產(chǎn)生了小于7%的超調(diào)，但都小于船寬20.4 m。系統(tǒng)穩(wěn)定后，由于時(shí)變干擾的影響，所以路徑一直存在小波動(dòng)，但波動(dòng)的最大幅值也小于5 m，即不到船寬的25%，這在實(shí)際航行中屬于正常。因此我們可以認(rèn)為船舶在受到風(fēng)流時(shí)變干擾的情況下，所設(shè)計(jì)控制器仍能使船準(zhǔn)確地跟蹤上直線參考路徑。所用仿真實(shí)驗(yàn)船本身的舵角幅度限制值為35°。由舵角變化可以看出，在系統(tǒng)穩(wěn)定后，由于時(shí)變風(fēng)流干擾的影響，船首向角與舵角時(shí)刻變化，以抵抗時(shí)變外界干擾。但船首向角和舵角變化平穩(wěn)，舵角幅度限制在10°以內(nèi)，驗(yàn)證了所提MPC 控制器可有效處理舵角約束。

仿真2：初始狀態(tài)u=7.2 m/s，v=0，r=0，φ=0，(x0，y0)=(0，0)；參考路徑：yd=200sin(0.00035πx)；外界干擾，風(fēng)速：10 m/s，風(fēng)向：30°sin(0.01t)+45°；流速：1.0 m/s，流向：10°sin(0.005t)+45°；控制器參數(shù)：Np=15，Nc=1，Tc=2.5 s，RBF 參數(shù)與仿真3相同。

圖3 有風(fēng)流干擾的直線路徑跟蹤Fig.3 Straight line path following with wind/current disturbances

圖4 有風(fēng)流干擾的曲線路徑跟蹤Fig.4 Curve path following with wind/current disturbances

由圖4 可以看出，在風(fēng)流時(shí)變干擾下，船舶仍能準(zhǔn)確地跟蹤上曲線路徑。從舵角的變化可以看出，整個(gè)過(guò)程中舵角都被限制在較小的范圍，并且光滑沒(méi)有振蕩或抖動(dòng)。曲線路徑跟蹤與舵角變化的結(jié)果，說(shuō)明了所設(shè)計(jì)的控制器能有效處理曲線跟蹤過(guò)程中的外界干擾以及舵角約束問(wèn)題。

4 結(jié)論

本研究考慮欠驅(qū)動(dòng)船舶在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中具有受外部風(fēng)流干擾、控制輸入受約束等問(wèn)題，基于歐拉迭代法設(shè)計(jì)了船舶路徑跟蹤MPC 控制器。利用MPC 本身在處理系統(tǒng)約束問(wèn)題上的優(yōu)點(diǎn)，解決了舵角輸入受約束問(wèn)題。并采用歐拉迭代法離散并預(yù)測(cè)船舶未來(lái)狀態(tài)，以保留船舶運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的非線性和耦合性并簡(jiǎn)化MPC 的運(yùn)算量。直接以MMG 船舶運(yùn)動(dòng)模型作為MPC 的預(yù)測(cè)模型，彌補(bǔ)了歐拉迭代法精度的不足。利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)歷史信息的訓(xùn)練，對(duì)外界干擾進(jìn)行逼近及補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的MPC 控制器使船舶在外界干擾下仍能準(zhǔn)確地跟蹤上設(shè)定的路徑，舵角變化小，光滑平穩(wěn)。在風(fēng)流時(shí)變干擾的情況下，控制舵角被限制在較小的幅度范圍內(nèi)，說(shuō)明了所設(shè)計(jì)MPC 控制器可以有效處理舵角約束問(wèn)題的能力。