一類積分Altman型映象不動(dòng)點(diǎn)定理及應(yīng)用

聶 輝，張樹義

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

關(guān)于非阿基米德Menger概率度量空間概念以及在此空間中建立的不動(dòng)點(diǎn)定理, 文獻(xiàn)[1-10]做過研究, 其中文獻(xiàn)[9]在此度量空間中建立了Altman型映象的不動(dòng)點(diǎn)定理；文獻(xiàn)[10]在此度量空間中建立了一類平方型映象的不動(dòng)點(diǎn)定理, 推廣了一些文獻(xiàn)中的結(jié)果。近年來, 文獻(xiàn)[11-20]研究了若干類非線性映象不動(dòng)點(diǎn)的存在性。受上述工作啟發(fā), 本文在(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空間中建立涉及4個(gè)映象并包含文獻(xiàn)[9]中的壓縮映象為特例的更廣泛的一類積分Altman型映象公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理, 從而改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[1-20]中的相應(yīng)結(jié)果。作為應(yīng)用在概率度量空間中討論了起源于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一類泛函方程組公共解的存在與唯一性。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Z+表示非負(fù)整數(shù)集。定義H1={H|H:[0,∞)5→[0,∞)，對(duì)每一變量是非減的函數(shù)，?t>0,max{H(t,t,t,a1t,a2t)|a1,a2∈Z+,a1+a2=2}=h(t)滿足如下(c1)、(c2)和(c3)[21]:

(c1) 00;

注1如果H∈H1, 則h(0)=0，且h(t)=t?t=0。

下面給出一些基本概念。

定義1[5]設(shè)X是非空集,D為全體分布函數(shù),F:X×X→D,稱(X,F)為非阿基米德概率度量空間，若對(duì)x,y∈X,分布函數(shù)F(x,y)(記為Fx,y)，滿足下面條件:

(ⅰ)對(duì)?t>0,Fx,y(t)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

(ⅱ)Fx,y=Fy,x,?x,y∈X;

(ⅲ)Fx,y(0)=0,?x,y∈X;

(ⅳ)若Fx,y(t)=1,Fy,z(s)=1，則Fx,z(max{t,s})=1,?x,y,z∈X。

定義2[8]映象Δ:[0,1]×[0,1]→[0,1]稱為三角范數(shù), 如果滿足以下條件：

(ⅰ)?a∈[0,1],Δ(a,1)=a;

(ⅱ)?a,b∈[0,1],Δ(a,b)=Δ(b,a);

(ⅲ)?a,b,c,d∈[0,1],若a≥b,c≥d,有Δ(a,c)≥Δ(b,d);

(ⅳ)?a,b,c∈[0,1],Δ(a,Δ(b,c))=Δ(Δ(a,b),c)。

定義3[5]三元組(X,F,Δ)稱為非阿基米德Menger概率度量空間, 若(X,F)是一非阿基米德概率度量空間,Δ是滿足下列條件的Δ-范數(shù)。

Fx,z(max{t1,t2})≥Δ(Fx,y(t1),Fy,z(t2)),?t1,t2∈[0,∞),?x,y,z∈X。

設(shè)Ω={g|g:[0,1]→[0,∞)連續(xù), 嚴(yán)格遞減,g(1)=0,g(0)<+∞}。

定義4[5]非阿基米德Menger概率度量空間(X,F,Δ)稱為(Cg)型的, 如果存在g∈Ω,使得?x,y,z∈X,?t≥0, 有g(shù)Fx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t)。

定義5[5]非阿基米德Menger概率度量空間(X,F,Δ)稱為(Dg)型的, 如果存在g∈Ω,使得?s,t∈[0,1], 有g(shù)(Δ(s,t))≤g(s)+g(t)。

定義6[4]設(shè)(X,F,Δ)是(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空間，(X,F,Δ)中序列{xn}收斂于x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε>0,λ>0, 存在N(ε,λ)∈N，使得n≥N(ε,λ),有g(shù)Fxn,x(ε)

定義7[4]設(shè)(X,F,Δ)是(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空間，(X,F,Δ)中序列{xn}稱為Cauchy序列當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε>0,λ>0, 存在N(ε,λ)∈N，使得?n≥N(ε,λ),?p≥1,有g(shù)Fxn,xn+p(ε)

引理1[9]設(shè)(X,F,Δ)是(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空間,S、A:X→X是相容映象, 如果Az=Sz,z∈X, 則ASz=SAz。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,F,Δ)是完備的(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空間,(S,A)、(T,B)是X→X的相容映象對(duì),AX?TX,BX?SX, 使得?x,y∈X,?t>0，

(1)

其中H∈H1,ψ:R+=[0,∞)→R+是勒貝格可積與可和的, ?a,b∈R+,

證明任取x0∈X, 作序列y2n=Ax2n=Tx2n+1,y2n+1=Bx2n+1=Sx2n+2(n=0,1,2,…)。?t>0, 由式(1)有

(2)

同理可證，對(duì)?t>0，有

于是，?n≥1,t>0, 有

故對(duì)?t>0，由T、S的連續(xù)性知，

g[FBTx2n+1,Ty*(t)]≤g[FBTx2n+1,TBx2n+1(t)]+g[FTBx2n+1,Ty*(t)]→0(n→∞),

g[FASx2n,Sy*(t)]≤g[FASx2n,SAx2n(t)]+g[FSAx2n,Sy*(t)]→0(n→∞)。

于是，?t>0, 由式(1)得

如果用H的連續(xù)性代替映象A、B的連續(xù)性, 則有下列結(jié)果。

定理2設(shè)(X,F,Δ)是完備的(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空間,(S,A)、(T,B)是X→X的相容映象對(duì),AX?TX,BX?SX，使得?x,y∈X,?t>0, 有

(3)

其中H∈H1,ψ:R+=[0,∞)→R+是勒貝格可積與可和的, ?a,b∈R+,

證明任取x0∈X, 作序列y2n=Ax2n=Tx2n+1,y2n+1=Bx2n+1=Sx2n+2(n=0,1,2,…),

故對(duì)?t>0，由式(3)和T、S的連續(xù)性知，

g[FBTx2n+1,Ty*(t)]≤g[FBTx2n+1,TBx2n+1(t)]+g[FTBx2n+1,Ty*(t)]→0(n→∞),

g[FASx2n,Sy*(t)]≤g[FASx2n,SAx2n(t)]+g[FSAx2n,Sy*(t)]→0(n→∞)。

于是，?t>0，由式(3)有

在上式中令n→∞取極限, 得

在上式中令n→∞取極限, 得

推論1[9]設(shè)(X,F,Δ)是完備的(Dg)型非阿基米德Menger概率度量空間,(S,A)、(T,B)是X→X的相容映象對(duì),S、T、A、B連續(xù),AX?TX,BX?SX, 使得?x,y∈X,?t>0, 有

則S、T、A、B在X上有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)。

設(shè)X和Y是實(shí)Banach空間,S?X為狀態(tài)空間,D?Y為決策空間,B(S)是S上有界實(shí)函數(shù)全體,x和y分別為狀態(tài)向量和決策向量,T為過程變換,f(x)為具有初始狀態(tài)x的最優(yōu)返回。下面利用定理1討論下列起源于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的泛函方程的解的存在性和唯一性：

(4)

定理3設(shè)

①u,Gi(i=1,2,3,4)有界；

②對(duì)任意(x,ξ,y)∈S×S×D,k,h∈B(S)和t>0, 有

其中g(shù):[0,1]→[0,∞),g(x)=1-x,?x∈[0,1],H∈H1，

③A1(B(S))?A4(B(S)),A2(B(S))?A3(B(S))；

④對(duì)Ai(i=1,2,3,4), 滿足任意的{γn}n≥1?B(S),γ∈B(S),有

⑤對(duì)任意的{μn}n≥1?B(S), 如果存在μ∈B(S),當(dāng)

則泛函方程組(4)在B(S)中存在唯一解。

證明對(duì)任意k,h∈B(S),定義d(k,h)=sup{|k(x)-h(x)|,x∈S},由條件①可知，Ai:B(S)→B(S),i=1,2,3,4。由條件④和條件⑤，A1、A2、A3、A4是連續(xù)的，并且A1與A3，A2與A4是相容的。若opt=sup，則由條件②中Aiqi(x)的定義，對(duì)任意的k,h∈B(S),x∈S, 對(duì)任意的ε>0存在y,z∈D，有下列不等式成立：

A1k(x)

A1h(x)

A1k(x)≥u(x,z)+G1(x,z,k(T(x,z)))，

A2h(x)≥u(x,y)+G2(x,y,h(T(x,y)))。

由上面不等式容易得到

A1k(x)-A2h(x)

A1k(x)-A2h(x)>G1(x,z,k(T(x,z)))-G2(x,z,h(T(x,z)))-ε。

進(jìn)而，

令ε→0，得

于是，對(duì)?t>0,有

進(jìn)而，對(duì)?t>0,有

因此，對(duì)?t>0, 由條件②有

(5)

若opt=inf，類似于上面證明過程可知式(5)成立，于是，由定理1可知，A1、A2、A3、A4有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)q∈B(S)，即q為泛函方程組(4)的唯一公共解。證畢。

3 結(jié)束語(yǔ)

隨著非線性映象不動(dòng)點(diǎn)理論的發(fā)展，提出并研究新的非線性映象類不動(dòng)點(diǎn)的存在性, 借以統(tǒng)一前人的一些結(jié)果, 這是非線性映象不動(dòng)點(diǎn)理論的研究趨勢(shì)之一。非阿基米德Menger概率度量空間中g(shù)F滿足三角不等式，因此在非阿基米德Menger概率度量空間中討論Altman型映象不動(dòng)點(diǎn)的存在性成為可能。本文在非阿基米德Menger概率度量空間中建立涉及4個(gè)映象的更廣泛一類積分Altman型映象公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理, 最終將相關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)果, 推廣到了非阿基米德Menger概率度量空間中積分Altman型映象類, 擴(kuò)展了相關(guān)定理的適用范圍，并在概率度量空間中將本文結(jié)果應(yīng)用于解決起源于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一類泛函方程組公共解的存在與唯一性問題。