二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合問題的教學(xué)探索

周志麗

摘要：最近幾年中考題中，二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)與相似三角形結(jié)合的問題常出現(xiàn)，引起了初中數(shù)學(xué)教師的重視，這部分主要涉及數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程聯(lián)系緊密，二次函數(shù)與相似三角形都是教材的重點(diǎn)和難點(diǎn)，因此，筆者對(duì)這兩種重要內(nèi)容的結(jié)合就格外重視，突破學(xué)生的難點(diǎn)不用盲目搞題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生真正掌握解決這類問題的方法和技巧，是筆者近年來執(zhí)教初四數(shù)學(xué)重點(diǎn)研究的課題。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);相似三角形;教學(xué)

中圖分類號(hào)：G634.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2096-3866（2020）16-0162-02

對(duì)于“二次函數(shù)與相似三角形問題結(jié)合”的研究課，筆者通過對(duì)此課程的備課設(shè)計(jì)，并結(jié)合多次教學(xué)實(shí)踐、修改教案、課后反思和學(xué)生訪談工作，使筆者對(duì)此類問題的教學(xué)內(nèi)容層次逐步深化。

一、重視基礎(chǔ)，拓展延伸

筆者從九年級(jí)數(shù)學(xué)課后習(xí)題中找到這樣一道題，如圖1，已知拋物線y=-（x-2）²+1的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C。①試判斷△AOC與△COB是否相似;②若點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，DH垂直于x軸，垂足為H，試判斷Rt△DHA與Rt△COB是否相似？說明理由。

此題屬于相似三角形內(nèi)容中較基本、較典型常見的題型，筆者對(duì)此題的興趣就始于二次函數(shù)的“背景”。于是，在九年級(jí)第二輪復(fù)習(xí)的“相似三角形”的專題課中，筆者把此題作為例題，并進(jìn)行了變式嘗試。

變式一：如圖2： y=-（x-2）²+1，若點(diǎn)M在拋物線上且在x軸上方，過點(diǎn)M作MG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，是否存在M，使得△AMG與△AOC相似。

變式二：如圖3：若點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上且在x軸上方，過點(diǎn)M做x軸的垂線，垂足為點(diǎn)G，是否存在M，使得△AMG與△DCB相似。

授課時(shí)，筆者對(duì)此題進(jìn)行變式主要是想突出二次函數(shù)這個(gè)背景：一是讓學(xué)生在“二次函數(shù)”這個(gè)背景下，通過接觸“兩個(gè)三角形不相似”這種不常見的題型，對(duì)兩個(gè)不相似的已知三角形進(jìn)行有理由的判斷，加深并鞏固對(duì)相似三角形的判定定理的理解;二是在頂點(diǎn)式這個(gè)“二次函數(shù)”背景下，給學(xué)生提供優(yōu)化選擇解這個(gè)一元二次方程方法的平臺(tái)，在求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)出現(xiàn)方程-（x-2）²+1=0，在解這個(gè)一元二次方程時(shí)，可用直接開平方法，也可用因式分解法，當(dāng)然也可把頂點(diǎn)式化為一般式，再去解所得的一般形式的一元二次方程。顯然，如果能用直接開平方法解，可以節(jié)約不少時(shí)間。

在以上設(shè)計(jì)思路中可以看出，筆者當(dāng)時(shí)對(duì)這節(jié)課的認(rèn)識(shí)層次停留在表層，引入背景，只是“為需要背景”而引入背景。雖然想到了要考慮學(xué)生的實(shí)際，但也只是從具體的知識(shí)、具體的方法層面上予以指導(dǎo)。對(duì)于九年級(jí)的大多數(shù)同學(xué)來說，此題的綜合性不強(qiáng)，缺少在“二次函數(shù)”背景下綜合應(yīng)用知識(shí)方面的指導(dǎo)。

二、不斷演變，提煉本質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)中有“會(huì)利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自主進(jìn)行探索和嘗試解決新情境中的數(shù)學(xué)問題”的要求，因此需要加強(qiáng)幾何與代數(shù)的綜合度，讓學(xué)生能體驗(yàn)、接受基本的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。

基于此，再次授課時(shí)，為了滿足不同層次學(xué)生的需求，能把“二次函數(shù)”背景下的相似三角形的綜合問題能更好的解決，同時(shí)，考慮到第二輪復(fù)習(xí)的需要，筆者又在原題的基礎(chǔ)上增加了以下2個(gè)小題：

（3）若點(diǎn)M在拋物線上且在x軸上方，過點(diǎn)M作MC垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，是否存在M，使得△AMG與△AOC相似。

（4）若點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上且在x軸上方，過點(diǎn)M做x軸的垂線，垂足為點(diǎn)G，是否存在點(diǎn)M，使得△AMG與△DCB相似。

把第（3）題的過程簡(jiǎn)單說明一下：

本題涉及相似三角形中數(shù)形結(jié)合、分類討論問題，很容易分析出已知△AOC的兩條直角邊的比是1：3，再對(duì)△AMG的兩條直角邊的比兩種可能情況MG：AG=1：3或MG：AG=3：1進(jìn)行分類討論。第（4）小題，與第（1）小題一樣，也是屬于一個(gè)已知三角形與一個(gè)未知三角形的問題，只要學(xué)生能分析出△BCD是直角三角形，它的兩條直角邊的比是1：3，再類比第（1）小題，就可以很順利地解決第（4）小題。

應(yīng)該說這種認(rèn)識(shí)層次在原先的表層認(rèn)識(shí)層次上有了較大的提升，既考慮到課程標(biāo)準(zhǔn)的表述，提高了對(duì)學(xué)生綜合能力的要求，又注意到對(duì)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想的要求，同時(shí)，兼顧了數(shù)學(xué)中考的現(xiàn)實(shí)要求。

事實(shí)上，大部分同學(xué)都能想到分類討論，但學(xué)生在具體的解題過程中還是遇到了很大的困難——如何用點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來表示兩條直角邊MG和AG的長(zhǎng)。在板書過程中，筆者對(duì)“設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-（a-2）²+1）”一帶而過，課后學(xué)生反映較難理解。由此，可以看出當(dāng)時(shí)筆者的認(rèn)識(shí)層次只能屬于中等層次。

三、深度思考，思維提升

通過對(duì)講解后，筆者也進(jìn)行了反復(fù)的思索：筆者已經(jīng)注意到了學(xué)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)，適當(dāng)提高總復(fù)習(xí)的綜合度，滲透基本的數(shù)學(xué)思想，為什么不少學(xué)生對(duì)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)理解的程度還是不夠？基于此，筆者對(duì)此課程教學(xué)又一新的認(rèn)識(shí)層次要重點(diǎn)，筆者意識(shí)到：將書本的語(yǔ)言自如地使用或轉(zhuǎn)換各種形態(tài)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言了，才能真正將數(shù)學(xué)教育理論的符號(hào)語(yǔ)言融入到數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中去了，才能使學(xué)生真正理解并自如運(yùn)用這些數(shù)學(xué)模型。點(diǎn)的坐標(biāo)是綜合題的立足點(diǎn)（求解析式），又是綜合題的制高點(diǎn)（求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)或存在性探求），求點(diǎn)的坐標(biāo)一般歷經(jīng)下面兩個(gè)關(guān)鍵步驟：（1）定位;（2）計(jì)算。因此，探討如何用點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來表示兩條直角邊MG和AG的長(zhǎng)是本題的難點(diǎn)，而解決這個(gè)難點(diǎn)的突破口就是先要理解點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-（a-2）²+1），于是，筆者在授課中運(yùn)用了“平面上點(diǎn)的位置與點(diǎn)的坐標(biāo)”“函數(shù)圖像上的點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式”等語(yǔ)句。并將此語(yǔ)句運(yùn)用到新的一次教學(xué)過程中，并在黑板上醒目板書：“點(diǎn)的位置——點(diǎn)P（x，y）”、“函數(shù)解析式”點(diǎn)在函數(shù)圖像上-點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式”，有了前期做的這些鋪墊，學(xué)生對(duì)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-（a-2）²+1）就很容易理解了。以下在突破難點(diǎn)邊AG、邊MG等長(zhǎng)度時(shí)，就迎刃而解了：MG的長(zhǎng)即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，而點(diǎn)在x軸的上方，由此可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)就是邊MG的長(zhǎng)，而AG的長(zhǎng)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的差，在教學(xué)中，解決了以上的問題后筆者繼續(xù)追問：“如果其他條件不變，把‘點(diǎn)M在拋物線上且在x軸上方，直接改為‘點(diǎn)M在拋物線上，該題的解法有沒有改變呢？”

這樣的變式更凸現(xiàn)了本題的重點(diǎn)，提高了思維的“質(zhì)”，但關(guān)鍵仍在如何用拋物線上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)來表示邊AG、MG的長(zhǎng)，當(dāng)然這時(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示的難度有所加大，數(shù)學(xué)的能力要求有所提高。

有了這道題目的二次函數(shù)“背景”，就有了類比的基礎(chǔ)與規(guī)范，其他函數(shù)圖像上的點(diǎn)與三角形結(jié)合的問題也一樣。一般說來，這類題目都由圖像上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到三角形中的邊長(zhǎng)的問題，再由邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到三角形的相似問題。甚至可以說，函數(shù)圖像上的點(diǎn)與其他幾何圖像相結(jié)合的問題也一樣，由圖像上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到幾何圖形中的邊，再由邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化幾何圖形的整體，為了滿足一部分?jǐn)?shù)學(xué)愛好者或“吃不飽”的學(xué)生，更好的關(guān)注學(xué)生“發(fā)展”要求，筆者又進(jìn)行變式，布置了課后練習(xí)，繼續(xù)深化課堂內(nèi)容，題目如圖4，拋物線y=-x²+bx+c與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D。（1）求該拋物線的解析式;（2）若該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求四邊形ABDE的面積;（3）△AOB與△BDE是否相似？如果相似，請(qǐng)予以證明;如果不相似，請(qǐng)說明理由。

綜上所述，通過二次函數(shù)背景下的相似三角形問題的探究學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)形結(jié)合和思想、分類討論思想、相似三角形注意尋找不變的量和相等的量，利用幾何定理和性質(zhì)或代數(shù)方法建立方程，在教學(xué)過程中通過教師對(duì)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象數(shù)和形之間內(nèi)在規(guī)律的演繹，促使學(xué)生學(xué)習(xí)此類問題有一種“質(zhì)”的認(rèn)識(shí)，以達(dá)到學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量提高的目標(biāo)，是富有意識(shí)的教學(xué)實(shí)踐。