泡沫覆蓋不規(guī)則海面的非均勻空-水信道量子密鑰分發(fā)

王 瀲，周媛媛*，周學(xué)軍，陳 霄

(1.中國人民解放軍海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430000；2.中國人民解放軍軍事科學(xué)研究院 戰(zhàn)爭研究院 北京 100091)

1 引 言

針對(duì)傳統(tǒng)對(duì)潛通信方式在傳輸和安全方面存在局限性的問題[1]，2011年，Marco Lanzagorta[2]提出在空-水間建立經(jīng)典和量子兩條光信道的設(shè)想，經(jīng)典信道用來傳輸信息，量子信道用來實(shí)現(xiàn)量子密鑰分發(fā)(Quantum Key Distribution,QKD)，以保證經(jīng)典信道通信的無條件安全[3]。至此，基于空-水信道的QKD才逐漸登上舞臺(tái)?？?水信道是由大氣、空-水界面(海面)和海水組成的混合信道。由于空-水QKD常以光量子的偏振態(tài)承載信息，因此信道介質(zhì)(水、大氣及界面)會(huì)對(duì)偏振態(tài)產(chǎn)生吸收和散射等消光效應(yīng)，從而導(dǎo)致能量損耗，在一定程度上影響了QKD的傳輸性能，其中粒子散射更可能會(huì)改變偏振態(tài)傳播路徑，或是造成偏振態(tài)的偏振劣化，引起誤碼。

縱觀QKD的發(fā)展歷程可見，其理論和實(shí)驗(yàn)研究都取得了顯著成就，但基本都是基于光纖信道[4-7]和自由空間(大氣)[8-11]進(jìn)行研究的，即均勻或類似均勻的介質(zhì)，而基于空-水信道的QKD研究卻鮮有報(bào)道。目前的研究主要是以空-水經(jīng)典激光通信為研究對(duì)象，關(guān)注于光束的時(shí)間擴(kuò)展、空間和角度分布、能量變化、光斑形狀等[12-14]，未深入到光量子范疇。而涉及空-水QKD的研究還只是基于理想條件或單一信道因素展開。周飛等僅考慮理想平靜的空-水界面來分析不同介質(zhì)間的QKD性能[15]，但實(shí)際海面總處于隨機(jī)波動(dòng)狀態(tài)。Marco Lanzagorta 2012年驗(yàn)證了均勻海水中實(shí)現(xiàn)QKD的理論可行性[2,16]。之后，顧永建團(tuán)隊(duì)分析了均勻海水信道中的單光子傳輸特性和QKD誤碼率[17-18]。2017年，金賢敏團(tuán)隊(duì)完成了全球首個(gè)海水量子實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了光子偏振態(tài)在海水中仍可維持其量子特性[19]，為空-水QKD研究奠定了基礎(chǔ)。然而，由于空-水信道結(jié)構(gòu)組成復(fù)雜，光學(xué)特性多變，應(yīng)用于水下QKD研究的均勻單層介質(zhì)模型已不適用[2,16-18]。此外，上述QKD研究都只是單獨(dú)針對(duì)空-水信道中的某一部分展開的，未涉及完整的空-水信道建模及整體空-水QKD性能分析，因此建立更符合真實(shí)環(huán)境的空-水信道整體模型，對(duì)光量子的吸收、散射及空-水QKD傳輸性能進(jìn)行系統(tǒng)分析有著重要意義。

本文綜合考慮覆蓋泡沫的不規(guī)則海面、空-水信道的復(fù)雜多變性和量子偏振態(tài)連續(xù)經(jīng)受多重散射過程，將離散泡沫粒子體散射與不規(guī)則海面折射作用相結(jié)合，并對(duì)實(shí)際環(huán)境下的空-水信道作垂直分層處理，建立非均勻空-水信道整體復(fù)合模型。據(jù)此進(jìn)一步完善空-水QKD系統(tǒng)量子誤碼率理論模型，并采用偏振矢量蒙特卡羅算法模擬，對(duì)非均勻空-水信道光量子傳輸性能、非均勻空-水信道QKD的整體傳輸性能進(jìn)行數(shù)值仿真與系統(tǒng)分析，以驗(yàn)證復(fù)雜空-水信道實(shí)施QKD的可行性，為未來實(shí)現(xiàn)空-水一體的量子通信鏈路提供參考。

2 非均勻空-水信道模型構(gòu)建與分析

對(duì)空-水QKD而言，光信號(hào)傳輸要穿過大氣、空-水界面(海面)及海水共同構(gòu)成的混合信道。而實(shí)際大氣和海水信道為非均勻介質(zhì)，其結(jié)構(gòu)組成復(fù)雜多變，空-水界面受風(fēng)、潮汐等因素影響會(huì)出現(xiàn)高低不等、長短不齊的波動(dòng)，造成界面斜率不規(guī)則變化，并會(huì)不同程度地被泡沫覆蓋，這些都將對(duì)空-水QKD信號(hào)的傳輸產(chǎn)生影響。因此為分析空-水QKD下行鏈路的傳輸性能，首先要構(gòu)建更符合實(shí)際情況的非均勻信道復(fù)合模型。

2.1 “泡沫-不規(guī)則海面”空-水界面模型

空-水界面是空-水信道中最為復(fù)雜的部分。實(shí)際海面在潮汐、風(fēng)暴潮、海嘯及海浪的作用下呈現(xiàn)出不規(guī)則波動(dòng)狀態(tài)。由于潮汐、風(fēng)暴潮和海嘯產(chǎn)生的波長遠(yuǎn)大于QKD光信號(hào)的波長，故忽略它們的影響。海浪主要由海風(fēng)引起，在風(fēng)速影響下破碎波會(huì)產(chǎn)生泡沫覆蓋上層海面，風(fēng)速是影響空-水QKD光量子傳輸?shù)囊粋€(gè)主要因素[20]。由此，將離散泡沫粒子的體散射與實(shí)際不規(guī)則海面相結(jié)合，建立風(fēng)驅(qū)隨機(jī)波動(dòng)海面覆蓋水氣泡層的“泡沫-不規(guī)則海面”的“體-面”復(fù)合模型，如圖1所示，假設(shè)初始光束以α0角度入射，先與泡沫層(厚度為d)的泡沫粒子進(jìn)行一次或多次碰撞，發(fā)生散射、吸收、移動(dòng)后，存活的光子經(jīng)過不規(guī)則海面，在此處發(fā)生反射和折射后再射入海水信道，并由QKD的水下探測(cè)器接收。

圖1 “泡沫-不規(guī)則海面”模型 Fig.1 Model of “foam-irregular sea surface”

由于海面泡沫主要由水氣泡組成，以往的球形粒子模型已不適用，因此將泡沫等效為外層水膜、內(nèi)層空氣核的球形分層模型，如圖2所示。其中a為內(nèi)半徑，b為外半徑，粒徑分布滿足伽瑪分布[21]。根據(jù)已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，海面泡沫的數(shù)量分布與風(fēng)速相關(guān)，單位體積內(nèi)泡沫粒子數(shù)n0可表示為[22-23]

(1)

式中，fs為體積占空比，可表示為

(2)

式中，V19.5為距離海面19.5 m處的風(fēng)速。粒子數(shù)與粒徑分布共同決定泡沫粒子的散射和衰減系數(shù)。

圖2 泡沫粒子結(jié)構(gòu) Fig.2 Structure of foam particle

光束在穿過泡沫層后將到達(dá)海面，發(fā)生反射和折射作用。事實(shí)上，光滑平靜的海面并不存在，實(shí)際海面受海風(fēng)影響總處于不規(guī)則變化狀態(tài)，這必定會(huì)引起界面法線的偏離，從而改變?nèi)肷涔饩€的傳播方向。如圖3所示，α0為入射光相對(duì)于平靜海面的入射角，α1、α2為不規(guī)則海面的實(shí)際入射角和折射角，β為實(shí)際不規(guī)則海面引起的法線偏離角，即法線方向與z軸的夾角，稱為俯仰角，且有α0,α1,α2,β∈[0,π/2]。反射光束不在水下探測(cè)器的探測(cè)范圍，故將其忽略。

在海風(fēng)作用下，不規(guī)則海面雖具有隨機(jī)性，但也遵循一定規(guī)律。Cox和Munk基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，給出了一定風(fēng)速下海面法線俯仰角的經(jīng)驗(yàn)歸一化概率密度公式[24]，為

(3)

圖3 不規(guī)則海面的光束傳輸示意圖 Fig.3 Diagram of beam propagation for irregular sea surface

式中，κ2=0.003+0.005 12v，v為風(fēng)速(m/s)。對(duì)概率密度進(jìn)行采樣，可得相應(yīng)的俯仰角為

(4)

式中隨機(jī)數(shù)ζ∈(0,1]。

由此可知，不規(guī)則海面的實(shí)際入射角為α1=|α0±β|，再結(jié)合Snell定理求得折射角α2[25]。根據(jù)Fresnel公式可得，不規(guī)則海面的透射率為[26]:

(5)

同時(shí)，泡沫粒子也會(huì)對(duì)實(shí)際海面的透射率造成影響，且與海洋風(fēng)速v有關(guān)，有

(6)

因此，“泡沫-不規(guī)則海面”的總透射率為

T=T1T2.

(7)

此外，入射光穿越“泡沫-不規(guī)則海面”后，其偏振態(tài)會(huì)發(fā)生改變，使空-水QKD性能受到影響。光束經(jīng)過大氣先到達(dá)海面泡沫層，與泡沫粒子相互作用發(fā)生散射，從而導(dǎo)致承載信息的光子基矢偏振態(tài)發(fā)生φm角度的偏轉(zhuǎn)。隨后再射入不規(guī)則海面，由于此界面折射光路沒有位相變化，故光子偏振態(tài)c1|p〉+c2|s〉(c1、c2為復(fù)數(shù))在穿過不規(guī)則海面后轉(zhuǎn)變?yōu)閏1tp|p〉+c2ts|s〉。因此，光子穿越“泡沫-不規(guī)則海面”的整個(gè)過程中，其偏振態(tài)的最終偏轉(zhuǎn)角可表示為:

(8)

式中，tp和ts為光束水平分量和垂直分量的振幅透射率。

可見，“泡沫-不規(guī)則海面”對(duì)光量子的影響主要表現(xiàn)在能量衰減和光量子偏振態(tài)的劣化，進(jìn)而影響空-水QKD的性能。

2.2 大氣/海水信道分層模型

大氣由氣體分子、水汽、漂浮的固液態(tài)氣溶膠等雜質(zhì)粒子混合組成。海水則由水分子、溶解物、懸浮顆粒和種類繁多的有機(jī)物等構(gòu)成，其對(duì)光量子傳輸?shù)挠绊懸h(yuǎn)大于大氣信道。實(shí)際上，大氣和海水信道中的各類顆粒物具有隨機(jī)性和時(shí)變性，導(dǎo)致信道中不同位置的固有光學(xué)特性各不相同，從而對(duì)光量子的傳輸產(chǎn)生不同的影響效應(yīng)。因此需構(gòu)建符合實(shí)際環(huán)境的大氣/海水信道分層模型。

考慮到除藍(lán)綠波段(450～550 nm)外，其他波段的光束在水下的衰減太大[27]，空-水QKD選用處于藍(lán)綠波段的光束來傳輸信息。根據(jù)大氣和海水信道在藍(lán)綠窗口內(nèi)的光學(xué)特性[28-29]，對(duì)大氣/海水信道在垂直方向上作分層處理，以較小尺度范圍為一層均勻介質(zhì)，且此單層介質(zhì)(子層)內(nèi)的粒子等效為大小、性質(zhì)均相同的球形實(shí)心粒子，即基于高度分層的大氣信道模型，每1 km為一層且在50 km高度以上視作真空環(huán)境，不影響光子傳輸[28]；基于葉綠素濃度的深度分層海水信道模型，每1 m深度為一層，每層都是密度均勻、穩(wěn)定的信道[30]。如圖4所示，光子在多層大氣/海水信道中傳輸會(huì)與其中的一個(gè)粒子碰撞，產(chǎn)生散射，從而改變光子的傳輸方向和偏振狀態(tài)，而后又碰到下一個(gè)散射粒子。

圖4 多層大氣/海水信道模型的光傳輸圖示 Fig.4 Schematic diagram of beam propagation in the multilayer atmospheric/seawater channel model

假設(shè)光子先在第i層的p0處發(fā)生散射，經(jīng)過j個(gè)子層邊界后碰撞下一個(gè)粒子，在第(i+j)層內(nèi)的p1處被散射。光子在第i層和第(i+j)層的傳輸距離分別為t和s，而在穿過(j-1)個(gè)子層內(nèi)有相同的傳輸距離r。同時(shí)由于光子穿越了不同子層邊界，各子層的各項(xiàng)物理參數(shù)不同，如第k層的消光系數(shù)記為αk，使得光子散射步長發(fā)生變化，因此簡單的隨機(jī)取樣法已不再適用于多層信道模型。

為解決這一問題，下面對(duì)該多層信道的光子傳輸進(jìn)行詳細(xì)分析。由Lambert-Beer定理可知，光子透射率為

(9)

式中，I和I0分別表示光子散射前后的光強(qiáng)；l為光子散射步長；α為信道消光系數(shù)。

光子在p0處散射后的透射率可表示為:

τ=τiτi+1…τi+j-1τi+j,

(10)

式中，τi為第i層的透射率。

由此可得，

(11)

而后，結(jié)合迭代法計(jì)算光子單次散射后的總步長l。假定p0處的坐標(biāo)為(x,y,z)，光子散射后的傳輸方向?yàn)閡=(ux,uy,uz)，可分3種情況討論其散射步長：

(1)當(dāng)uz>0時(shí)，光子發(fā)生前向散射，可求出:

(12)

若s>r，令i=i+1，再進(jìn)行下一輪迭代運(yùn)算。反之，若s≤r，則可知此次光子散射步長為

l=t+(i-1)r+s,

(13)

(2)當(dāng)uz=0時(shí)，散射后光子的運(yùn)動(dòng)方向與z軸垂直，故光子一直位于第i層信道內(nèi)，其步長為:

(14)

(3)當(dāng)uz<0時(shí)，發(fā)生后向散射，式(11)和(12)應(yīng)改寫為:

(15)

(16)

此外，如果下一次散射仍發(fā)生在第i層信道中，即p1仍位于第i層，那么利用單層大氣/海水信道模型處理，即運(yùn)用式(13)即可求出步長。

3 非均勻空-水信道傳輸性能分析

3.1 非均勻空-水信道的光子散射

空-水QKD利用光子的偏振態(tài)實(shí)現(xiàn)信息傳輸，因此可用Stokes矢量來表示光量子所有偏振信息。而光子在空-水混合信道中傳輸時(shí)，存在的吸收、散射和折射等作用會(huì)改變其偏振狀態(tài)、傳輸方向和振幅等，進(jìn)而影響QKD信號(hào)的接收。為研究空-水QKD的傳輸性能，在建立的非均勻空-水信道復(fù)合模型的基礎(chǔ)上，綜合考慮Mie散射和Rayleigh散射的影響，采用偏振矢量蒙特卡羅模擬，以推導(dǎo)出光子穿過空-水信道的Stokes矢量。

假設(shè)入射光子的初始偏振態(tài)為S0=(I0,Q0,U0,V0)T，經(jīng)單次散射后，偏振態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)镾1=MS0，M為穆勒(Mueller)矩陣，是關(guān)于散射角θ的函數(shù)，表示與信道粒子碰撞發(fā)生散射。在空-水信道中，光子散射主要考慮Mie散射和Rayleigh散射。由于大氣和海水中所含各類顆粒物以及海面泡沫粒子的尺寸分布大于光波長，因此根據(jù)Mie散射理論，M可簡化為

(17)

式中，矩陣各元素m11(θ)、m12(θ)、m33(θ)、m34(θ)可由散射振幅函數(shù)S1和S2求出。將顆粒物等效為各向同性的球形實(shí)心粒子，其Mie散射系數(shù)可表示為:

(18)

(19)

式中，r表示半徑，jn和hn分別表示第一類Bessel球函數(shù)和半整數(shù)階第二類Hankel函數(shù)。泡沫粒子看作空心分層球形粒子，其Mie散射系數(shù)為:

(20)

(21)

式中An(ζ,χ)，Bn(ζ,χ)已由文獻(xiàn)[31-32]給出，參量σ=kb，ζ=kbb,χ=kaa，kb和ka分別為殼、核波數(shù)，yn(ζ)為Neumann函數(shù)。

而對(duì)于大氣和海水分子，其尺寸分布遠(yuǎn)小于光波長，故光子與之發(fā)生Rayleigh散射，M改寫為:

(22)

為了得到散射后的Stokes矢量，必須先獲得光子的散射角和方位角。以往通常由Henyey-Greenstein(HG)函數(shù)確定散射角，由[0,2π]內(nèi)均勻抽樣法獲得方位角[33]。與之相比，本文采用偏振矢量蒙特卡羅算法，可同時(shí)獲得散射角和方位角，其本質(zhì)優(yōu)勢(shì)在于這兩個(gè)角度是由基于聯(lián)合概率密度函數(shù)的“舍選抽樣法”來確定的，散射相位函數(shù)表示為:

ρ(θ,φ)=m11(θ)I+m12(θ)·

[Qcos(2φ)+Usin(2φ)] .

(23)

同時(shí)，由于空-水混合信道的組成成分較為復(fù)雜，懸浮粒子大小不一，故需采用隨機(jī)取樣法來判斷大氣/海水中各次的散射類型。在每一個(gè)子層內(nèi)發(fā)生Mie散射的概率為

(24)

ρ(θ,φ)=(1+cos2θ)I-sin2θ×

[Qcos(2φ)+Usin(2φ)] .

(25)

3.2 非均勻空-水信道的光子傳輸

在空-水QKD信號(hào)下行傳輸中，光子依次經(jīng)過大氣、空-水界面和海水介質(zhì)，與介質(zhì)中的各類分子、懸浮粒子及海面泡沫等發(fā)生一次或多次碰撞，產(chǎn)生吸收、散射、移動(dòng)，在不規(guī)則海面處發(fā)生折射作用后射入海水中，最后由QKD系統(tǒng)的水下探測(cè)器接收，如圖5所示。

圖5 空-水信道光傳輸示意圖 Fig.5 Diagram of beam propagation in the air-water channel

由于大氣信道QKD研究較為成熟，且為了簡化分析，重點(diǎn)突出實(shí)際海面和海水介質(zhì)對(duì)QKD的影響，設(shè)定發(fā)送端位于干潔大氣條件下的低空機(jī)載平臺(tái)(此范圍內(nèi)基于高度分層的大氣信道模型的光學(xué)特性參數(shù)為固定值)，因此光子經(jīng)過此段大氣信道后，僅發(fā)生衰減，傳輸方向仍保持不變。假設(shè)光束初始入射角為θ0，方向角為φ0，光束穿過大氣到達(dá)“泡沫-不規(guī)則海面”，經(jīng)與泡沫粒子的m次散射后，射入不規(guī)則海面，此時(shí)的Stokes矢量為

Sm=R(γm)M(θm)R(φm)…

R(γ1)M(θ1)R(φ1)R(φ0)S,

(26)

式中,R(γi)和R(φi)為關(guān)于角度γi或φi的旋轉(zhuǎn)矩陣，γi為第i次散射后Stokes矢量由散射面轉(zhuǎn)到參考面的夾角，φi和θi為第i次散射的方向角和散射角。

經(jīng)過整個(gè)泡沫層m次散射后，最終光子偏振變化的偏轉(zhuǎn)角為

(27)

式中，S0=R(φ0)S。光子在最后一次散射后的傳輸方向?yàn)镈m=(uxm,uym,uzm)T，其中

(28)

(29)

式中，Dm-1=(uxm-1,uym-1,uzm-1)T為此次散射前光子的傳輸方向。

因此，光子穿過泡沫層后，射入不規(guī)則海面的入射角為:

(30)

式中，Z=(0,0,1)T。

同時(shí)，由于實(shí)際不規(guī)則海面引起界面法線偏離，因此光子穿過不規(guī)則海面后，其傳輸方向和偏振狀態(tài)都會(huì)發(fā)生改變，Stokes矢量轉(zhuǎn)變?yōu)?

(31)

式中，T為一個(gè)變換矩陣，表示光子穿越空-水界面引起的偏振態(tài)變化可表示為:

(32)

在經(jīng)過整個(gè)空-水信道后，光子偏振變化的最終偏轉(zhuǎn)角為:

(33)

此外，光子到達(dá)接收端由水下探測(cè)器測(cè)量時(shí)，其偏振態(tài)的改變會(huì)導(dǎo)致誤碼的出現(xiàn)，從而引入偏振誤碼率，可表示為:

(34)

4 非均勻空-水信道的量子密鑰分發(fā)

量子誤碼率(Quantum Bit Error Rate,QBER)作為評(píng)估QKD系統(tǒng)的一個(gè)重要指標(biāo)，對(duì)空-水QKD系統(tǒng)來說，其誤碼的產(chǎn)生與環(huán)境背景光噪聲、散射噪聲、探測(cè)器暗計(jì)數(shù)及探測(cè)效率等有關(guān)?；谏瞎?jié)建立的非均勻空-水信道模型，進(jìn)一步完善文獻(xiàn)[2]中QBER公式，可推出該空-水QKD系統(tǒng)QBER表達(dá)式為:

(35)

(36)

由文獻(xiàn)[34]可知，該系統(tǒng)Y1下界的通用計(jì)算公式為

(37)

(38)

且

(39)

其中，

(40)

(41)

(42)

5 仿真結(jié)果與分析

由于空-水信道的結(jié)構(gòu)組成復(fù)雜、多變，且存在隨機(jī)分布的各類顆粒物質(zhì)，導(dǎo)致光子在其中傳輸時(shí)產(chǎn)生的散射、吸收和移動(dòng)是不確定的，因此本文利用偏振矢量蒙特卡羅算法對(duì)非均勻空-水信道模型下行鏈路的量子密鑰分發(fā)進(jìn)行仿真分析。為便于分析，本文數(shù)值仿真中假設(shè)發(fā)送端位于100 m高度的低空機(jī)載平臺(tái)，對(duì)應(yīng)的衰減系數(shù)為1.699×10-4m-1，以便于對(duì)不同海洋環(huán)境下的空-水QKD系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。仿真中泡沫粒子平均外半徑取250 μm，水膜平均厚度為20 μm，泡沫層厚度取2 cm，采用Jerlov 5種水體類型中的JWT I(清澈)、JWT IB(中等渾濁)和JWT II(渾濁)型海水進(jìn)行仿真分析，其他主要仿真參數(shù)如表1所示[2,34]。

表1 主要仿真參數(shù)設(shè)置

圖6表示基于本文建立的非均勻空-水信道復(fù)合模型，在發(fā)射光子數(shù)為106時(shí)，不同海水類型條件下，水下探測(cè)器接收到的光子數(shù)與水下傳輸距離的關(guān)系?？梢钥闯觯瑹o論處于哪種海水類型，隨著水下傳輸距離的增加，接收到的光子數(shù)量都在不斷減少。對(duì)于不同類型的海水，其有效傳輸距離也不同，在JWT IB和II型海水中，光衰減(吸收和散射)較為嚴(yán)重，有效傳輸距離僅約為31 m和19 m，若超過這一范圍，探測(cè)器幾乎不能再探測(cè)到信號(hào)光子，因此為確保QKD的有效傳輸距離，后續(xù)研究中主要考慮JWT I型海水中QKD光信號(hào)的傳輸，且潛艇主要航行于此類海域[2]。同時(shí)由于衰減(吸收和散射)的存在，JWT I型海水中的QKD水下傳輸距離也限制在了百米量級(jí)，但這仍可滿足潛艇和水下航行器100 m安全潛深的要求。

圖6 不同海水中，光衰減隨傳輸距離的變化 Fig.6 Light attenuation varies with transmission distance in different sea waters

圖7表示考慮JWT I型海水，光子經(jīng)過非均勻空-水信道到達(dá)水下探測(cè)器時(shí)，其基矢偏振態(tài)的退偏比和保真度與水下傳輸距離的關(guān)系。由于光子受信道折射和散射作用影響，其偏振態(tài)會(huì)發(fā)生改變，從而造成誤碼率增加，因此利用退偏比和保真度從量子角度衡量偏振變化前后的相似度。可以看出，風(fēng)速增大會(huì)導(dǎo)致光子退偏比的增大和保真度的減小。當(dāng)風(fēng)速由0 m/s增至40 m/s時(shí)，光子射入海水的退偏比由0.067增加到0.156，保真度則由0.983減小到0.96。這主要是因?yàn)轱L(fēng)速的增大使得“泡沫-不規(guī)則海面”所含泡沫粒子增多，散射系數(shù)和隨機(jī)起伏程度增大，導(dǎo)致散射次數(shù)和實(shí)際法線的偏離程度增大，進(jìn)而影響光子的偏振態(tài)。此外，隨著水下傳輸距離的增加，光子的退偏比和保真度分別呈逐漸增大和減小趨勢(shì)，因?yàn)樵贘WT I型清澈海水中同樣存在光子的吸收和散射作用，只是此類海水的散射系數(shù)較小，故對(duì)光子偏振態(tài)的影響較小，但在100～130 m范圍內(nèi)該趨勢(shì)顯著增大，這是由于此范圍內(nèi)海水散射系數(shù)驟然增加所致。

圖7 不同風(fēng)速下的光子退偏比和保真度 Fig.7 Depolarization ratio and fidelity of the photon at different wind speeds

圖8 不同風(fēng)速下的偏振誤碼率 Fig.8 Polarization error rate at different wind speeds

圖8表示考慮JWT I型海水，經(jīng)過非均勻空-水信道后，到達(dá)水下探測(cè)器的光子偏振誤碼率與水下傳輸距離的關(guān)系。可以看出，偏振誤碼率隨水下傳輸距離的增大而增大，這是因?yàn)樗聜鬏斁嚯x的增加使光子與海水中各類顆粒物質(zhì)的碰撞幾率增加，導(dǎo)致光子的散射次數(shù)增加，從而加劇光子偏振態(tài)的變化程度，使光子擊中錯(cuò)誤檢測(cè)器的概率增大；其次，偏振誤碼率的上升總體較為緩慢，但在100～130 m深度范圍內(nèi)會(huì)驟然增大，這主要是由實(shí)際海水介質(zhì)的非均勻性導(dǎo)致的，其散射系數(shù)在此范圍內(nèi)急劇增大到一個(gè)峰值再下降，而散射系數(shù)的增大必定會(huì)加大光子的退偏程度，使偏振誤碼率上升；再者，海面風(fēng)速的增大也會(huì)引入更大的偏振誤碼率。由圖8可見，在水下傳輸距離為0 m時(shí)就已產(chǎn)生偏振誤碼率，這是因?yàn)楣庾釉谏淙牒Ｋ按┻^“泡沫-不規(guī)則海面”會(huì)發(fā)生散射?？梢姡Ｃ媾菽?、風(fēng)速及海水中的雜質(zhì)粒子都會(huì)給系統(tǒng)帶來偏振誤碼，但清澈海水引入的偏振誤碼率較小，尤其在100 m深度以下，明顯小于“泡沫-不規(guī)則海面”引入的偏振誤碼率。

圖9 不同風(fēng)速下的QBER Fig.9 QBERs at different wind speeds

圖9(彩圖見期刊電子版)表示考慮JWT I型海水且平均光子數(shù)取0.1，不同海面風(fēng)速(0 m/s無風(fēng)，5 m/s微風(fēng)，10 m/s勁風(fēng)，20 m/s大風(fēng)，40 m/s暴風(fēng))條件下，非均勻空-水信道QKD系統(tǒng)量子誤碼率QBER與水下傳輸距離的關(guān)系?？梢钥闯?，隨著傳輸距離增加，QBER會(huì)逐漸上升。同時(shí)，海面風(fēng)速會(huì)對(duì)該系統(tǒng)的QBER和安全傳輸距離造成影響，風(fēng)速越大，QBER越大，安全傳輸距離越短。當(dāng)QBER=10%(最高安全界限)時(shí)，該系統(tǒng)可抵御任意類型的量子攻擊，在泡沫層厚度為2 cm時(shí)，風(fēng)速若從0增大到40 m/s，水下安全傳輸距離則由57 m減小至43.5 m；當(dāng)QBER=25%(最低安全界限)時(shí)，該系統(tǒng)只能抵御簡單的截獲-重發(fā)量子攻擊，此時(shí)隨風(fēng)速的增大，水下安全傳輸距離由106.5 m縮短到102 m。在實(shí)際海洋環(huán)境中，最佳的QBER目標(biāo)值應(yīng)在10%～25%之間[2]，當(dāng)最大安全傳輸距離不滿足潛艇和水下航行器的工作需求時(shí)，可采用拖拽浮標(biāo)等方式來完成QKD，以確保通信的安全。

圖10 不同泡沫層厚度下，密鑰生成率隨傳輸距離的變化情況 Fig.10 Key generation rate varies with transmission distance at different foam thicknesses

圖10(彩圖見期刊電子版)表示考慮JWT I型海水并最優(yōu)化信號(hào)態(tài)強(qiáng)度，在40 m/s暴風(fēng)(或無風(fēng))，不同泡沫層厚度條件下，基于非均勻空-水信道的4強(qiáng)度誘騙態(tài)BB84 QKD系統(tǒng)的密鑰生成率與水下傳輸距離的關(guān)系?？梢钥闯觯Ｃ媾菽瓕雍穸群惋L(fēng)速增大會(huì)使QKD密鑰生成率和安全傳輸距離減小。因?yàn)榕菽瓕雍穸仍黾?，?huì)使信號(hào)光子經(jīng)過泡沫層的移動(dòng)距離增加，從而增加了光子與泡沫粒子的碰撞次數(shù)，也就增加了光子的散射次數(shù)，而球形粒子的多重散射易產(chǎn)生退偏現(xiàn)象，且風(fēng)速的增大會(huì)加大界面法線的偏離，兩者都會(huì)加劇光子的退偏程度，引入更多誤碼，同時(shí)風(fēng)速和泡沫層厚度的增加也會(huì)降低空-水界面透射率。此外，多層大氣/海水信道中的光衰減(散射和吸收)也會(huì)降低系統(tǒng)傳輸性能。當(dāng)海面無風(fēng)無泡沫(d=0 cm，v=0 m/s)時(shí)，QKD系統(tǒng)的水下安全距離約為120.8 m；當(dāng)海面無泡沫但出現(xiàn)暴風(fēng)(d=0 cm)時(shí)，水下安全距離約為108.8 m；而處于最糟糕“泡沫-不規(guī)則海面”的海洋環(huán)境(d=6 cm)時(shí)，其仍可傳至85 m，基本能保障水下航行器近百米量級(jí)的安全潛深，采用拖曳浮標(biāo)等措施，可進(jìn)一步延長空-水QKD的安全通信距離。由此驗(yàn)證了泡沫覆蓋不規(guī)則海面的非均勻空-水信道實(shí)施QKD的可行性。

圖11 不同波長下，密鑰生成率隨傳輸距離的變化 Fig.11 Key generation rate varies with transmission distance at different wavelengths

圖11(彩圖見期刊電子版)表示考慮JWT I型海水并最優(yōu)化信號(hào)態(tài)強(qiáng)度，在40 m/s暴風(fēng)和6 cm泡沫層厚度，及發(fā)射光源波長不同條件下，非均勻空-水信道的4強(qiáng)度誘騙態(tài)BB84 QKD系統(tǒng)的密鑰生成率與傳輸距離的關(guān)系?？梢钥闯?，在藍(lán)綠窗口范圍內(nèi)，隨著QKD光波長的增大，密鑰生成率和安全傳輸距離得到提升，在糟糕的海洋環(huán)境下，當(dāng)光波長由470 nm增至532 nm時(shí)，最大安全距離由77 m延長至85 m。這主要因?yàn)橐环矫婀獠ㄩL的變化會(huì)影響“泡沫-不規(guī)則海面”的透射率；另一方面，光波長的增加雖會(huì)使泡沫粒子的尺度參數(shù)減小，導(dǎo)致泡沫散射系數(shù)增大，偏振誤碼率上升，但在藍(lán)綠窗口內(nèi)海水的衰減系數(shù)(尤其是散射系數(shù))會(huì)隨波長的增大而減小，從而更大程度地降低光子在海水中的能量衰減。此外，532 nm光源發(fā)展較成熟且應(yīng)用較廣泛，因此空-水QKD可選用532 nm作為目標(biāo)波長，以盡可能延長其安全傳輸距離。

6 結(jié) 論

本文針對(duì)實(shí)際泡沫覆蓋不規(guī)則海面下的非均勻空-水信道，綜合考慮海面泡沫和海風(fēng)作用、空-水信道的復(fù)雜多變性及量子偏振態(tài)連續(xù)經(jīng)受多重散射過程，基于Mie和Rayleigh散射理論，構(gòu)建了完整的非均勻空-水信道復(fù)合模型，包括基于高度分層的大氣信道模型、基于葉綠素濃度的深度分層海水信道模型和“泡沫-不規(guī)則海面”界面模型。在此復(fù)合模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步完善了QKD系統(tǒng)量子誤碼率理論模型，并采用偏振矢量蒙特卡羅算法模擬，討論了非均勻空-水信道的光量子傳輸性能。且以4強(qiáng)度誘騙態(tài)BB84為對(duì)象，詳細(xì)分析了不同海洋環(huán)境下空-水QKD系統(tǒng)的誤碼率、密鑰生成率和安全傳輸距離及光波長對(duì)空-水QKD的影響。結(jié)果表明：清澈海水(JWT I型)能保障水下百米量級(jí)的QKD；經(jīng)非均勻空-水信道，QKD信號(hào)光子因受信道折射和散射作用影響，當(dāng)風(fēng)速和傳輸距離增加時(shí)，會(huì)加劇光子退偏效應(yīng)，使其退偏比增大，保真度減小，導(dǎo)致偏振誤碼率上升。由于風(fēng)速會(huì)影響空-水信道的界面波動(dòng)程度，海面泡沫會(huì)引發(fā)光子散射，且兩者均會(huì)影響界面透射率，因此風(fēng)速和泡沫層厚度的增大都會(huì)造成量子誤碼率的上升，密鑰生成率和安全傳輸距離下降。當(dāng)信道無風(fēng)無泡沫變至暴風(fēng)40 m/s且泡沫層為6 cm時(shí)，水下傳輸距離由120.8 m縮短到85 m，基本能保障水下航行器百米級(jí)的安全潛深，加上拖拽浮標(biāo)等措施可進(jìn)一步確保空-水QKD的安全距離。此外， QKD的密鑰率和傳輸距離隨藍(lán)綠窗口內(nèi)的光波長的增大而增大。綜上所述，實(shí)際非均勻空-水信道下的誘騙態(tài)QKD即使在海風(fēng)和泡沫的劇烈影響下仍可在清澈海水中實(shí)現(xiàn)百米量級(jí)的密鑰分發(fā)，這對(duì)未來構(gòu)建空-水一體的量子通信鏈路提供了理論支撐。