非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程新精確解的構(gòu)建

黃 春,張 佳

（1.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川 遂寧 629000；2.四川托普信息技術(shù)職業(yè)學(xué)院 思政部，四川 成都 611743）

1 預(yù)備知識(shí)

非線性分?jǐn)?shù)階微分方程具有廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域和縱深的發(fā)展前景,因此求其精確解具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值,研究者們對(duì)此做了大量工作,并提出和發(fā)展許多有效的求解方法,主要包括:分?jǐn)?shù)Riccati映射法[1],分?jǐn)?shù)首次積分法[2],分?jǐn)?shù)指數(shù)函數(shù)法[3],分?jǐn)?shù)(G'/G)-展開(kāi)法[4]等.

非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程[5-6]:

其中:0≤x≤1,t＞0,0＜α≤1,是Jumarie[7]修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

Jumarie修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù):

Jumarie修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)性質(zhì):

Gardner方程在等離子體物理、流體力學(xué)和量子場(chǎng)理論中都有重要的應(yīng)用.整數(shù)階Gardner方程也稱KdV-mkdv方程,可以用反散射法和Hirota雙線性法,達(dá)布變換法,(G'/G)-展開(kāi)法等求解.文獻(xiàn)[5-6]中分別用F-展開(kāi)法、q-HAM分析法對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程進(jìn)行研究并獲得其Jacobi橢圓函數(shù)解,解析解.本文擬用修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合擴(kuò)展的(G'/G)-展開(kāi)法構(gòu)建方程新精確解.

2 方法簡(jiǎn)述

考慮下面的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程：

其中是未知函數(shù)u=u(x,t)關(guān)于自變量x和t的Jumarie修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),P是關(guān)于u及其偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式.

步驟1作分?jǐn)?shù)階復(fù)變換

方程(4)轉(zhuǎn)化為只含變量ξ的整數(shù)階常微分方程

步驟2 假設(shè)方程(6)的解可以表示成關(guān)于(G'/G)多項(xiàng)式的形式

其中G=G(ξ)滿足輔助方程

計(jì)算(7)式可得:

其中λ,μ為待定常數(shù).正整數(shù)N可以通過(guò)齊次平衡原則確定.

步驟3 合并(6)式中(G'/G)的相同冪次項(xiàng),令(G'/G)的各次冪系數(shù)為零,導(dǎo)出關(guān)于ai(i=-N...0...N)為未知量代數(shù)方程組,并求其解,從而得出方程(4)的精確解.

3 運(yùn)用與結(jié)果

首先對(duì)方程(1)作復(fù)變換

得到常微分方程,積分一次,令積分常數(shù)為0,得

平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u3和非線性u(píng)'',則有:3N=N+2,有N=1,則

將u,u2,u3,u''代入方程(10)中,得到關(guān)于a-1,a0,a1的代數(shù)方程組:

解上述代數(shù)方程組可得:

情形1 當(dāng)＞0時(shí),方程(1)有如下形式的雙曲函數(shù)解:

其中ξ=lx+C1,C2為任意常數(shù).

情形2 當(dāng)＜0時(shí),方程(1)有如下形式的三角函數(shù)解:

其中ξ=lx+C1,C2為任意常數(shù).

情形3 當(dāng)=0時(shí),方程(1)有如下形式的有理函數(shù)解:

其中ξ=lx+C1,C2為任意常數(shù).

4 結(jié)論

文中借助修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合擴(kuò)展的(G'/G)-展開(kāi)法構(gòu)建非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階Gardner方程的新精確解,其中包括為含參數(shù)的雙曲函數(shù)解,三角函數(shù)解,有理數(shù)解,這些解在以往文獻(xiàn)中未曾出現(xiàn).這些解對(duì)于理解復(fù)雜的非線性物理現(xiàn)象和分?jǐn)?shù)階微分方程的原理很有幫助,可見(jiàn)該方法簡(jiǎn)潔,高效,是求解一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程行之有效的方法.