廣義變系數(shù)Kawachara方程的等價(jià)變換、精確解和守恒律

常麗娜 劉漢澤

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 聊城 252059)

0 引言

眾所周知,許多類似水波、神經(jīng)脈沖、光孤子和優(yōu)勢基因的傳播等物理、生物現(xiàn)象都需要非線性偏微分方程(NLPDEs)來描述,其中變系數(shù)偏微分方程比常系數(shù)偏微分方程更具有廣泛的應(yīng)用,因此求解變系數(shù)方程的精確解無論在理論上還是應(yīng)用上都具有更重要的意義.經(jīng)過專家們幾十年的不斷研究,已經(jīng)有大量的文章給出了具體有效的方法求非線性微分方程的精確解,例如,G′/G展開法[1-3]、Riccati方程法[4]、Jocobi橢圓函數(shù)展開法[5]、exp(-Φ(ξ))擴(kuò)展方法[6-9]、廣義的tanh展開法[10]、齊次平衡法[11-13]、經(jīng)典李群方法[14,15]、反散射法[16]和CK直接約化方法[17-20]等.

本文我們將研究以下廣義變系數(shù)Kawachara方程

ut+uux+α(t)u+β(t)uxxx+γ(t)uxxxxx=0,

(1)

其中α(t),β(t),γ(t)是t的函數(shù),u=u(x,t)為未知函數(shù).

Kawachara方程是用于描述粘性流體介質(zhì)中長波的動力學(xué)行為的模型，常出現(xiàn)在具有表面張力的潛水波理論及等離子磁聲波理論.在文獻(xiàn)[21]中作者利用輔助函數(shù)法求得修正的Kawachara方程的精確解;在文獻(xiàn)[22]中作者利用直接代數(shù)法求得Kawachara方程和修正的Kawachara方程的行波解.求解Kawachara方程的精確解比較困難,尤其是求解廣義變系數(shù)Kawachara方程(1),所以研究方程(1)的精確解尤其重要.

本文主要由以下幾部分組成:在第1部分,利用改進(jìn)的CK方法將廣義變系數(shù)方程(1)約化為常系數(shù)方程;在第2部分,運(yùn)用李群方法得到了非線性方程(2)的對稱;在第3部分,對方程進(jìn)行約化、求精確解[23,24];在第4部分,給出了方程的伴隨方程與守恒律[25,26];最后在第5部分,對本文做了一個簡單的總結(jié).

1 Kawachara方程的等價(jià)變換

首先我們將利用改進(jìn)的CK方法將方程(1)變?yōu)槌Ｏ禂?shù)方程

ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx=0，

(2)

其中a,b,c均為常數(shù).

假設(shè)方程(1)有如下形式的解

u(x,t)=A(x,t)+BU(X,T),

(3)

其中X=X(x,t),T=T(x,t)是待定函數(shù),并且在變換{u,x,t}→{U,X,T}下要求U(X,T)滿足方程(2),即

UT+UUX+aU+bUXXX+cUXXXXX=0.

(4)

將方程(2)-(4)代入方程(1),得到關(guān)于U及其偏導(dǎo)數(shù)的決定方程組

(5)

(6)

BXx-Tt=0,

(7)

…

At+AAx+α(t)A+β(t)Axxx+γ(t)Axxxxx=0.

(8)

借助Maple軟件,解決定方程組(5)～(8)

X=(C2x+C4)e-aT+C1x+C3,T=T(t),

(9)

(10)

(11)

(12)

其中T(t)為t的任意光滑函數(shù),C1,C2,C3,C4為任意常數(shù).

由方程(2)可以得到方程(1)的解

(13)

定理1 如果U=U(X,T)是方程(4)的解,則

u(x,t)=A(x,t)+BU(X,T)

是方程(1)的解,其中A,B,X,T由(9)式和(10)式確定.

2 Kawachara方程的對稱

首先,我們考慮一個單參數(shù)李群的無窮小變換

x→x+εξ(x,t,u),

t→t+ετ(x,t,u),

u→u+εη(x,t,u),

其中ε是無窮小參數(shù).上述變換群的向量場可以表示為

(14)

其中ξ(x,t,u),τ(x,t,u),η(x,t,u)為待定函數(shù).如果向量場(14)是方程(2)的李點(diǎn)對稱,則V需要滿足以下條件

Pr(5)V(Δ)|Δ=0=0,

(15)

其中Pr(5)V是V的五階延拓.

由(15)得

ηt+ηux+uηx+aη+bηxxx+cηxxxxx=0,

(16)

其中系數(shù)函數(shù)為

ηt=Dt(η-ξux-τut)+ξutx+τutt,

(17)

ηx=Dx(η-ξux-τut)+ξuxx+τuxt,

(18)

(19)

(20)

其中Dt,Dx為全導(dǎo)算子.將(17)-(20)式代入(16)式,得到關(guān)系ξ(x,t,u),τ(x,t,u),η(x,t,u)的決定方程組,解決定方程組得

ξ=r2e-at+r3,τ=r1,η=-r2ae-at,

(21)

其中ri(i=1,2,3)為任意常數(shù).同時也得到了方程(1)的相似對稱

σ=(r2e-at+r3)ux+r1ut-r2ae-at,

(22)

這樣就得到了方程(2)的所有向量場

(23)

利用Vi(i=1,2,3)得到方程(2)的單參數(shù)群gi(i=1,2,3)為

g1:(x+ε,t,u),g2:(x,t+ε,u),g3:(x+e-atε,t,u-ae-atε),

(24)

其中ε是參數(shù).

定理2如果u=f(x,t)是方程(2)的解,則函數(shù)也是

g1(ε)·f(x,t)=f(x-ε,t),

g2(ε)·f(x,t)=f(x,t-ε),

g3(ε)·f(x,t)=f(x-e-atε,t)-ae-atε.

(25)

3 Kawachara方程的約化方程和精確解

在這一節(jié)中,我們將利用上文求得的對稱對方程(2)進(jìn)行約化,并且應(yīng)用定理1來尋找方程的精確解.

情況1r1=0,r2=0,r3≠0時,則σ=r3ux,可以得到下面的相似變換

ξ=t,

方程(1)的群不變解為u=u(ξ),代入方程(1)中,得到約化后的常微分方程為

f′+af=0,

(26)

從而解得方程(2)的解為

u(x,t)=Ce-aT,

(27)

其中C為任意常數(shù).由方程(13)可知方程(1)的解為

(28)

情況2V2+mV1時，可以得到下面的相似變換

u=f(ξ),ξ=x-mt,

(29)

將(29)式代入方程(2)得到

-mf′+ff′+af+bf?+cf(5)=0，

(30)

其中f′=df/dξ.假設(shè)方程(30)有以下形式的解

(31)

將級數(shù)展開解(31)代入方程(30),得到

(32)

當(dāng)n=0時得到

(33)

一般地,當(dāng)n≥1時得到

(34)

其中ai(i=1,2,3,4)為任意常數(shù),所以方程(30)的解可以表示為

因此,方程(1)的解為

情況3V2+V3時,可以得到下面的相似變換

u=f(ξ)-ax,ξ=x-e-at/a.

(35)

將其式代入方程(2)中得到

cf(5)+f′+bf?-aξf′=0,

(36)

其中f′=df/dξ.

同樣利用上述的方法可以得到

當(dāng)n=0時得到

(38)

一般地,當(dāng)n≥1時得到

(39)

所以方程(36)的解為

因此,方程(1)的解為

4 Kawachara方程的伴隨方程和守恒律

在這一部分，我們會根據(jù)之前所求得的對稱來求方程(2)的伴隨方程和守恒律.方程(1)的伴隨方程為

vt+uvx+av+bvxxx+cvxxxxx=0,

(40)

并且Largrangian記作

L=v(ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx),

(41)

利用Ibragimov的結(jié)論,守恒向量的公式為

根據(jù)Ibragimov給出的結(jié)論,給出向量場的通式

(42)

那么方程(1)的守恒律有下面的式子決定

Dt(C1)+Dx(C2)=0,

(43)

則向量場C=(C1,C2)由下式?jīng)Q定

(44)

(45)

其中W=η-ξ1ut-ξ2ux.

下面我們將分情況討論.

C1=-uxv,

C2=v(ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx)-ux(uv+bvxx+cvxxxx)

+(bvx+cvxxx)uxx-uxxx(bv+cvxx)+cvxuxxxx-cvuxxxxxx.

C1=v(ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx)-utv,C2=-ut(uv+bvxx+cvxxxx)-(bvx+cvxxx)uxt

-uxxt(bv+cvxx)+cvxuxxxt-cvuxxxxxt.

C1=-e-at(a+ux)v,

C2=-e-atv(ut+uux+au+buxxx+cuxxxxx)+(-ae-at-e-atux)(uv+bvxx+cvxxxx)

-e-at(-bvx-cvxxx)uxx-e-atuxxx(bv+cvxx)+ce-atvxuxxxx-ce-atvuxxxxxx.

以上守恒向量C=(C1,C2)包含伴隨方程(40)的任意解v,因此以上守恒向量給出了方程(1)的無窮多個守恒律.

5 結(jié)論

本文利用改進(jìn)CK方法將廣義變系數(shù)Kawachara方程約化為常系數(shù)Kawachara方程,得到了等價(jià)變換.然后利用李群分析得到了常系數(shù)方程的對稱以及約化方程,并利用冪級數(shù)展開法求得了常系數(shù)方程的精確解,進(jìn)而通過等價(jià)變換得到了變系數(shù)方程的解.雖然求解變系數(shù)物理方程比常系數(shù)物理方程具有挑戰(zhàn)性,但是變系數(shù)方程對物理、數(shù)學(xué)等方面有更廣泛的影響力.最后,我們還給出了Kawachara方程的伴隨方程和守恒律.