附合導線角度閉合差計算的多邊形輔助線法

李嘯天，覃超，王旭華

(大連大學 建筑工程學院，遼寧 大連 116622)

1 引 言

一些學者[3～5]通過幾何推導的方法，經(jīng)過各導線點做南北方向輔助線來簡化計算過程，但計算效率仍然較低。本文通過對附合導線作輔助線將其轉(zhuǎn)化為閉合多邊形，則附合導線角度閉合差的計算即為多邊形內(nèi)角和與其理論值之差。本文提出的附合導線角度閉合差計算的多邊形輔助線法避免了傳統(tǒng)方法在推算坐標方位角時要逐點區(qū)分各角為左角還是右角、逐邊分析是否加減180°的判斷過程，減少了計算量，提高了計算效率。實際授課表明，附合導線角度閉合差計算的多邊形輔助線法比傳統(tǒng)方法更容易被學生接受，教學效果良好。

2 附合導線轉(zhuǎn)化為閉合多邊形及其角度閉合差計算

2.1 附合導線轉(zhuǎn)化為閉合多邊形方法

根據(jù)不同的附合導線布設(shè)形式，在其兩已知端點A、D分別作豎直或水平方向的輔助線，再依次連接各邊構(gòu)成閉合多邊形，使所有觀測角均為多邊形的內(nèi)角。需要注意的是，在此過程當中不必區(qū)分各導線點的觀測角是左角還是右角，新構(gòu)成的閉合多邊形除了已有的各觀測角外，還新增加了幾個不含“誤差”的內(nèi)角。

2.2 轉(zhuǎn)化后的角度閉合差計算

圖1～圖8列出了各種形式的附合導線，現(xiàn)以圖1為例說明附合導線角度閉合差計算的輔助線法的應用過程，并與現(xiàn)有測量學教材上附合導線角度閉合差的計算方法及結(jié)果加以比較。

(1)測量學教材中附合導線角度閉合差的計算

這里按推算方向各觀測角應為左角，則各邊坐標方位角推算如下：

αB1=αAB+βB-180°

α12=αB1+β1-180°

α2C=α12+β2-180°

這里，各邊的坐標方位角的計算公式均取“-180°”，是因為其前兩項之和均大于180°。

將以上各式相加，得：

則角度閉合差：

fβ=αAB-αCD+∑β-4×180°

(1)

圖1 附合導線類型一

(2)附合導線角度閉合差計算的多邊形輔助線法

附合導線類型一的特點：自A、D兩個已知端點向上做X軸平行輔助線AF、DE不與其他導線邊相交。如圖1所示，使所有觀測角為內(nèi)角，連接E、F兩點，得閉合多邊形AB12CDEFA。其中：需要觀測的角度個數(shù)n=4，新增角度4個，設(shè)閉合多邊形邊數(shù)為N，則N=n+4=8。

在多邊形中：∠E+∠F=180°，∠A=αAB，∠D=180°-αCD

顯而易見，附合導線角度閉合差即為該多邊形內(nèi)角閉合差，該多邊形角度閉合差為：

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-4×180°

此結(jié)果與式(1)的附合導線角度閉合差fβ的推算公式完全相同。

2.3 對比分析

對比兩種方法的過程和結(jié)果可知，二者均能準確地求出附合導線的角度閉合差，但是教材上所提供的方法需要依次推算各導線邊的坐標方位角，且需逐邊判斷αi+βi與180°的大小關(guān)系，邊數(shù)越多，計算量越大，容易造成計算錯誤。而通過做輔助線，將附合導線角度閉合差轉(zhuǎn)為多邊形內(nèi)角閉合差計算的方法則相對簡便，內(nèi)業(yè)計算較小，提高了工作效率。

2.4 其他類型的附合導線及其多邊形輔助線法

按照圖1類似的方法與過程，可做出其他不同類型的附合導線(圖2～圖8)的多邊形輔助線，并推算出相應的角度閉合差。具體過程不一一詳述。

(1)附合導線類型二。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交，自D點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向右做水平線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGA。

其中：n=4，N=n+5

∠G+∠F=180°，∠E=90°

∠A=αAB，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-n×180°

(2)

圖2 附合導線類型二

(2)附合導線類型三。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交，自D點向上做X軸平行線或向右做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖3 附合導線類型三

其中：n=4，N=n+6

∠E+∠F=180°，∠G+∠H=180°

∠A=αAB，∠D=360°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-n×180°

(3)

(3)附合導線類型四。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向左做水平線，自D點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGA。

圖4 附合導線類型四

其中：n=4，N=n+5

∠E+∠F=180°，∠G=90°，

∠A=αAB-270°，∠D=180°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(4)

(4)附合導線類型五。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線或向左做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖5 附合導線類型五

其中：n=4，N=n+6

∠E+∠F=180°，∠G+∠H=180°

∠A=αAB-180°，∠D=180°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(5)

(5)附合導線類型六。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向左做水平線，自D點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向右做水平線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHA。

圖6 附合導線類型六

其中：n=4，N=n+6

∠E=∠H=90°，∠F+∠G=180°

∠A=αAB-270°，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∑β-(N-2)×180°

=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(6)

(6)附合導線類型七。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線或向左做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點向上做X軸平行線會與其他導線邊相交，需向右做水平線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHIA。

圖7 附合導線類型七

其中：n=4，N=n+7

∠E=90°，∠F+∠G=180°，∠H+∠I=180°

∠A=αAB-180°，∠D=270°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(7)

(7)附合導線類型八。該類導線特點是：自A點向上做X軸平行線或向左做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，自D點向上做X軸平行線或向右做水平線都會與其他導線邊相交，需向下做X軸平行線，構(gòu)成閉合多邊形AB12CDEFGHIJA。

圖8 附合導線類型八

其中：n=4，N=n+8

∠E+∠F=∠G+∠H=∠I+∠J=180°

∠A=αAB-180°，∠D=360°-αCD

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°

(8)

2.5 計算示例

附合導線的坐標方位角及各導線觀測角如圖8所示，前進方向A→D，現(xiàn)使用上述多邊形輔助線法計算該附合導線角度閉合差。該例取自文獻[1]。

圖9 計算示例

過程如下，自A、D兩個已知端點向上做豎直輔助線AF、DE，如圖9所示，使所有觀測角為內(nèi)角，連接E、F兩點，得閉合多邊形AB1234CDEFA。其中：需要觀測的角度個數(shù)n=6，新增角度4個，設(shè)閉合多邊形邊數(shù)為N，則N=n+4=10。

在多邊形中：∠E+∠F=180°，∠A=αAB，∠D=180°-αCD

顯而易見，附合導線角度閉合差即為該多邊形內(nèi)角閉合差，該多邊形角度閉合差為：

fβ=∠A+∠D+∠E+∠F+∑β-(N-2)×180°=αAB-αCD+∑β-n×180°

=237°59′30″-46°45′24″+99°01′00″+167°45′36″+123°11′24″+189°20′36″+179°59′18″+129°27′24″-6×180°

=-36″

3 結(jié) 論

(1)輔助線法將附合導線角度閉合差計算轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和閉合差的計算，不用逐邊分析是否需要加減180°簡化了推算過程，提高了工作效率。

(2)通過對8種類型的附合導線角度閉合差的計算可知，其結(jié)果只有兩種形式：αAB-αCD+∑β-n×180°或αAB-αCD+∑β-(n+2)×180°，區(qū)別僅僅在于180°前的系數(shù)是“n”或者“(n+2)”，且該結(jié)果只與已知邊AB的方位有關(guān)，若過A點向上做X軸平行線不與其他導線邊相交(如圖1、圖4、圖5所示)，則“n”；否則(如圖2、圖3、圖6、圖7、圖8所示)，該系數(shù)為“(n+2)”。