六自由度電液振動(dòng)臺(tái)矩陣控制方法誤差分析

(大連海事大學(xué)機(jī)械工程系， 遼寧大連 116026)

引言

電液振動(dòng)臺(tái)剛度大，精度高，可產(chǎn)生較大輸出力，常用于研究和檢驗(yàn)產(chǎn)品在振動(dòng)條件下的結(jié)構(gòu)可靠性和操縱可靠性[1-2]，例如日本防災(zāi)科學(xué)研究所研制的E-Defense多軸振動(dòng)臺(tái)[3]。對(duì)于多自由度振動(dòng)臺(tái)控制的控制策略，以往多采用合成/分解矩陣進(jìn)行鉸點(diǎn)空間與自由度空間之間的信號(hào)轉(zhuǎn)換[4]。目前振動(dòng)臺(tái)多為正交結(jié)構(gòu)布置，普遍采用矩陣控制算法，該算法平動(dòng)自由度偏差小，能很好的完成平動(dòng)自由度的振動(dòng)環(huán)境模擬。

隨著振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)的復(fù)雜化，平動(dòng)自由度的振動(dòng)模擬往往不能滿足復(fù)雜的振動(dòng)環(huán)境要求，需要振動(dòng)臺(tái)完成轉(zhuǎn)動(dòng)自由度甚至多自由度復(fù)合運(yùn)動(dòng)。多自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)是一多變量和本質(zhì)非線性的復(fù)雜系統(tǒng)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度至關(guān)重要[5]。精確的運(yùn)動(dòng)學(xué)解算有利于提高系統(tǒng)的控制精度。運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究各驅(qū)動(dòng)器運(yùn)動(dòng)規(guī)律和平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律之間的關(guān)系，是系統(tǒng)設(shè)計(jì)、驅(qū)動(dòng)器設(shè)計(jì)和研究系統(tǒng)控制策略的基礎(chǔ)[6]。目前振動(dòng)臺(tái)控制策略還普遍采用矩陣算法，該算法相對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)算法存在一定的誤差，影響控制精度。因此對(duì)矩陣算法的誤差進(jìn)行量化的分析，對(duì)控制算法的優(yōu)化與改進(jìn)具有一定的指導(dǎo)意義。

本研究分析了六自由度振動(dòng)臺(tái)矩陣算法與運(yùn)動(dòng)算法的原理，并對(duì)矩陣算法的誤差與產(chǎn)生的自由度耦合進(jìn)行了仿真及實(shí)驗(yàn)研究，在此基礎(chǔ)上對(duì)矩陣算法與運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的特點(diǎn)進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 六自由度振動(dòng)臺(tái)結(jié)構(gòu)

六自由度振動(dòng)臺(tái)實(shí)體圖及結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。該振動(dòng)臺(tái)采用正交結(jié)構(gòu)布置，水平向3個(gè)液壓缸(圖中1～3)連接平臺(tái)(圖中10)與反力支座(圖中7～9)、垂直向3個(gè)液壓缸(圖中4～6)與平臺(tái)和底座相連。

為了描述平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，在平臺(tái)中心構(gòu)建2個(gè)坐標(biāo)系，靜坐標(biāo)系(Oxyz)和體坐標(biāo)系(O′x′y′z′)。其中體坐標(biāo)系與平臺(tái)固聯(lián)，其坐標(biāo)原點(diǎn)位于水平向激振器上鉸點(diǎn)構(gòu)成的長(zhǎng)方形平面的中心，靜坐標(biāo)系固定在大地上。在平臺(tái)處于中位時(shí)，靜坐標(biāo)系與體坐標(biāo)系完全重合，當(dāng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)，體坐標(biāo)系隨平臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)，而靜坐標(biāo)系始終靜止不動(dòng)。六個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度分別為沿x,y,z軸的3個(gè)平動(dòng)自由度px,py,pz以及按3-2-1順序旋轉(zhuǎn)的歐拉角Rz,Ry,Rx。

表1 振動(dòng)臺(tái)尺寸參數(shù) m

2 傳統(tǒng)矩陣控制

圖2為六自由度振動(dòng)臺(tái)傳統(tǒng)矩陣控制系統(tǒng)[7]。其中的自由度分解矩陣與自由度合成矩陣可以實(shí)現(xiàn)自由度空間與鉸點(diǎn)空間信號(hào)的近似相互轉(zhuǎn)換。

圖2 傳統(tǒng)矩陣控制策略

設(shè)第i個(gè)液壓缸的伸縮量為Δli，當(dāng)平臺(tái)位姿Q=[px,py,pz,rx,ry,rz]T(px，py，pz為平動(dòng)位移量，m；rx，ry，rz為轉(zhuǎn)動(dòng)角度，°)較小時(shí)，根據(jù)振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)各液壓缸的分布及參數(shù)尺寸可得[8]：

Δl1≈px

Δl2≈py+d3·rz

Δl3≈py-d3·rz

Δl4≈-pz+d1·rx-d2·ry

Δl5≈-pz+d2·ry

Δl6≈-pz-d1·rx-d2·ry

(1)

寫(xiě)成矩陣形式：

簡(jiǎn)寫(xiě)為：

ΔL=Hf·Q

(3)

其中,Hf為分解矩陣，合成矩陣為分解矩陣的逆：

(4)

根據(jù)零位線性化(sinx=x)的假設(shè)推導(dǎo)出自由度合成及分解矩陣，其局限性就是矩陣元素在控制運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變，并且平臺(tái)運(yùn)動(dòng)位姿應(yīng)在初始位姿附近。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)位姿較大時(shí)，這種基于零位線性化的方法推導(dǎo)的自由度合成信號(hào)、分解信號(hào)與實(shí)際系統(tǒng)的信號(hào)相比有較大的偏差，從而降低了振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)的控制精度。

3 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的控制策略

六自由度振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的控制策略如圖3所示，通過(guò)對(duì)位姿、速度及加速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析推導(dǎo)出液壓缸信號(hào)與自由度信號(hào)的實(shí)時(shí)代數(shù)關(guān)系，以替代傳統(tǒng)的分解/合成矩陣。

圖3 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制策略

3.1 速度、加速度正/反解算法

六自由度電液振動(dòng)臺(tái)是一種典型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，關(guān)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正/反解算法可參考文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[10]。這里對(duì)速度與加速度的正/反解算法作一些補(bǔ)充。

振動(dòng)臺(tái)上平臺(tái)的空間六維速度與各液壓缸伸縮速率之間有如下關(guān)系[5]:

ΔL′=J·[P′ω]T

(5)

(6)

式(5)反映了振動(dòng)臺(tái)速度與液壓缸速度的實(shí)際數(shù)量關(guān)系。對(duì)式(5)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得：

(7)

其中, ΔL″為各液壓缸伸縮加速度；P″為平臺(tái)3個(gè)平動(dòng)自由度線加速度；ω′為平臺(tái)3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度角加速度。

3.2 雅克比矩陣的時(shí)間導(dǎo)數(shù)矩陣

由式(6)可得：

(8)

由式(8)可知雅克比矩陣的時(shí)間導(dǎo)數(shù)矩陣可以分為兩個(gè)部分。第一部分是液壓缸單位矢量方向的時(shí)間導(dǎo)數(shù)；另一部分是叉乘部分的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。

第i個(gè)液壓缸的單位矢量方向等于液壓缸下鉸點(diǎn)到上鉸點(diǎn)的矢量方向除以此時(shí)的液壓缸長(zhǎng)度，即：

(9)

對(duì)式(9)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)：

(10)

式(10)中L′i為液壓缸矢量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，因此等于該液壓缸上鉸點(diǎn)的速度，根據(jù)速度合成定理，絕對(duì)速度等于牽連速度加上相對(duì)速度，有：

(11)

式(10)中|Li|′為液壓缸長(zhǎng)度的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，因此等于液壓缸的伸縮速度，即：

|Li|′=ΔL′

(12)

由MERLET[11]文章中的叉乘求導(dǎo)結(jié)果可得：

(13)

將式(10)、式(13)帶入式(8)即可得雅克比矩陣的時(shí)間導(dǎo)數(shù)矩陣。

基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析獲得的自由度空間與鉸點(diǎn)空間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是一種精確的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的解算誤差可以忽略不計(jì)，該算法極大的彌補(bǔ)了傳統(tǒng)矩陣算法中的解算誤差，尤其是平臺(tái)大位姿時(shí)的解算誤差。

4 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)所用的六自由度電液振動(dòng)臺(tái)如圖4所示。主機(jī)與目標(biāo)機(jī)之間的通信通過(guò)網(wǎng)絡(luò)連接實(shí)現(xiàn)，振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)與目標(biāo)機(jī)通過(guò)I/O設(shè)備連接，其中信號(hào)處理單元與伺服閥及各傳感器相連，實(shí)時(shí)采集并處理各個(gè)液壓缸的位移、速度及加速度?？刂葡到y(tǒng)基于Simulink RTW/XPC平臺(tái)構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)監(jiān)控[12]。利用Simulink/XPC在主機(jī)上搭建振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)控制模型，通過(guò)RTW將振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)控制模型生成C代碼，通過(guò)以太網(wǎng)將生成的執(zhí)行代碼下載到目標(biāo)機(jī)中，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)在主機(jī)上進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)試、在線調(diào)整參數(shù)的目的。

圖4 六自由度電液振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)系統(tǒng)

矩陣算法的解算誤差隨工況不同而變化。本研究分別對(duì)平動(dòng)自由度pz與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度rx這兩個(gè)具有代表性的單自由度進(jìn)行試驗(yàn)研究。首先通過(guò)低頻大位姿試驗(yàn)研究了矩陣算法的位置解算法誤差與產(chǎn)生的自由度耦合。對(duì)于矩陣算法的加速度解算誤差，由于振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)范圍受液壓缸的性能限制，當(dāng)平臺(tái)做正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同頻率下平臺(tái)所能達(dá)到的最大位姿有限，而矩陣算法的加速度解算誤差與平臺(tái)實(shí)際位姿有關(guān)，因此可以結(jié)合運(yùn)動(dòng)頻率與此時(shí)的正弦運(yùn)動(dòng)最大幅值來(lái)分析加速度的最大誤差。

基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析獲得的自由度空間與鉸點(diǎn)空間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是一種精確的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的解算誤差可以忽略不計(jì)，因此可以利用運(yùn)動(dòng)學(xué)算法根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的各液壓缸的位移、速度和加速度解算出平臺(tái)實(shí)際位姿和實(shí)際加速度。

4.1 pz運(yùn)動(dòng)誤差及耦合

根據(jù)零位線性化推導(dǎo)出的矩陣算法，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)位姿越大，偏差越大。但是對(duì)于正交布置的振動(dòng)臺(tái)，零位線性化理論sinx=x只用于對(duì)平臺(tái)Rz,Ry,Rx自由度的解算。當(dāng)平臺(tái)進(jìn)行px,py,pz單自由度平動(dòng)時(shí)，平動(dòng)方向上的液壓缸的位移量沒(méi)有誤差，而轉(zhuǎn)動(dòng)自由度矩陣算法誤差較大。

仿真表明，平動(dòng)自由度最大解算誤差為5×10-9m，該誤差已經(jīng)超出傳感器的分辨率，對(duì)系統(tǒng)控制精度的影響可以忽略。但由矩陣算法導(dǎo)致的對(duì)其他自由度產(chǎn)生的自由度之間的耦合運(yùn)動(dòng)較明顯。

實(shí)驗(yàn)給定pz自由度幅值為0.03 m，頻率為0.5 Hz的正弦運(yùn)動(dòng)，采用矩陣控制算法。矩陣算法產(chǎn)生的rx耦合如圖5所示，平臺(tái)pz越大時(shí)，產(chǎn)生的rx耦合越大。

圖5 矩陣算法下產(chǎn)生的耦合(pz自由度運(yùn)動(dòng))

4.2 Rx運(yùn)動(dòng)誤差及耦合

定義矩陣算法對(duì)平臺(tái)位置的解算誤差的計(jì)算公式為:

(14)

其中,qh為矩陣算法解算的平臺(tái)位姿；qr為平臺(tái)實(shí)際位姿。

實(shí)驗(yàn)給定Rx自由度幅值為6°，頻率為0.5 Hz的正弦運(yùn)動(dòng)，矩陣算法對(duì)平臺(tái)位置的解算誤差與平臺(tái)實(shí)際位置的關(guān)系如圖6所示。當(dāng)平臺(tái)rx增加時(shí)，矩陣算法對(duì)平臺(tái)位姿的解算誤差明顯增加。

定義平臺(tái)正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩陣算法對(duì)平臺(tái)加速度的解算誤差計(jì)算公式如下：

其中,ah(ω)為振動(dòng)頻率為ω時(shí)矩陣算法解算的平臺(tái)加速度；ar(ω)為振動(dòng)頻率為ω時(shí)平臺(tái)實(shí)際加速度。

圖6 矩陣算法解算誤差(Rx自由度運(yùn)動(dòng))

不同頻率F下，進(jìn)行多組Rx正弦實(shí)驗(yàn)，幅值為該頻率下平臺(tái)最大運(yùn)動(dòng)范圍的50%，低頻采用位置控制模式，三狀態(tài)輸入為平臺(tái)位置信號(hào)；高頻時(shí)采用加速度控制模式，三狀態(tài)輸入為平臺(tái)加速度信號(hào)。其中10 Hz(加速度控制)平臺(tái)加速度arx時(shí)域響應(yīng)如圖7所示。根據(jù)式(15)求取矩陣算法的誤差，結(jié)果如圖8所示。圖中實(shí)線為仿真結(jié)果，是利用MATLAB構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的理論誤差；虛線為實(shí)驗(yàn)中矩陣算法得到的平臺(tái)加速度誤差。由圖中結(jié)果可知，在低頻運(yùn)動(dòng)時(shí)，受液壓缸最大伸縮量限制，平臺(tái)具有相同的運(yùn)動(dòng)范圍，矩陣算法的加速解算誤差最大約為1.2%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果接近；當(dāng)平臺(tái)做中頻或高頻運(yùn)動(dòng)時(shí)，受液壓缸最大速度或加速度限制，頻率越高平臺(tái)運(yùn)動(dòng)范圍越小，矩陣算法的加速解算誤差明顯減小?？紤]液壓動(dòng)力機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性差異、傳感器誤差等其他因素作用下，此時(shí)矩陣算法的解算誤差要遠(yuǎn)高于仿真結(jié)果。因此在中高頻運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩陣算法的加速度解算誤差對(duì)系統(tǒng)精度的影響很小，可以忽略不計(jì)。

圖7 10 Hz時(shí)平臺(tái)加速度arx時(shí)域響應(yīng)

給定Rx自由度幅值為6°，頻率為0.5 Hz的正弦運(yùn)動(dòng)，采用矩陣控制算法，產(chǎn)生的ry耦合如圖9所示。由結(jié)果可知，當(dāng)平臺(tái)rx越大時(shí)，矩陣算法產(chǎn)生的ry耦合越大。

圖8 矩陣算法的加速度解算誤差(Rx自由度運(yùn)動(dòng))

4.3 算法執(zhí)行周期TET

算法的執(zhí)行周期是實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要指標(biāo)。由圖6、圖8可知，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析有助于提高低頻段的控制精度。對(duì)于高頻信號(hào)，考慮液壓動(dòng)力機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性差異及傳感器噪聲等因素的影響，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的優(yōu)勢(shì)并不明顯。圖10給出了矩陣控制與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析相結(jié)合的控制策略。該算法在傳統(tǒng)的純矩陣控制策略基礎(chǔ)上，以位置正解替代原本的合成矩陣，以此提高低頻段控制精度。對(duì)于速度及加速度，仍基于合成矩陣求取。

圖10 矩陣/運(yùn)動(dòng)學(xué)控制策略

基于XPC系統(tǒng)，在Advantech工控機(jī)IPC-610上測(cè)試圖2、圖3和圖10所示算法的實(shí)時(shí)性，工控機(jī)CPU為Intel PD，主頻2.6 GHz，內(nèi)存2 G。采用不同控制算法的執(zhí)行周期(TET)如表2所示。

由表2可知矩陣控制策略的執(zhí)行周期最短，采用矩陣與運(yùn)動(dòng)學(xué)算法結(jié)合的控制策略的執(zhí)行周期與矩陣控制策略的執(zhí)行周期接近，而使用純運(yùn)動(dòng)學(xué)控制策略的執(zhí)行周期最長(zhǎng)。如果優(yōu)先考慮算法的執(zhí)行周期，在保證算法的可實(shí)時(shí)性的前提下盡量減少算法解算誤差，那么圖10所示控制策略更適用于實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)。

表2 不同控制策略的執(zhí)行周期 s

5 結(jié)論

本研究以電液振動(dòng)臺(tái)為研究對(duì)象，通過(guò)仿真及實(shí)驗(yàn)分析了傳統(tǒng)矩陣控制算法產(chǎn)生的誤差與耦合，并對(duì)比了矩陣算法與運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的執(zhí)行周期，結(jié)果表明：

(1) 對(duì)于平動(dòng)自由度，矩陣算法誤差很小，可以忽略不計(jì)，但是會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的耦合運(yùn)動(dòng)，且耦合運(yùn)動(dòng)幅值隨平動(dòng)自由度運(yùn)動(dòng)幅值的增大而增加；

(2) 對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，矩陣算法的位置解算誤差與平臺(tái)的位姿有關(guān)，平臺(tái)位姿越大，誤差越大，其他自由度的耦合也越大。當(dāng)平臺(tái)以中高頻振動(dòng)時(shí)，矩陣算法的加速度解算誤差很小，對(duì)控制精度的影響遠(yuǎn)小于其他因素；

(3) 考慮到矩陣算法與運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的執(zhí)行周期，推薦使用矩陣與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析相結(jié)合的控制算法。該算法彌補(bǔ)了大位姿時(shí)矩陣算法的平臺(tái)位置解算誤差，可以減小自由度耦合，提高控制精度，并且執(zhí)行周期短，且易于工程實(shí)現(xiàn)。