• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    Boussinesq方程的Lax對(duì)、B?cklund變換、對(duì)稱群變換和Riccati展開(kāi)相容性*

    2020-01-16 00:36:50劉萍徐恒睿楊建榮
    物理學(xué)報(bào) 2020年1期
    關(guān)鍵詞:波解定理形式

    劉萍 徐恒睿 楊建榮

    1) (電子科技大學(xué)中山學(xué)院電子信息學(xué)院, 中山 528402)

    2) (電子科技大學(xué)物理學(xué)院, 成都 610054)

    3) (上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院, 上饒 334001)

    Boussinesq方程是流體力學(xué)等領(lǐng)域一個(gè)非常重要的方程.本文推導(dǎo)了Boussinesq方程的Lax對(duì).借助于截?cái)郟ainlevé展開(kāi), 得到了Boussinesq方程的自B?cklund變換, 以及Boussinesq方程和Schwarzian形式的Boussinesq方程之間的B?cklund變換.探討了Boussinesq方程的非局域?qū)ΨQ, 研究了Boussinesq方程的單參數(shù)群變換和單參數(shù)子群不變解.運(yùn)用Riccati展開(kāi)法研究了Boussinesq方程, 證明Boussinesq方程具有Riccati展開(kāi)相容性, 得到了Boussinesq方程的孤立波-橢圓余弦波解.

    專題:非線性物理

    1 引 言

    一般來(lái)講, Boussinesq方程可寫為

    其中, 下角標(biāo)x和t表示偏微分.Boussinesq方程可以用于描繪淺水波、等離子體、非線性晶格等眾多物理現(xiàn)象[1?5].

    由于該方程應(yīng)用廣泛, 一些特殊形式的或者修正的Boussinesq方程被推導(dǎo)出來(lái)研究.例如, “壞”Boussinesq方程(也叫不適定Boussinesq方程)的形式為

    這個(gè)方程是在1872年由Boussinesq[1]提出來(lái)用于描繪淺水波問(wèn)題的.Benny和 Luke[6]發(fā)現(xiàn)這個(gè)Boussinesq方程非線性弱散色現(xiàn)象的一般近似.“好”Boussinesq方程的形式為

    這個(gè)方程是作為描繪弦的非線性振動(dòng)模型提出來(lái)的, 也可以用于描繪非線性介質(zhì)材料中的電磁波[7].一種修正的Boussinesq方程的形式為

    這個(gè)方程也經(jīng)常被稱為“改進(jìn)的”Boussinesq方程[8],它由流體力學(xué)推導(dǎo)而來(lái), 也可以用于描繪波在磁場(chǎng)中的傳播, 并取代“壞”Boussinesq方程.

    很多不同形式的Boussinesq方程, 是方程(1)的特殊形式.本文旨在研究Boussinesq方程(1)的可積性、對(duì)稱性和嚴(yán)格解.在下文中, 如果沒(méi)有特殊說(shuō)明, Boussinesq方程指的是方程 (1).論文結(jié)構(gòu)如下: 在第2節(jié)中, 從一個(gè)簡(jiǎn)化的Boussinesq方程的Lax對(duì), 推導(dǎo)出Boussinesq方程(1)的一組Lax 對(duì); 在第 3 節(jié), 對(duì) Boussinesq 方程 (1)進(jìn)行截?cái)?的 Painlevé展 開(kāi) , 得 到 Boussinesq 方 程 的B?cklund變換; 第4節(jié)研究了Boussinesq方程的單參數(shù)群變換; 第5節(jié)討論了Boussinesq方程的全點(diǎn)李對(duì)稱性相似解; 第 6節(jié)應(yīng)用 CRE(consistent Riccati expansion, CRE)方法證明了Boussinesq方程的CRE相容性.Boussinesq方程孤立波-周期波在第7節(jié)進(jìn)行了討論; 第8節(jié)是本文的結(jié)論和討論.

    2 Boussinesq方程的Lax對(duì)

    當(dāng)α=0 ,β=1 ,γ=1/3 時(shí), 方程 (1) 退化成

    為了將方程(1)和方程(5)的變量進(jìn)行區(qū)分, 我們將方程(1)中的變量 {u,x,t} 對(duì)應(yīng)地寫成方程(5)中 的 {v,χ,τ} .Weiss[9]通 過(guò) 研 究 方 程 (5)的painlevé性質(zhì), 推出了方程 (5)的一組 Lax 對(duì), 其形式如下

    方程(1)和方程(5)之間存在標(biāo)度變換

    結(jié)合方程(5)的Lax對(duì)(6)式以及標(biāo)度變換, 可以得到方程(1)的Lax對(duì).

    定理1(Lax對(duì)定理)

    Boussinesq方程(1)具有如下形式Lax對(duì):

    這里的l代表譜函數(shù),j表示 {x,t} 的任意函數(shù).

    3 與截?cái)郟ainlevé展開(kāi)相關(guān)聯(lián)的B?cklund變換

    截?cái)郟ainlevé展開(kāi)法, 是分析非線性系統(tǒng)最有效的方法之一[10?12].對(duì) Boussinesq 方程 (1), 可將u展開(kāi)成

    這里的u0,u1,u2和f都是 {x,t} 的函數(shù),f是奇異流函數(shù).將(9)式代入到方程(1)中, 所得到的多項(xiàng)式中,f的所有不同階次的系數(shù)都應(yīng)該為零.由f?6的系數(shù)為零, 可得到

    由f?5的系數(shù)為零, 可得

    由f?4的系數(shù), 容易得到

    將 (10)式–(12)式代入到f?3的系數(shù)中, 得

    方程 (13)在 M?bious變換下, 保持形式不變, 因此被稱為Schwarzian形式的Boussinesq方程[9].

    將(9)式—(13)式代到方程(1)中, 比較所得方程中f0的系數(shù), 可發(fā)現(xiàn)u0也是 Boussinesq 方程的一個(gè)解, 這表示u=u0是Boussinesq方程的一個(gè) 自 B?cklund 變 換 .而 且 , 對(duì) 以 上 截 斷Painlevé展開(kāi)進(jìn)行總結(jié), 可得到一個(gè)非自B?cklund變換.

    定理2(B?cklund變換定理)

    如果f是 Schwarzian形式的 Boussinesq方程 (13)的解, 那么

    也是Boussinesq方程(1)的解.

    定理3(B?cklund變換定理)

    如果f是 Schwarzian形式的 Boussinesq方程 (13)的解, 那么

    也是Boussinesq方程(1)的解.

    4 單參數(shù)群變換

    Boussinesq方程的對(duì)稱σu也相應(yīng)地拓展為滿足下式的四分量對(duì)稱 {σu,σf,σg,σh} ,

    對(duì)方程(16), 我們也可以研究它的全點(diǎn)李對(duì)稱.基于這個(gè)目的, 四分量對(duì)稱 {σu,σf,σg,σh} 應(yīng)該滿足Boussinesq方程的線性化的非線性系統(tǒng).按照點(diǎn)李對(duì)稱的方法, 經(jīng)過(guò)計(jì)算可得總的對(duì)稱矢量為

    各個(gè)對(duì)稱矢量為:

    由對(duì)稱矢量(19)式, 可得到六個(gè)單參數(shù)不變子群:

    從以上六個(gè)單參數(shù)不變子群, 可到到下列B?cklund變換定理.

    定理4(單參數(shù)群變換)

    如果{u(x,t),f(x,t),g(x,t),h(x,t)}是拓展的Boussinesq系統(tǒng)(16)的一組解, 則下列函數(shù)也是拓展的Boussinesq系統(tǒng)(16)的一組解,

    5 全點(diǎn)李對(duì)稱相似解

    對(duì)稱性理論是求解偏微分方程的一種有效系統(tǒng)的方法[13?19].從對(duì)稱矢量 (19)式, 不僅可以得到單參數(shù)不變子群和群不變解, 而且可以得到Boussinesq的相似解和約化方程.將約化方程的嚴(yán)格解和相似解相結(jié)合, 則可以得到所研究系統(tǒng)的嚴(yán)格解.可得到下列四組非平庸情況.

    情況 1

    在種情這況, 群不變量可寫為

    相似解的形式為

    情況 2

    {σu,σf,σg,σh}包含C4, 而C4是與非局域?qū)ΨQ相關(guān)聯(lián)的, 那么如果令C4=0 , 則相似解會(huì)變得更加簡(jiǎn)化.這樣, 相似解為:

    與情況一相比, 時(shí)間和空間的對(duì)稱性都沒(méi)有改變,因此這種情況的群不變量與情況一相同, 仍為

    將 (24b)式代入 (16d)式和 (16e)式, 則變量f和g變成:

    將(24b)式代到(16c)式, 可以得到用和F表示的u的表達(dá)式, 將(24b)代入到(16b)式, 可以得到F滿足的約束方程.由于這兩個(gè)式子都很長(zhǎng),此處省略不寫.

    情況 3

    (18)式和(19)式說(shuō)明空間x和時(shí)間t的對(duì)稱受到C1的影響.當(dāng)C1=0 時(shí), 群不變量x將比情況一和情況二的群不變量簡(jiǎn)單.此時(shí), 群不變量變?yōu)?/p>

    相似解為:

    其中F(ξ) 滿足

    將(29b)式代到(16c)式, 可得到關(guān)于Boussinesq方程的下列B?cklund變換.

    定理5 (B?cklund變換定理).

    如果F滿足 (30)式, 則 Boussinesq方程的解為

    情況 4

    這種情況下, 拓展系統(tǒng)(16)的相似解為:

    這里, 群不變量x為

    將(32b)式代入到(16b)式, 可得到F(ξ) 滿足的約束方程.將(32b)式代入到 (16c)式, 則得到下列定理.

    定理6(B?cklund變換定理).

    如果F(ξ) 滿足 (32b)式, 則 Boussinesq 方程的解可以寫為

    6 Boussinesq方程的CRE相容性

    本節(jié)將通過(guò) CRE (consistent Riccati expansion, CRE)方法來(lái)討論 Boussinesq方程的嚴(yán)格解[20].Riccati方程的形式為

    這里的a0,a1和a2是任意常數(shù).Riccati方程的嚴(yán)格解可寫為

    其中,

    對(duì)于一個(gè)偏微分系統(tǒng)

    我們可假設(shè)它可以展開(kāi)為

    這里的R(w) 是 Riccati方程的嚴(yán)格解.將 (39)式代入到 (38) 式, 并令Ri(w) 的系數(shù)為零, 可得:

    如果系統(tǒng) (40)是自洽的, 則展開(kāi)式 (39)式是“CRE”, 且非線性系統(tǒng) (38)是“CRE”相容系統(tǒng)[20].

    為了得到孤立波-周期波碰撞解, 可應(yīng)用CRE方法.CRE方法可被用于證明一個(gè)系統(tǒng)是CRE相容系統(tǒng), 并可用于尋求非線性系統(tǒng)的碰撞波解.對(duì)Boussinesq方程,u可展開(kāi)成截?cái)嗾归_(kāi)的形式:

    這里,u3,u4,u5和w都是x和t的函數(shù),R(w) 是Riccati方程的一個(gè)解.

    將(35)式和(41)式代入到方程(1)中, 并令R(w)所有階次的系數(shù)為零, 可得

    這里w滿足

    通過(guò)CRE和CRE相容性的定義, Boussinesq方程顯然是一個(gè)CRE相容系統(tǒng).基于以上討論, 可得到如下定理:

    定理7(CRE相容性定理)

    Boussinesq方程是一個(gè)CRE相容系統(tǒng).如果w是相容性條件(43)式的一個(gè)解, 則下列形式的u也是Boussinesq方程的一個(gè)解.

    這里的R(w) 和q分別滿足(36)式和(37)式.

    7 孤立波-周期波碰撞解

    從Boussinesq方程的CRE性質(zhì), 可進(jìn)一步研究Boussinesq方程的嚴(yán)格解.將(36)式代入到(44)式中可得

    從(45)式可看到, 如果我們想知道u的具體形式, 那么需要先知道w的表達(dá)式.如果w具有如下形式:

    這里k1,k2,ω1,ω2,a3,n和m是常數(shù),Eπ是第三類不完全橢圓積分.將(46)式代入到(43)式中, 并令 s n(k2x+ω2t,m) 的所有不同階次的系數(shù)為零,可發(fā)現(xiàn)參數(shù)應(yīng)該滿足:

    這里a4=k1+a3k2.

    將(46)式代入到(45)式中, 得:上式中的參數(shù)滿足(47)式或(48)式.

    圖1和圖展示了滿足約束關(guān)系(47)的解(49)式.圖1 中的自由參數(shù)選為{n= 0.2,m=0.5,a1= 1,a3= 1,k1= 1,k2= 1,ω2=1,α= ?0.8,β=1}, 圖2中的自由參數(shù)選為{n= 0.2,m= 0.9,a1= 1,a3= 1,k1= 1,k2=1,ω2=1,α= ?0.8,β=1} .圖1 和圖2 展示了亮孤子和周期波的碰撞行為.圖3展示了圖1和圖2中u的密度函數(shù), 圖3(a)對(duì)應(yīng)圖1, 圖3(b)對(duì)應(yīng)圖2.兩種情況的周期波和孤立波的方向是一致的, 而碰撞處的形狀則不相同.

    圖1 滿足 (47)式的碰撞波解 (49)式.自由參數(shù)為{n = 0.2,m = 0.5, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, w2 = 1, a = –0.8,b = 1}Fig.1.The solution (49) with Formula (47).The free parameters are {n = 0.2, m = 0.5, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 =1, w2 = 1, a = –0.8, b = 1}.

    圖4和圖5展示了滿足參數(shù)限制(48)式的碰撞波解(49)式, 里邊的周期波在扭結(jié)孤立波上運(yùn)動(dòng), 而不是在常數(shù)背景上運(yùn)動(dòng).圖4中的自由參數(shù)選為 {n= 0.4,a1= 1,a2= 1,a3= 2.2,k1= 1,k2= –0.22,ω2=1,α= ?400,β=80} , 其 中(48)式中的m選“+”; 圖5中的自由參數(shù)選為{n= 0.6,a1= 2,a2= 1,a3= 4,k1= 1,k2= –0.12,w2= 0.1,α=?14,β=6} , 其中 (48)式中的m選“–”.圖6展示了圖4和圖5中u的密度函數(shù),圖6(a)對(duì)應(yīng)圖4, 圖6(b)對(duì)應(yīng)圖5.圖6清楚地展示了扭結(jié)孤立波和周期波的碰撞.

    圖2 滿足 (47)式的碰撞波解 (49)式.自由參數(shù)為 {n =0.2, m = 0.9, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 = 1, w2 = 1, a =–0.8, b = 1}Fig.2.The solution (49) with Formula (47).The free parameters are {n = 0.2, m = 0.9, a1 = 1, a3 = 1, k1 = 1, k2 =1, w2 = 1, a = –0.8, b = 1}.

    圖3 u 的密度函數(shù)圖.圖 (a)的參數(shù)與圖1 相同, 圖 (b)的參數(shù)與圖2 相同F(xiàn)ig.3.The density of u.The parameters of the Fig.(a) are the same as those of Figure 1 and the parameters of the Fig.(b) are the same as those of Figure 2.

    圖4 參數(shù)關(guān)系滿足 (48)式的碰撞波解 (49)式的演化圖.自由參數(shù)為 {n = 0.4, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.2, k1 = 1, k2 =–0.22, w2 = 1, a = –400, b = 80}Fig.4.The interaction solution (49) with parameter satisfying Formula (48).The free parameters are chosen as {n =0.4, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.2, k1 = 1, k2 = –0.22, w2 = 1,a = –400, b = 80}.

    圖5 參數(shù)關(guān)系滿足 (48)式的碰撞波解 (49)式.自由參數(shù)為{n = 0.6, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 4, k1 = 1, k2 = –0.12, w2 =0.1, a = –14, b = 6}Fig.5.The interaction solution (49) with parameter satisfying Formula (48).The free parameters are selected as {n =0.6, a1 = 2, a2 = 1, a3 = 4, k1 = 1, k2 = –0.12, w2 = 0.1,a = –14, b = 6}.

    圖6 u 的密度函數(shù)圖.圖 (a)對(duì)應(yīng)圖4, 圖 (b)對(duì)應(yīng)圖5Fig.6.The density of u.The Fig.(a) is related to Fig.4 and the Fig.(b) is corresponding to Fig.5.

    8 總結(jié)和討論

    本文推導(dǎo)了Boussinesq方程的Lax對(duì), 說(shuō)明Boussinesq方程是 Lax可積模型.運(yùn)用截?cái)郟ainlevé展開(kāi)法研究了 Boussinesq方程, 得到了Boussinesq方 程 的 自 B?cklund變 換 , 以 及Boussinesq方 程 和 Schwarzian形 式 的Boussinesq方程之間的非自B?cklund變換.研究了Boussinesq方程的全點(diǎn)李對(duì)稱, 得到了單參數(shù)群變換和單參數(shù)子群不變解.運(yùn)用CRE方法研究了Boussinesq方程, 證明了Boussinesq方程是一個(gè)CRE相容模型, 得到了Boussinesq方程的孤立波-橢圓余弦波碰撞解.Boussinesq方程廣泛地應(yīng)用于描繪流體動(dòng)力學(xué)、電磁學(xué)、等離子體、非線性晶格等物理現(xiàn)象.它作為一個(gè)著名的孤立子方程,各種各樣的激發(fā)模式, 以及它在各種物理情景中的應(yīng)用, 值得不斷深入研究.

    感謝樓森岳教授和任博博士的寶貴討論.

    猜你喜歡
    波解定理形式
    J. Liouville定理
    (3+1)維廣義Kadomtsev-Petviashvili方程新的精確周期孤立波解
    A Study on English listening status of students in vocational school
    微型演講:一種德育的新形式
    “三共定理”及其應(yīng)用(上)
    搞定語(yǔ)法填空中的V—ing形式
    發(fā)現(xiàn)“形式” 踐行“形式”
    Joseph-Egri方程的單行波解
    (2+1)維Boiti-Leon-Pempinelli方程的橢圓函數(shù)周期波解
    一類混合KdV方程的精確孤立波解
    亚洲欧洲日产国产| 丝袜在线中文字幕| 秋霞在线观看毛片| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 女性被躁到高潮视频| 国产精品一区二区精品视频观看| 日韩 亚洲 欧美在线| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 新久久久久国产一级毛片| 久久鲁丝午夜福利片| 在线看a的网站| e午夜精品久久久久久久| 国产成人免费无遮挡视频| 国产精品一二三区在线看| 精品人妻在线不人妻| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 久久 成人 亚洲| 国产精品免费视频内射| a级片在线免费高清观看视频| 欧美xxⅹ黑人| 最近最新中文字幕免费大全7| 嫩草影院入口| 久久精品国产a三级三级三级| 国产欧美亚洲国产| 亚洲美女视频黄频| 日韩欧美精品免费久久| 国产野战对白在线观看| 在线看a的网站| 可以免费在线观看a视频的电影网站 | 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 亚洲国产精品国产精品| 国产伦人伦偷精品视频| av网站在线播放免费| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 亚洲国产精品国产精品| 99精国产麻豆久久婷婷| 日本wwww免费看| 久久 成人 亚洲| 亚洲国产成人一精品久久久| 国产高清不卡午夜福利| 桃花免费在线播放| 成年人午夜在线观看视频| 亚洲第一av免费看| 日韩av在线免费看完整版不卡| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| www日本在线高清视频| 一个人免费看片子| 一级片免费观看大全| 久久久国产一区二区| 中文字幕精品免费在线观看视频| 国产亚洲精品第一综合不卡| 人体艺术视频欧美日本| 成人三级做爰电影| 精品少妇一区二区三区视频日本电影 | 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 色94色欧美一区二区| 亚洲欧洲国产日韩| 国产人伦9x9x在线观看| 国产精品99久久99久久久不卡 | 精品国产乱码久久久久久小说| av天堂久久9| 亚洲五月色婷婷综合| 久久毛片免费看一区二区三区| a级毛片在线看网站| 欧美少妇被猛烈插入视频| 九色亚洲精品在线播放| 午夜免费男女啪啪视频观看| 青草久久国产| 美女福利国产在线| 午夜影院在线不卡| 亚洲一区二区三区欧美精品| 日韩成人av中文字幕在线观看| 飞空精品影院首页| 大香蕉久久网| 国产极品粉嫩免费观看在线| 欧美乱码精品一区二区三区| 在线观看一区二区三区激情| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 黄色怎么调成土黄色| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 亚洲国产精品999| 国产精品偷伦视频观看了| 我的亚洲天堂| 久久久久久人人人人人| 免费高清在线观看日韩| 亚洲精品国产一区二区精华液| 美女国产高潮福利片在线看| 黄片小视频在线播放| 国产一区二区三区av在线| 久久久久久久精品精品| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 亚洲第一区二区三区不卡| 各种免费的搞黄视频| 老司机影院成人| 精品一品国产午夜福利视频| 午夜av观看不卡| 国产99久久九九免费精品| 亚洲精品国产av蜜桃| 五月开心婷婷网| 久久这里只有精品19| 国产在视频线精品| 热99久久久久精品小说推荐| 最黄视频免费看| 丝袜美足系列| 国产免费又黄又爽又色| 免费人妻精品一区二区三区视频| 91精品伊人久久大香线蕉| 97在线人人人人妻| a级毛片在线看网站| 成人漫画全彩无遮挡| 国产一级毛片在线| 国产av码专区亚洲av| 亚洲成国产人片在线观看| a级毛片黄视频| 国产不卡av网站在线观看| 两性夫妻黄色片| 亚洲色图综合在线观看| 国产精品久久久av美女十八| 日韩av在线免费看完整版不卡| 欧美久久黑人一区二区| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 波野结衣二区三区在线| 国产精品欧美亚洲77777| 麻豆乱淫一区二区| 亚洲成色77777| 亚洲精品乱久久久久久| 国产精品一二三区在线看| 国产在线视频一区二区| 亚洲av成人精品一二三区| 国产在视频线精品| www.自偷自拍.com| 国产精品.久久久| 99香蕉大伊视频| 777米奇影视久久| 欧美日韩精品网址| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 精品久久久久久电影网| 欧美精品亚洲一区二区| 欧美激情极品国产一区二区三区| 高清av免费在线| 韩国高清视频一区二区三区| 成人亚洲欧美一区二区av| 狂野欧美激情性xxxx| 日韩 亚洲 欧美在线| 91精品三级在线观看| 亚洲国产av影院在线观看| 老司机亚洲免费影院| 另类亚洲欧美激情| 免费不卡黄色视频| 麻豆乱淫一区二区| 成人亚洲欧美一区二区av| av网站在线播放免费| 一区二区三区激情视频| 夫妻性生交免费视频一级片| 精品一区在线观看国产| 国产日韩欧美亚洲二区| 大香蕉久久成人网| 亚洲综合精品二区| 深夜精品福利| 七月丁香在线播放| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 成年女人毛片免费观看观看9 | 欧美日韩亚洲高清精品| 大话2 男鬼变身卡| 中文字幕av电影在线播放| 丝袜喷水一区| 成人黄色视频免费在线看| 欧美乱码精品一区二区三区| 深夜精品福利| 午夜激情久久久久久久| 国产一级毛片在线| 亚洲一码二码三码区别大吗| 久久久久久久精品精品| 午夜免费观看性视频| 男人操女人黄网站| 国产在视频线精品| 国产在线视频一区二区| 免费av中文字幕在线| 欧美亚洲日本最大视频资源| 午夜福利网站1000一区二区三区| 久久 成人 亚洲| 精品一区二区三卡| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 在现免费观看毛片| 国产一区二区激情短视频 | 久久久久精品久久久久真实原创| 曰老女人黄片| 在线天堂中文资源库| 狂野欧美激情性xxxx| 青春草国产在线视频| 黑丝袜美女国产一区| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 高清在线视频一区二区三区| 91aial.com中文字幕在线观看| 一级毛片我不卡| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 亚洲国产欧美在线一区| 飞空精品影院首页| 色精品久久人妻99蜜桃| 婷婷色综合www| 免费在线观看完整版高清| 七月丁香在线播放| 韩国av在线不卡| 午夜福利在线免费观看网站| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 成年av动漫网址| 天天操日日干夜夜撸| 人人澡人人妻人| 无遮挡黄片免费观看| 国产黄频视频在线观看| 久久久久精品性色| 色网站视频免费| 成人影院久久| 天天影视国产精品| 一区二区av电影网| 国产 精品1| 女性生殖器流出的白浆| 免费av中文字幕在线| 嫩草影视91久久| 麻豆av在线久日| 国产99久久九九免费精品| 国产xxxxx性猛交| 欧美日韩一级在线毛片| 精品少妇一区二区三区视频日本电影 | 男女边摸边吃奶| 99香蕉大伊视频| 久久久久人妻精品一区果冻| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 日本色播在线视频| 秋霞在线观看毛片| 人成视频在线观看免费观看| netflix在线观看网站| 久久久欧美国产精品| 亚洲免费av在线视频| 青春草国产在线视频| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 黑人欧美特级aaaaaa片| 美女中出高潮动态图| 免费在线观看黄色视频的| 水蜜桃什么品种好| 欧美xxⅹ黑人| 久久精品国产综合久久久| 免费在线观看完整版高清| 狂野欧美激情性xxxx| 欧美日韩亚洲高清精品| 国产精品成人在线| 国产精品一区二区精品视频观看| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 亚洲欧美一区二区三区久久| 国产成人精品福利久久| 青青草视频在线视频观看| 国产色婷婷99| e午夜精品久久久久久久| 婷婷色av中文字幕| 丝袜人妻中文字幕| 丝袜脚勾引网站| 免费高清在线观看日韩| 黄色毛片三级朝国网站| 在线精品无人区一区二区三| av天堂久久9| 天天影视国产精品| e午夜精品久久久久久久| 亚洲精品中文字幕在线视频| 一级片免费观看大全| 欧美乱码精品一区二区三区| 国产精品二区激情视频| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 一本久久精品| 不卡视频在线观看欧美| 操美女的视频在线观看| 妹子高潮喷水视频| 亚洲精品自拍成人| av女优亚洲男人天堂| 久久女婷五月综合色啪小说| 一区二区三区四区激情视频| 精品少妇黑人巨大在线播放| 亚洲国产中文字幕在线视频| 搡老岳熟女国产| 国产国语露脸激情在线看| 韩国av在线不卡| 久久精品国产亚洲av高清一级| 91精品国产国语对白视频| 免费看不卡的av| 久久久久国产一级毛片高清牌| 国产爽快片一区二区三区| 免费高清在线观看视频在线观看| 最近的中文字幕免费完整| 成年美女黄网站色视频大全免费| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 老汉色av国产亚洲站长工具| 精品第一国产精品| 久久亚洲国产成人精品v| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 99久久人妻综合| 午夜av观看不卡| 亚洲精品第二区| 欧美xxⅹ黑人| av不卡在线播放| 国产免费现黄频在线看| 啦啦啦视频在线资源免费观看| kizo精华| 高清av免费在线| 丁香六月天网| 免费不卡黄色视频| 极品少妇高潮喷水抽搐| 日韩精品有码人妻一区| 中文字幕制服av| 91国产中文字幕| 日韩 亚洲 欧美在线| 男女免费视频国产| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 国产成人精品久久久久久| 99久久99久久久精品蜜桃| 久久久久精品人妻al黑| 亚洲精品久久午夜乱码| 国产在线视频一区二区| av在线播放精品| 亚洲,欧美,日韩| 国产片内射在线| 美女中出高潮动态图| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 国产深夜福利视频在线观看| 日韩制服骚丝袜av| 人人妻,人人澡人人爽秒播 | 亚洲av男天堂| 极品少妇高潮喷水抽搐| 最新在线观看一区二区三区 | 国产亚洲精品第一综合不卡| 操出白浆在线播放| 自线自在国产av| 99香蕉大伊视频| 婷婷色av中文字幕| 香蕉国产在线看| 国产精品国产三级国产专区5o| 香蕉丝袜av| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 久久久国产精品麻豆| 免费观看性生交大片5| 国产不卡av网站在线观看| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 男人添女人高潮全过程视频| 操美女的视频在线观看| 精品人妻一区二区三区麻豆| 免费在线观看黄色视频的| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 欧美日韩视频精品一区| 热re99久久精品国产66热6| 超色免费av| 狂野欧美激情性bbbbbb| 午夜日本视频在线| 最近的中文字幕免费完整| 母亲3免费完整高清在线观看| 又黄又粗又硬又大视频| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 美国免费a级毛片| 夫妻性生交免费视频一级片| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 国产精品.久久久| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 欧美国产精品一级二级三级| 午夜免费男女啪啪视频观看| 中文字幕最新亚洲高清| 久久久欧美国产精品| 精品一区在线观看国产| 18禁国产床啪视频网站| 久久综合国产亚洲精品| 十八禁网站网址无遮挡| 亚洲,一卡二卡三卡| 欧美黑人欧美精品刺激| 国产精品女同一区二区软件| 国产伦理片在线播放av一区| 看免费av毛片| 国产亚洲av高清不卡| av网站免费在线观看视频| 曰老女人黄片| 色精品久久人妻99蜜桃| 一区二区三区激情视频| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 久久久精品区二区三区| 青草久久国产| 飞空精品影院首页| 亚洲国产av新网站| 精品人妻一区二区三区麻豆| 日本午夜av视频| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 亚洲美女视频黄频| 伊人久久国产一区二区| 成人国语在线视频| 青春草视频在线免费观看| 国产亚洲欧美精品永久| 考比视频在线观看| 久久综合国产亚洲精品| 精品酒店卫生间| 丁香六月欧美| 免费高清在线观看日韩| 一本大道久久a久久精品| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 亚洲国产欧美一区二区综合| 一级a爱视频在线免费观看| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 曰老女人黄片| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 男人爽女人下面视频在线观看| 伊人亚洲综合成人网| 97人妻天天添夜夜摸| 亚洲精品aⅴ在线观看| 亚洲欧美一区二区三区国产| 一级,二级,三级黄色视频| 男人爽女人下面视频在线观看| 日韩人妻精品一区2区三区| 一级a爱视频在线免费观看| a级毛片在线看网站| 一边摸一边做爽爽视频免费| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 亚洲美女黄色视频免费看| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 91国产中文字幕| 如何舔出高潮| 精品久久久久久电影网| 性色av一级| 亚洲欧美精品自产自拍| 国产免费视频播放在线视频| 国产成人精品在线电影| 老司机亚洲免费影院| 夫妻性生交免费视频一级片| 我的亚洲天堂| 日韩电影二区| 美女主播在线视频| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 久久久久久久久久久免费av| 国产人伦9x9x在线观看| 男人添女人高潮全过程视频| 视频区图区小说| 国产片特级美女逼逼视频| 女性生殖器流出的白浆| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 亚洲精品在线美女| 满18在线观看网站| 一区二区三区乱码不卡18| 熟女av电影| 国产成人啪精品午夜网站| 无遮挡黄片免费观看| 观看av在线不卡| 老司机在亚洲福利影院| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 精品国产国语对白av| 99国产精品免费福利视频| av一本久久久久| 在线观看一区二区三区激情| 国产精品亚洲av一区麻豆 | 免费观看a级毛片全部| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 成人毛片60女人毛片免费| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 午夜日本视频在线| 久久精品久久久久久久性| 在线观看免费午夜福利视频| 亚洲少妇的诱惑av| 国产男女内射视频| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 国产99久久九九免费精品| 国产av精品麻豆| 一本久久精品| 久久久久久久久久久久大奶| 亚洲av综合色区一区| 成人国产麻豆网| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| 精品一区二区三区四区五区乱码 | 欧美黑人精品巨大| 青春草亚洲视频在线观看| 亚洲久久久国产精品| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 欧美xxⅹ黑人| 久久精品久久久久久久性| 日韩精品有码人妻一区| 无遮挡黄片免费观看| www.熟女人妻精品国产| 久久久久精品人妻al黑| 亚洲,一卡二卡三卡| 香蕉丝袜av| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 91国产中文字幕| 中文字幕亚洲精品专区| 成人国语在线视频| 宅男免费午夜| 一区二区三区四区激情视频| 制服丝袜香蕉在线| 韩国av在线不卡| 婷婷色综合大香蕉| 欧美av亚洲av综合av国产av | 国产一区二区三区综合在线观看| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 亚洲精品美女久久av网站| 久久国产亚洲av麻豆专区| 久久久久久久久久久免费av| 2021少妇久久久久久久久久久| 1024视频免费在线观看| 性色av一级| 日日撸夜夜添| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 日本av手机在线免费观看| 久久精品人人爽人人爽视色| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 香蕉国产在线看| 丝瓜视频免费看黄片| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 少妇精品久久久久久久| √禁漫天堂资源中文www| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀 | 丝袜脚勾引网站| 免费高清在线观看视频在线观看| 丝瓜视频免费看黄片| 国产精品三级大全| 在线天堂中文资源库| 色婷婷久久久亚洲欧美| 在线观看免费日韩欧美大片| 国产一级毛片在线| 日韩中文字幕视频在线看片| 尾随美女入室| 欧美人与性动交α欧美软件| 婷婷色麻豆天堂久久| 丝瓜视频免费看黄片| 啦啦啦在线观看免费高清www| 亚洲成人国产一区在线观看 | 91成人精品电影| 多毛熟女@视频| 久久精品人人爽人人爽视色| www日本在线高清视频| 中文欧美无线码| 男女午夜视频在线观看| 一级毛片电影观看| 国产成人精品在线电影| 最近的中文字幕免费完整| 日本一区二区免费在线视频| 两个人免费观看高清视频| 中文字幕av电影在线播放| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 中文字幕人妻丝袜制服| 少妇人妻精品综合一区二区| 色婷婷av一区二区三区视频| 欧美变态另类bdsm刘玥| 精品少妇内射三级| 日韩大码丰满熟妇| av线在线观看网站| 国产人伦9x9x在线观看| 大香蕉久久网| 一级a爱视频在线免费观看| 女人精品久久久久毛片| 精品一区二区三卡| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 国产一区二区激情短视频 | 亚洲av中文av极速乱| 老司机靠b影院| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 91精品三级在线观看| 亚洲精品日本国产第一区| 日本色播在线视频| 日韩视频在线欧美| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 伊人亚洲综合成人网| 乱人伦中国视频| 高清av免费在线| 看十八女毛片水多多多| 欧美日韩精品网址| 极品人妻少妇av视频| 久久天堂一区二区三区四区| 人妻人人澡人人爽人人| 国产精品偷伦视频观看了| 无遮挡黄片免费观看| 天美传媒精品一区二区| 国产福利在线免费观看视频| 亚洲美女搞黄在线观看| 久久久久精品国产欧美久久久 | www.自偷自拍.com| 国产成人啪精品午夜网站| 午夜福利在线免费观看网站| 97精品久久久久久久久久精品| 女人精品久久久久毛片| 亚洲成人国产一区在线观看 | av在线老鸭窝| 日韩成人av中文字幕在线观看| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 18禁动态无遮挡网站| 国产一区亚洲一区在线观看| 国产一区二区激情短视频 | 美国免费a级毛片| 超色免费av| 亚洲国产毛片av蜜桃av| av国产精品久久久久影院| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 老司机靠b影院| 成人三级做爰电影| 国产成人精品在线电影| 亚洲三区欧美一区| 一本色道久久久久久精品综合| 不卡视频在线观看欧美| 欧美日韩av久久| 女人精品久久久久毛片| 99国产精品免费福利视频| 亚洲一区中文字幕在线| 亚洲av成人精品一二三区| 欧美黄色片欧美黄色片| av不卡在线播放| 午夜老司机福利片| 国产成人午夜福利电影在线观看| 中文字幕精品免费在线观看视频| 日韩伦理黄色片| 国产午夜精品一二区理论片| 国产在视频线精品|