含緩變未知輸入的數(shù)據(jù)自校準濾波方法

傅惠民， 楊海峰， 付越帥， 崔 軼

(北京航空航天大學 小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191)

0 引 言

目前，Kalman濾波(Kalman Filter,KF)已廣泛用于人工智能、在線監(jiān)測、故障診斷、導航與控制等工程領域[1]。眾所周知，Kalman濾波要求狀態(tài)方程和量測方程均精確，其可以有偶然誤差而不能包含系統(tǒng)誤差，但是在工程實際中，由于受到環(huán)境因素、模型和參數(shù)的選取不當、測量設備的不穩(wěn)定性等影響，狀態(tài)方程或量測方程中往往含有未知輸入(系統(tǒng)誤差)，這些未知輸入在濾波過程中會嚴重降低濾波精度[2-4]。如何補償和修正這些未知輸入的影響，進一步提高Kalman濾波精度，是當前濾波領域的研究難點和熱點問題。

為此，人們先后提出：

(1)自適應Kalman濾波方法(Adaptive Kalman Filter)[5]，但是自適應Kalman濾波誤差大，甚至導致濾波發(fā)散；

(2)狀態(tài)擴維估計方法(Augmented-state Estimation)，可通過將未知輸入作為狀態(tài)變量進行擴維估計，這既不準確、又徒增計算工作量[6]；

(3)魯棒兩步Kalman濾波方法(Robust Two-stage Kalman Filter)[7]，其本質(zhì)是僅用不含未知輸入的量測方程進行狀態(tài)估計，但這已不屬于Kalman濾波，因其無法通過狀態(tài)方程和量測方程之間的融合來減小濾波的偶然誤差。

傅惠民等人[8]通過建立相鄰兩次濾波之間未知輸入的縱向聯(lián)系和未知輸入與狀態(tài)變量的橫向聯(lián)系，提出了一種能夠自動消除系統(tǒng)誤差、減小偶然誤差的自識別自校準濾波方法(Self-Recognition Self-Calibration Filtering Methods)，解決了干擾和噪聲引起的未知輸入(系統(tǒng)誤差)問題，有效地提高了濾波精度。本文將進一步針對工程領域遇到的緩慢變化的未知輸入(系統(tǒng)誤差)問題，建立一種含緩變未知輸入的數(shù)據(jù)自校準濾波方法，以簡化計算，便于工程應用，適合邊緣計算。

1 量測自校準濾波方法

1.1 線性量測方程

工程上，含未知輸入的線性量測方程組一般形式為:

Yk=HkXk+dk+Vk,

(1)

式中，Xk為m維狀態(tài)向量；Yk為n維量測向量；dk為n維量測未知輸入(系統(tǒng)誤差)向量；Hk為量測矩陣；Vk是均值為零，協(xié)方差矩陣為Rk的量測噪聲向量，并且滿足：

(2)

式中，E(·)為數(shù)學期望符號，δk, j為δ函數(shù)，當k=j時，δk, j=1，當k≠j時，δk, j=0。

1.2 未知輸入自校準

(3)

1.3 量測自校準濾波

在未知輸入dk自校準估計完成后，可以對量測數(shù)據(jù)進行自校準濾波，基于加權(quán)最小二乘原理進行狀態(tài)估計，可得：

(4)

狀態(tài)估計對應的估計誤差協(xié)方差矩陣為：

(5)

2 量測擴展自校準濾波方法

2.1 非線性量測方程

工程中，含未知輸入的非線性量測方程組一般形式為：

Yk=hk(Xk)+dk+Vk,

(6)

式中，hk(·)為非線性量測函數(shù)；Xk，Yk，dk和Vk的意義與式(1)一致。

2.2 未知輸入自校準

(7)

2.3 量測擴展自校準濾波

Yk=HkXk+Uk+dk+Vk,

(8)

式中，

(9)

(10)

線性化完成后，基于加權(quán)最小二乘原理進行狀態(tài)估計，可得狀態(tài)估計值和估計誤差協(xié)方差矩陣為：

(11)

(12)

3 狀態(tài)方程含未知輸入自校準Kalman濾波方法

3.1 線性系統(tǒng)方程

工程上，狀態(tài)方程含有未知輸入的線性離散系統(tǒng)一般形式為：

Xk=Φk-1Xk-1+bk-1+Wk-1,

(13)

Yk=HkXk+Vk,

(14)

式中，Φk為狀態(tài)矩陣；bk為狀態(tài)方程中的未知輸入；Hk，Xk，Yk的意義與式(1)一致；Wk是協(xié)方差矩陣為Qk的狀態(tài)噪聲向量；Vk是協(xié)方差矩陣為Rk的量測噪聲向量，并且滿足:

(15)

3.2 狀態(tài)未知輸入自校準

(16)

3.3 自校準Kalman濾波

當狀態(tài)方程未知輸入bk-1自校準完成后，可對線性系統(tǒng)進行自校準濾波，計算步驟如下：

(17)

一步預測誤差協(xié)方差矩陣Pk/(k-1)為：

(18)

濾波初始化為：

(19)

(20)

(21)

狀態(tài)估計誤差協(xié)方差矩陣Pk為：

Pk=(I-KkHk)Pk/(k-1),

(22)

式中，Kk為濾波增益矩陣，由下式計算得到：

(23)

4 狀態(tài)方程含未知輸入擴展自校準Kalman濾波方法

4.1 非線性系統(tǒng)方程

工程上，狀態(tài)方程含有未知輸入的非線性離散系統(tǒng)一般形式為：

Xk=fk-1(Xk-1)+bk-1+Wk-1,

(24)

Yk=hk(Xk)+Vk,

(25)

式中，fk(·)和hk(·)均為非線性向量函數(shù)；Xk，Yk，bk，Wk，Vk定義與式(13)和(14)相同。

4.2 狀態(tài)未知輸入自校準

(26)

4.3 擴展自校準Kalman濾波

當狀態(tài)方程未知輸入bk-1自校準完成后，可按如下步驟進行非線性系統(tǒng)自校準濾波：

(1)一步自校準預測。非線性系統(tǒng)一步自校準預測為：

(27)

(28)

濾波初始化仍由式(19)和式(20)給出。

(29)

(30)

5 量測方程含未知輸入自校準Kalman濾波方法

5.1 線性系統(tǒng)方程

工程上，量測方程含有未知輸入的線性離散系統(tǒng)一般形式為：

Xk=Φk-1Xk-1+Wk-1,

(31)

Yk=HkXk+dk+Vk,

(32)

式中，Φk,Hk，Xk，Yk，Wk，Vk的意義與式(13)和(14)一致，dk的意義與式(1)一致。

5.2 量測未知輸入自校準

5.3 自校準Kalman濾波

當量測方程未知輸入dk自校準完成后，可對線性系統(tǒng)進行自校準濾波，計算步驟如下：

(33)

一步預測誤差協(xié)方差矩陣Pk/(k-1)由式(18)計算得到。

濾波初始化由式(19)和式(20)給出。

(34)

狀態(tài)估計誤差協(xié)方差矩陣Pk和濾波增益矩陣Kk分別由式(22)和(23)計算得到。

6 量測方程含未知輸入擴展自校準Kalman濾波方法6.1 非線性系統(tǒng)方程

工程上，量測方程含有未知輸入的非線性離散系統(tǒng)一般形式為:

Xk=fk-1(Xk-1)+Wk-1,

(35)

Yk=hk(Xk)+dk+Vk,

(36)

式中，fk(·)，hk(·)，Xk，Yk，Wk，Vk意義與式(24)和(25)相同，dk的意義與式(1)一致。

6.2 量測未知輸入自校準

6.3 擴展自校準Kalman濾波

當量測方程未知輸入dk自校準完成后，可按如下步驟進行非線性系統(tǒng)自校準濾波：

(1)一步預測。非線性系統(tǒng)一步預測為:

(37)

一步預測誤差協(xié)方差矩陣Pk/(k-1)由式(18)給出，其中Φk-1仍由式(28)計算。

濾波初始化仍由式(19)和式(20)給出。

(38)

狀態(tài)估計誤差協(xié)方差矩陣Pk和濾波增益矩陣Kk分別由式(22)和式(23)計算，其中Hk仍由式(30)計算。

7 雙未知輸入自校準Kalman濾波方法

7.1 線性系統(tǒng)方程

工程上，狀態(tài)方程和量測方程均含有未知輸入的線性離散系統(tǒng)一般形式為:

Xk=Φk-1Xk-1+bk-1+Wk-1,

(39)

Yk=HkXk+dk+Vk,

(40)

式中，Φk,Hk,Xk，Yk，bk，Wk，Vk的意義與式(13)和(14)一致，dk的意義與式(1)一致。

7.2 雙未知輸入自校準

7.3 自校準Kalman濾波

當狀態(tài)方程未知輸入bk-1和量測方程未知輸入dk自校準完成后，可對線性系統(tǒng)進行自校準濾波，計算步驟如下：

濾波初始化由式(19)和式(20)給出。

8 雙未知輸入擴展自校準Kalman濾波方法

8.1 非線性系統(tǒng)方程

工程上，狀態(tài)方程和量測方程中均含有未知輸入的非線性離散系統(tǒng)一般形式為:

Xk=fk-1(Xk-1)+bk-1+Wk-1,

(41)

Yk=hk(Xk)+dk+Vk,

(42)

式中，fk(·)，hk(·)，Xk，Yk，bk，Wk，Vk意義與式(24)和(25)相同，dk的意義與式(1)一致。

8.2 雙未知輸入自校準

8.3 擴展自校準Kalman濾波

當雙未知輸入bk-1和dk自校準完成后，可按如下步驟進行非線性系統(tǒng)自校準濾波：

濾波初始化仍由式(19)和式(20)給出。

9 仿真算例

考慮如下的線性系統(tǒng):

(43)

狀態(tài)初值X0=1，wk和vk分別對應方差Qk=1和Rk=9，狀態(tài)方程未知輸入bk-1的取值為：

bk-1=1.2+0.01(k-1).

(44)

圖1 均方根誤差比較

表1 均方根誤差均值比較

可以看到，當狀態(tài)方程受到未知輸入影響時，本文方法可以對其進行估計和補償，其濾波精度比魯棒兩步Kalman濾波方法提高了22%，比線性Kalman濾波方法提高了47%，比自適應Kalman濾波方法提高了59%。

10 結(jié)束語

(1)由于工程實際中存在干擾和噪聲，采集的信號往往含有緩慢變化的未知輸入(系統(tǒng)誤差)，Kalman濾波方法能夠有效地減小偶然誤差，但無法解決系統(tǒng)誤差問題。本文方法則既能消除系統(tǒng)誤差，又能減小偶然誤差。

(2)量測自校準濾波方法和量測擴展自校準濾波方法，能夠自動對量測數(shù)據(jù)中事先無法校準的系統(tǒng)誤差進行估計、補償和修正，從而減小系統(tǒng)誤差的影響。

(3)狀態(tài)方程含未知輸入自校準Kalman濾波、量測方程含未知輸入自校準Kalman濾波、狀態(tài)方程和量測方程均含有未知輸入的自校準Kalman濾波等方法，則能夠自動對狀態(tài)方程或量測方程中的未知輸入進行估計、補償和修正，從而提高濾波精度。

(4)理論分析、實例計算和仿真驗證表明，本文方法能夠?qū)徛兓奈粗斎脒M行補償，消除系統(tǒng)誤差，并通過數(shù)據(jù)融合減小偶然誤差，比傳統(tǒng)方法具有更高的濾波精度。并且計算簡單，便于邊緣計算和工程應用。

(5)對于工程實際中不知道有沒有未知輸入，但如果有的話必為緩慢變化的未知輸入的情況，可以先采用文獻[8]中自識別方法進行判斷，然后再采用本文方法濾波。