橢圓偏振光譜測量技術及其在薄膜材料研究中的應用

朱緒丹，張榮君，鄭玉祥，王松有，陳良堯

(復旦大學 信息科學與工程學院光科學與工程系，上海 200433)

1 引 言

現代電子集成電路是由不同的材料，按照不同的圖形設計構成的復雜三維結構。更小體積的器件和更快的運行速度是其設計的核心，而這要求單個電路元件的尺寸能夠做得更小，同時每塊芯片能實現更多的功能。器件的制造是通過一系列精確控制的加工工藝完成的，為了保證每步工序都能正確地進行，在每一個工藝步驟中都有許多測量和監(jiān)控技術，其中光學測量由于其非接觸、無破壞、無污染的特點被廣泛使用。除工業(yè)生產之外，光學測量技術在科學研究、技術開發(fā)、醫(yī)療衛(wèi)生、國家安全等領域都具有不可或缺的作用[1]。

光學測量的一項重要內容是薄膜特性——例如厚度和光學性質。常用的光學測量技術根據其原理可分為：光吸收法、干涉監(jiān)控法、偏振光分析法等[2-3]。其中偏振光分析法就是本文介紹的橢圓偏振光譜測量技術(后文中簡稱為橢偏，本文介紹的橢偏儀/橢偏技術均采用反射式)，該方法是利用偏振光在材料表面反射后，相應偏振態(tài)的改變來測量該材料的光學性質。通過橢偏測試，可以獲得材料的折射率、消光系數和復介電函數等光學性質，還可以進一步計算得到包括材料反射率、吸收率、透射率、光學帶隙在內的相關光學特性。同時，橢偏技術還可用于獲取材料組分、界面層性質和粗糙度等綜合信息。

與其他光學測量技術相比，由于橢偏技術是通過采集反射后偏振光的振幅比和相位差等信息進行測量，因此能夠達到更高的精度，故適宜于研究材料的表面與界面性質。在目前半導體工業(yè)中，橢偏技術作為一種快速、高精度、非破壞(或干擾)性的膜厚和結構測量手段受到了廣泛應用[4]。同時，橢偏技術可以測量和分析多層膜結構、縱向分布不均勻樣品、多組元材料等許多復雜體系。此外，橢偏光也受到雙折射晶體和材料應力的影響，因此也能夠用于研究雙折射現象、各向異性或者應變產生的一些光學現象。這一特性在結構和機械工程學中也獲得廣泛應用?？梢?，開展對橢偏技術的研究和應用對多種材料的光學、電學、力學、結構(多層結構)、化學組分等多方面綜合信息的獲得具有重要意義。

本文首先敘述了橢偏技術的發(fā)展歷程。介紹了傳統(tǒng)橢偏光譜測試儀(簡稱橢偏儀)的結構及原理，接著介紹了一些常用的橢偏儀，包括：結構、原理、優(yōu)缺點和應用。其中重點介紹了復旦大學研制的雙重傅里葉變換紅外橢偏光譜系統(tǒng)。然后歸納了橢偏參數(ψ，Δ)處理的方法及步驟，整理了數據擬合常用的光學色散模型，并分別列舉了具體應用實例。最后總結并展望了橢偏分析技術未來的一些發(fā)展方向。

2 橢偏技術的發(fā)展歷程

橢偏的概念首先由德國科學家Paul Drude在19世紀末提出，1887年他使用Fresnel公式解釋了以布儒斯特角射入水中的偏振光，反射得到的p偏振光反射率不趨于0的問題[5]。Drude不僅僅給出了橢偏分析的理論基礎，1890年他還使用該方法測得了18種金屬的光學性質[6]。隨后，有許多科學家開始著手研究橢偏儀器的研制和橢偏測試的應用，有許多重要的研究成果引起了熱議。

初期階段，科學家們主要使用手動消光式橢偏儀，這種橢偏儀結構簡單，使用人眼作為探測器，手動完成測試操作和數據處理過程，被稱為橢偏的“Dark Ages”[7]。1933年，L. Tronstad將橢偏技術應用于電化學中金屬表面薄膜性質的分析[8]；1937年C.V.Kent和J.A.Lawson設計出使用反射光偏振態(tài)為圓偏振的方法研究了金屬的表面性質[7,9]。1945年A.Rothen在他的文章中將該技術命名為“ellipsometry”，即本文介紹的橢偏技術[10]；隨后W.Budde于1962年設計并發(fā)表了第一個旋轉檢偏器式橢偏儀(Rotating Analyzer Ellipsometer,RAE)[11]。至此關于橢偏技術的研究和論文發(fā)表已經具有一定規(guī)模。1963年，在美國華盛頓舉行了第一次橢偏研討會，出版了會議論文集[7]。早期的橢偏測量儀器受限于光探測技術和自動化技術的限制，在測量精度、數據采集速度、運算速度和應用領域方面都表現平平。

直到1973年，橢偏技術有了一次重大飛躍，光度式橢偏儀進入人們的視野。這次進步的根本動力來源于計算機技術的發(fā)展。小型計算機的發(fā)展不僅僅使得數據處理和計算更加快速和簡便，大大縮短了一次測試的周期，提高了測試的準確性，避免了人工計算和操作的誤差；與此同時，光度數據可以在測試階段內周期地存儲，并且應用于計算，是光度式橢偏儀得以問世的根本保證。1973年，IBM公司的P.S.Hauge和F.H.Dill同Bell實驗室的科學家們先后發(fā)表了他們的研究成果[7,12]，他們設計制造出了一種計算機輔助的橢偏厚度測試儀(Ellipsometric Thickness Analyzer,ETA)，該系統(tǒng)運算速度快，完成一個周期測試僅需5 s；準確度高，厚度測量誤差為0.1 nm。

首先發(fā)展起來的橢偏儀結構主要是旋轉檢偏器型橢偏儀(Rotating Analyzer Ellipsometer,RAE)、旋轉起偏器型橢偏儀(Rotating Polarizer Ellipsometer,RPE)和同時旋轉起偏器和檢偏器型橢偏儀(Rotating Polarizer and Analyzer Ellipsometer,RAP)3種，但是這幾種結構在Δ等于0°和180°處具有較大的誤差。1975年，P.S.Hauge和F.H.Dill設計出旋轉補償器型橢偏儀(Rotating Compensator Ellipsometer,RCE)[13]，1983年，D.E.Aspnes報道了他使用橢偏技術獲得的8種半導體材料的光學常數(入射光子能量范圍約為1.5～6.0 eV)[14]。1987年，J.A.Woollam 等獲得專利[15]，使用多個濾波器實現了多波長的測試。最后出現的是相位調制型(Phase-modulation Ellipsometer,PME)橢偏儀，其中典型為光彈性調制型橢偏儀(Photoelastic Modulator,PEM)，PEM型橢偏儀可以實現對樣品的準實時測量[16-18]。D.E.Aspnes是橢偏技術發(fā)展史上理論方面非常重要的奠基人之一，著有許多重要的文章[19-20]。另一位在橢偏技術實驗方面作出重大貢獻的學者是R.M.A.Azzam[21-22]。

國內橢偏技術的研究始于20世紀70年代。70年代中期，我國第一臺單波長消光橢偏儀TP-75型由中山大學莫黨教授等設計并制造[23]。1982年，旋轉檢偏器式波長掃描光度型橢偏儀(TPP-1型)也得以問世[24]。隨后在80年代中后期西安交通大學研制出了激光光源橢偏儀[25]，同期實現了橢偏光譜儀的自動化[26]。復旦大學的陳良堯教授于1994年研制出了一種同時旋轉起偏器和檢偏器的新型全自動橢偏儀[27]。該類型橢偏儀曾成功實現商業(yè)化，銷售給包括德國在內的多家國內外單位使用。1998年，中國科學院上海技術物理研究所的黃志明和褚君浩院士等人研制出了同時旋轉起偏器和檢偏器的紅外橢圓偏振光譜儀[28]。2000年，中國科學院力學所靳剛研究員研制出了我國第一臺橢偏光顯微成像儀。該儀器可以實現納米級測量和對生物分子動態(tài)變化及其相互作用進行實時觀測[29]。2000年，復旦大學陳良堯和張榮君等人研制出了基于雙重傅里葉變換的紅外橢偏光譜系統(tǒng)[30]。2014年，華中科技大學的S.Y.Liu(劉世元)教授等人使用穆勒矩陣橢偏儀(Mueller Matrix Ellipsometry，MME)測試了納米壓印光刻(Nanoimprint Lithography，NIL)的抗蝕劑圖案[31]，同時還檢測了該過程中遇到的腳狀不對稱情況[32]，其理論和實驗結果都表明MME具有良好的敏感性。近幾年，武漢頤光科技有限公司研發(fā)生產出寬光譜穆勒矩陣橢偏儀，除了成功使用該橢偏儀進行了OLED屏幕有機發(fā)光薄膜鍍膜工藝過程的檢測外，該橢偏儀還被廣泛運用到集成電路、太陽能光伏、化學等領域，并且成功商品化[33]。總體上，我國對于橢偏技術的研究起步雖晚，但是發(fā)展迅速，也出現了許多優(yōu)秀的研究成果。

縱觀國內外橢偏儀器的發(fā)展史，不難發(fā)現，橢偏技術的發(fā)展離不開計算機技術和自動化技術的推動。自Drude首次提出橢偏原理(1887年)，國內外學者對于橢偏儀器的研究、改進，和橢偏分析技術在不同領域應用的探索就一直保持很高的熱情。根據Web of Science的記錄，1941年迄今主題中包含“ellipsometry”(橢偏技術)的論文共有31 577篇，論文發(fā)表篇數隨時間的變化和論文的研究方向統(tǒng)計分別如圖1(a)、1(b)所示。

圖1 1941年至今主題包含“ellipsometry”(橢偏技術)的論文發(fā)表情況統(tǒng)計。(a)論文發(fā)表篇數統(tǒng)計，(b)發(fā)表論文研究方向統(tǒng)計圖。(數據來源：Isi Web of Science) Fig.1 Statistical analysis of published papers with the topic of ‘ellipsometry’ from 1941 to the present. (a)Publication statistics of papers, (b)research direction of published papers. (Source:ISI Web of Science)

從圖1(a)論文發(fā)表的情況結合橢偏的發(fā)展歷程，可以發(fā)現由于計算機技術在1973年左右的發(fā)展與廣泛應用，使得橢偏測量更加快速和準確，強有力地推動了橢偏技術的研究，自此之后，論文發(fā)表篇數快速增長。其中，研究方向囊括了物理、化學、光學、工程、材料科學和儀器開發(fā)等眾多方面。橢偏技術在科學研究、工業(yè)生產和技術開發(fā)等領域都具有不可或缺的作用。

3 橢偏儀測試的基本原理

橢偏儀是測量線偏振光經材料表面反射后，光的相對振幅與相位改變量的儀器，圖2展示了橢偏儀的測試基本原理。通過處理測量到的橢偏參數，可以獲得所研究材料的光學性質。根據測量方式可以分為反射式、透射式和散射式橢偏測量。其中應用最為廣泛的是反射式橢偏測量。

圖2 橢偏儀測試原理示意圖[34] Fig.2 Measurement principle of ellipsometry[34]

考慮圖3所示的理想情況。根據偏振態(tài)，將入射線偏振光分解為電場分量偏振方向分別垂直和平行于入射面的s光和p光，兩束偏振光相互獨立地由復折射率為i的介質向復折射率t的介質傳播。光在傳播過程中遇到不同介質分界面時會發(fā)生反射和折射。

圖3 偏振光在介質界面處的反射與折射。(a)s光，(b)p光[34]Fig.3 Reflection and refraction of polarized light at the interface of the medium. (a)s polarization, and (b)p polarization[34]

當s光和p光在兩介質界面處發(fā)生反射與折射時，其入射角θi、反射角θr和折射角θt之間滿足斯涅爾(Snell)定律：

θi=θr，

(1)

(2)

(3)

(4)

在反射模式下，定義橢偏參數ψ和Δ，其中tanψ表示p光與s光反射后振幅的比值，ψ的取值范圍為0～90°：

(5)

Δ則表示p光與s光相位差的變化量，Δ的取值范圍為-180°～180°(或表示為0°～360°)：

Δ=δp-δs，

(6)

橢偏參數ρ的定義式為：

(7)

與此同時，橢偏參數ψ和Δ是入射介質復折射率i、透射材料復折射率t、透射材料厚度d、入射光波長λ和入射角θi的函數：

ψ,Δ=f(i,t,θi,λ,d) .

(8)

使用橢偏儀測試材料的橢偏參數ψ和Δ，再通過計算機輔助計算就可以獲得材料的光學常數。具體光學常數(如復介電函數)的計算和數據擬合的步驟將在本文稍后進行介紹。

4 橢偏儀的分類及介紹

橢偏儀按照測試原理的不同，主要分為消光式和光度式兩類。本文介紹了PCSA型消光式橢偏儀、旋轉偏振器件型橢偏儀、相位調制型橢偏儀、橢偏光譜儀、紅外橢偏光譜儀、成像橢偏儀和廣義橢偏儀，闡述了不同橢偏儀包括：基本架構、測量原理、優(yōu)缺點和應用在內的基本信息。

4.1 PCSA型消光式橢偏儀

Drude教授提出橢偏概念的初期階段稱為橢偏研究的“Dark Ages”，因為橢偏測試廣泛的應用是消光式橢偏儀[7]。這種橢偏儀結構簡單，主要使用單一波長完成測量，并使用人眼作為探測器，測試時需要手動完成各偏振器件角度的調節(jié)和定位。典型的消光式橢偏儀結構如圖4所示。

圖4 PCSA型消光式橢偏儀結構示意圖(圖中ψ=45°，Δ=90°，探測器檢測此刻為消光狀態(tài))[34] Fig.4 Schematic diagram of PCSA null ellipsometry(The (ψ，Δ) values of a sample are assumed to be ψ=45° and Δ=90°. In this measurement, the detected light intensity is zero)[34]

主要由光源、起偏器、補償器(1/4λ波片)、檢偏器和探測器5部分構成。此時由起偏器產生s方向的線偏振光(E90°)，通過補償器后偏振態(tài)變?yōu)樽笮龍A偏振光(EL)，經樣品反射后變?yōu)?45°方向偏振的線偏振光，偏振方向與檢偏器偏振方向垂直，因此出射光強為零，處于消光狀態(tài)[34]。其中補償器只作用于特定波長的光，所以此時僅僅使用單波長的光進行測試。消光式橢偏儀是通過改變起偏器和檢偏器的角度使得入射到探測器上的光強值最小(理想狀態(tài)為消光)，由這樣一組起偏器和檢偏器方位角的數值，就可以求得樣品的橢偏參數。由此可見，消光式橢偏儀實際上測量的是角度而不是光通量，這使得光源的穩(wěn)定性和探測器的非線性所導致的誤差較小[37]。同時，其測量精度也主要由偏振器件角度定位的精度決定，有效地減小了系統(tǒng)誤差帶來的影響，測量比較準確[38]。1945年，Rothen使用消光式橢偏儀測試膜厚的靈敏度已經達到0.03 nm[10]。

雖然測試的準確度較高，但是需要人為地完成偏振器件方位角的調整、讀取和計算，影響了測量速度。即使后來使用計算機技術輔助，或者使用光電倍增管等光電探測器，但是對于測試速度并沒有顯著的改善。反而引入了新的測量誤差，例如：光電探測器在光強小時的信噪比較低，這將會增大偏振器件方位角的測量誤差[39]。所以消光式橢偏儀主要適用于對測試速度要求不太高的場合，如高校實驗室。而在工業(yè)應用上主要使用的是光度式橢偏儀。

表1 幾種光度式橢偏儀優(yōu)缺點總結[34]

所謂的光度式橢偏儀是指儀器中各個對光偏振態(tài)有影響的光學元件，在一定數量恰當的設置狀態(tài)之下時對光強進行測量的儀器。不同于消光式橢偏儀，光度式橢偏儀更適用于寬光譜的橢偏測試，極大地增加了測量獲得的信息量[40]。光度式橢偏儀優(yōu)勢在于：橢偏參數的獲取是直接對探測器接收到的光強信號進行傅里葉分析，而不需要測量偏振器件的方位角，所以測量速度明顯快于消光式橢偏儀，特別適用于在線檢測和實時測量等工業(yè)領域。但由于現階段所能提供的探測器存在非線性效應以及光源的不穩(wěn)定，都將增大光度式橢偏儀的系統(tǒng)誤差[37]。表1總結了幾種不同架構的光度式橢偏儀的優(yōu)缺點[34]，其中包含的橢偏儀將在后文詳細介紹。

4.2 旋轉偏振器件型橢偏儀

旋轉偏振器件型橢偏儀包括多種結構的橢偏儀：RAE、RPE、RAP和RCE。在最早的橢偏儀使用中，由于操作簡便和成本較低，旋轉檢偏器(RAE)或起偏器(RPE)的橢偏儀是主導，通過在不同時間獲得光強與不同檢偏器或起偏器角度之間的變化關系來分析樣品數據[41-42]。包括之后出現的同時旋轉檢偏器和起偏器型橢偏儀(RAP)都是通過偏振器件的機械旋轉來完成數據的采集[43-45]。RAE橢偏儀的結構示意圖如圖5所示。

圖5 RAE光度式橢偏儀示意圖[34] Fig.5 Optical configurations of RAE [34]

RPE、RAP與RAE光學元件配置完全相同，只是在測試時旋轉的偏振器件不同。這種測試結構構造簡單、技術成熟并且少了1/4λ波片的限制后，更適合于光譜的測量。但是這3種測試結構在橢偏參數Δ等于0°和180°處具有較大的誤差，必須加入相應波長的補償器才能消除[40]。雖然RAE精度較高，但通常易受環(huán)境光的影響，測試要求在暗室進行，采用光源調制器和鎖相放大器可以解決這一問題。RAP不會受光電流中直流分量的影響，同時可以自動定標。但測試較復雜且光路校正困難，一旦出現光路問題時旋轉起偏器就會導致入射光斑在樣品表面移動，產生較大的誤差[46]。

為了進一步提高測試的準確度，1975年，P.S.Hauge和F.H.Dill設計出旋轉補償器型橢偏儀(RCE)[13]，經典RCE橢偏儀的結構如圖6所示。

圖6 RCE光度式橢偏儀示意圖[34] Fig.6 Optical configurations of RCE[34]

RCE在固定起偏器和檢偏器的情況下，旋轉補償器可以測試到Stokes矢量的4個分量，消除了RAE、RPE、RAP在橢偏參數Δ等于0°和180°處的誤差。如果采用雙補償器旋轉，可以測試到Mueller矩陣的所有分量[47]，有趣的是，旋轉補償器的思想來源于天文學[48]。這種RCE橢偏儀理論上可以檢測任意偏振態(tài)(包括完全偏振態(tài)和部分偏振態(tài))，而且能夠測試的樣品類型非常廣泛，包括各向異性樣品，或者粗糙表面的樣品。但是使用的補償器是1/4λ波片，只對單波長有效，使它在多光譜領域中的應用被限制[7,45]。

接下來重點介紹復旦大學研制的雙重傅立葉變換紅外橢偏光譜系統(tǒng)[30,49]。該系統(tǒng)對光子能量和方位角作了雙傅立葉變換，可進行反射式無損測試得到2 100～10 000 cm-1波段樣品的各種光學常數，測量誤差被控制在了1%以內，測量速度快，對紅外光譜區(qū)各種金屬和合金、窄禁帶半導體和超晶格材料等豐富信息的探索具有重要意義。該系統(tǒng)整體的結構示意圖和其中RAP型橢偏儀原理圖如圖7所示。

圖7 雙重傅立葉變換紅外橢偏光譜系統(tǒng)。(a)系統(tǒng)整體結構示意圖，1.偏振器；2.分析儀；3.步進電機；4.檢測臂旋轉平臺；5.樣品旋轉平臺；6.樣品安裝板；7.固定鏡；8.移動鏡[49]，(b)RAP型橢偏儀原理圖(其中P和A的方位角相對s軸順時針旋轉)[50] Fig.7 Apparatus configuration of the infrared double-Fourier spectro-ellipsometer. (a)System overall structure diagram，1.polarizer, 2.analyzer, 3.stepping motors, 4.rotating stage of detection arm, 5.rotating stage of sample, 6.sample mounting plate, 7.fixed mirrors, 8.moving mirror[49]， (b)optical configuration of the RAP ellipsometric system(in which the azimuthal angles of the rotating P and A are clockwise to the s axis)[50]

如圖7所示，該橢偏儀系統(tǒng)采用的是同步旋轉檢偏和起偏器(RAP)的構造，其中RAP橢偏儀紅光光源為15 W的鹵素鎢燈。該系統(tǒng)并沒有使用傳統(tǒng)的單色儀分光然后進行波長掃描的方法測試，而是選擇通過邁克耳孫干涉儀形成紅外傅立葉干涉光源(Necolet 460型IR-FT 產品，采用CaF2分束器和液氮制冷的InSb探測器)圖7(b)中的P0，P和A都是偏振器件。P0是固定起偏器，作用是使光源出射的光沿s方向偏振(s向和光入射面垂直)；P和A分別是可以旋轉的偏振器和檢偏器，它們的初始偏振方向都是s向，測試時P和A旋轉角速度始終保持1∶2的比例關系同步旋轉，方位角分別為θP和θA。

光源出射的光首先通過固定偏振器P0，然后通過起偏器P，以入射角為θ在樣品反射后,到達檢偏器A，最后進入探測器。根據光學系統(tǒng)瓊斯矩陣原理，進入探測器的光的電場矢量可以表示如下[30]：

(9)

相應的光強表示為：

(10)

式中，η為與光強和探測器特征有關的常數，測試時P和A旋轉角速度始終保持1∶2的比例關系同步旋轉，即方位角滿足2θP=θA=ω0t的關系。將光強表示為θA的余弦分頻表示式：

I=I0+I1cosω0t+I2cos2ω0t+

I3cos3ω0t+I4cos4ω0t，

(11)

其中包含了5個信號分量，即一個直流分量I0和4個整數倍頻的交流分量，各個分量與橢偏參數ρ0(ρ0=tanψ)和cosΔ的關系表示如下：

(12)

上式中,IB表示背景信號，則4個方程中只含有3個未知數,故ρ0和cosΔ可用兩套獨立的方程組表示：

(13)

(14)

使用兩套計算方式(式(13)和(14))都可以計算得到橢偏參數，并且兩套計算結果的符合程度代表了系統(tǒng)自洽度，通過比較計算結果可以知道實驗數據測量的可靠程度。自洽度檢驗也是同步旋轉檢偏和起偏器方式的特點之一，依據實驗結果的自洽度可以對實驗數據的精度進行改進[30,49]。

觀察式(13)和(14)不難發(fā)現，此系統(tǒng)計算橢偏參數，并不需要光強信號的直流分量，只需要對其交流分量進行測試。從而消除了背景光和暗電流等較大的直流本底噪聲對測試準確性的影響。同時各交流分頻之間的關系一般不會受到紅外區(qū)存在的水、二氧化碳或其他吸收介質的影響，所以使用上述公式計算得到的橢偏參數基本不會受到這類背景光影響[49]。

4.3 相位調制型橢偏儀

旋轉偏振器件型橢偏儀由于測量時都需要旋轉部件，這會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定和方位角的偏差，降低了其測量精度。1969年，S.N.Jasperson等人成功研制出相位調制型(PME)橢偏儀[51]。PME橢偏儀是將圖6中的1/4λ波片換成調制器，按預定的方式將光束的偏振態(tài)加以調制，從隨時間變化的光電流諧變分量中取得樣品的有關信息。最典型的是光彈性調制型橢偏儀，其結構如圖8所示。

光彈性調制型橢偏儀測試時，向光彈性調制器施加的電壓必須根據探測光的波長來改變，以便光通過時獲得恒定的相移。所以入射光的偏振態(tài)由調制器調制，調制頻率與調制器的頻率相同。其優(yōu)點有：首先測量時所有的光學元件都保持靜止狀態(tài)，并不需要機械轉動，所以相較旋轉偏振器件型橢偏儀測量更加快速。PME測試的最短周期取決于其中壓電傳感器的頻率(50 kHz)[34]，所以PME的最短測試周期為20 μs[52]；其次，PME已經廣泛應用于遠紅外波段的實時測試。PME的實時光譜測試通過采用光電二極管陣列[53-54]或多個光電倍增管[55]實現。PME的缺點是調制器對環(huán)境溫度很敏感，因而儀器的穩(wěn)定性較差。PME實時測量在有些波段是受限的(可見/紫外區(qū)域)，并且PME誤差在(ψ，Δ)特定區(qū)域增加[34]。

圖8 PME光度式橢偏儀示意圖[34] Fig.8 Optical configuration of PME[34]

4.4 橢偏光譜儀和紅外橢偏光譜儀

橢偏光譜儀可用于測試多層薄膜的光學性質。因為對于多層薄膜中各層光學參數無法直接從一組橢偏參數中求解，考慮到材料的色散性質，即其光學常數隨入射光波長的變化而變化，所以需要得到該多層膜結構的多組橢偏參數，這促使橢偏光譜儀得以發(fā)展。D.E.Aspnes等在1975年首次基于RAE結構設計出了光譜橢偏儀。該儀器結構如圖9所示。

圖9 D.E.Aspnes等人設計的橢偏光譜儀結構示意圖[56] Fig.9 Schematic diagram of the optical system of the instrument designed by D. E. Aspnes et al.[56]

其中，利用光柵單色儀進行分光，然后通過波長掃描的方法拓寬了橢偏測量的光譜范圍(近紅外到近紫外)，與此同時可以測量高達1 000組的橢偏參量，膜厚的測量精度達到0.001 nm，數據采集周期僅為7 ms[37,56]。在此基礎上，紅外橢偏光譜儀被廣泛運用于半導體行業(yè)中異質結構多層膜相關參量的測量。

4.5 成像橢偏儀

橢偏儀在集成電路領域也得到了廣泛的應用。但是由于集成電路的特征尺寸小，這對橢偏儀光斑的面積也提出了更高的要求。而傳統(tǒng)橢偏儀的光斑面積較大(光斑直徑在通常情況下約為1 mm)，在集成電路領域中的應用受到了限制。1988年，D.Beaglehole在傳統(tǒng)橢偏儀的基礎上加入了成像系統(tǒng)，研制出了成像橢偏儀[57]。兩者相結合，有效地提高了橢偏儀的空間分辨率。成像橢偏儀利用CCD采集橢偏圖像，可以進一步得到樣品表面的三維形貌及薄膜厚度分布，從而提供樣品的細節(jié)信息。而傳統(tǒng)橢偏儀只能測量到光斑內薄膜的平均厚度[37-38]。但是成像橢偏儀中樣品反射光的偏振態(tài)會受到CCD器件的干擾，同時CCD器件有很強的本底信號，使得成像橢偏儀的系統(tǒng)誤差因素增多，使用前必須仔細校準[58]。圖10展示的是1996年由G.Jin等人設計的成像橢偏儀結構。

圖10 G.Jin等人設計的成像橢偏儀示意圖[59] Fig.10 Schematic diagram of an imaging ellipsometer designed by G.Jin et al.[59]

4.6 廣義橢偏儀

入射光照射在各向同性介質上時，其s分量和p分量在介質表面的反射和折射都是相互獨立的，可以使用傳統(tǒng)橢偏儀進行測試。若材料是各向異性的，入射光在反射和折射時其s分量和p分量之間會相互耦合，此時需要使用廣義橢偏儀完成測試[38]。

廣義橢偏儀的實現途徑主要有以下3種[37]:①將旋轉偏振器件型橢偏儀拓展到廣義橢偏儀，其原理是在偏振器件不同方位角下進行多次測量。M.Schubert和J.A.Woollam等人將RAE拓展到廣義橢偏儀，成功地測量了單軸TiO2晶體的復介電函數[60]。②分別在起偏器后和檢偏器前放置兩塊補償器,并以不同的頻率旋轉。C.Chen和I.An等人基于此原理設計出了廣義橢偏儀，并用于實時測量[61]。③使用具有不同調制頻率的兩塊光彈調制器作為偏振調制器件。此類廣義橢偏儀的基礎理論是由G.E.Jellison等人提出的[62]，他們還研制出了大入射角廣義橢偏儀[18]、垂直入射角廣義橢偏儀[63]和透射廣義橢偏儀[64]。

5 橢偏測試數據的處理

橢偏技術是分析薄膜材料光學性質的一個非常有效的工具。通過對測得的橢偏參數ψ和Δ進行反演計算可以獲得包括薄膜厚度、光學常數(包括復介電函數)、表面粗糙度和薄膜內部過渡層性質在內的綜合性信息。橢偏技術相比其他表征方法，其準確度更高，尤其對于分析半導體或絕緣體體材料光學性質，當入射光子能量大于材料禁帶寬度時，橢偏技術可靠性最高[40]。

但是對于多層膜構成的復雜結構，求解過程就比較復雜，需要為多層膜結構建立相應的光學模型，再結合每層膜的色散性質進行數據擬合，通過調整模型參數使擬合結果和實驗數據的誤差最小，同時需要考慮所研究膜層的物理性質，最終得到多層膜結構的光學性質。

5.1 體材料橢偏測試數據的處理

體材料的橢偏分析步驟較為簡單?？梢越⒗硐氲碾p層介質模型(如圖3所示)，即兩介質均為半無限厚的均勻介質。該情況下，直接將式(3)代入式(7)，可得：

(15)

以上就是利用橢偏技術測量表面平整體材料光學常數的原理以及相應復介電函數的計算公式，這是橢偏分析中最簡單的情況。1890年，Drude繼提出橢偏分析的理論基礎之后，使用該方法測得了18種金屬的光學性質[6]。除了傳統(tǒng)意義上的塊材可以使用此種體材料的橢偏參數分析方法，2014年，復旦大學的張冬旭等人在研究錫(Sn)薄膜的光學性質從固相到液相轉變時也直接使用式(15)計算了Sn薄膜的光學常數[65]。這是因為Sn材料的吸收系數較高，幾十納米的Sn薄膜即可認為不再透光，所以進行橢圓偏振光譜測量時，光只在薄膜表面反射，相當于半無限厚的體材料，因此直接通過Snell公式和Fresnel公式即可求得Sn薄膜的光學常數，其測量得到的橢偏參數及計算的光學常數如圖11所示。

圖11 橢圓偏振光譜分析Sn薄膜的光學性質。(a)65°,70°,75°入射時測得的Sn薄膜橢偏參數，(b)Sn薄膜的折射率n和消光系數k與波長的關系[65] Fig.11 Optical properties of Sn thin films studied by spectroscopic ellipsometry. (a)Spectral ellipsometry parameters of Sn films measured at 65°, 70°, and 75° at room temperature, (b)refractive index n and extinction coefficient k of the Sn film vary with wavelength[65]

這種分析方法也可以用來分析各向異性材料。2010年，曼徹斯特大學的V.G.Kravets和A.N.Grigorenko等人使用此Fresnel模型擬合出了制備在具有自然氧化層的硅襯底上石墨材料和石墨烯薄片的復折射率[66]。特別的是，他們將兩者視為各向異性材料分別從x向和z向(x軸方向在石墨面內，而與石墨面垂直的方向稱為z向)擬合出了對應的光學常數。如圖12所示，用此方法擬合x向和z向的光學常數存在一定的耦合現象，并且曲線也不太平滑。因此研究者又使用后文中將介紹的色散模型擬合方法重新擬合，擬合結果將在后文中詳細介紹。

圖12 橢圓偏振光譜分析得到的～1 μm厚石墨x向和z向的復折射率(此時z向被認為是普通材料)[66] Fig.12 Complex refractive indexes in the x- and z-directions of ～1 μm thick graphite obtained by ellipsometry(optical constants of graphite with z-component being treated as a general material)[66]

此外，這種體材料的橢偏分析方法在生物材料中也有應用。2004年，德國漢堡大學的B.Schulz和D.Chan等人在使用橢偏技術分析肝組織的光學性質時[67]，將肝組織視為均勻的有機生物樣品，并且忽略了硅襯底對上層樣品光學常數的影響，直接使用體材料的橢偏分析步驟，粗略估計了肝組織的光學常數：n=1.45，k=0.03。由于分析時同時忽略了表面粗糙層的影響，所以測得的k值略高于組織本身的實際值。

5.2 薄膜材料橢偏測試數據的處理

雖然體材料的橢偏分析步驟比較簡單，但是在現代橢偏的實際應用中，測量的薄膜材料往往是有限厚度的，材料表面通常也具有一定粗糙度，因此簡單地使用體材料的橢偏分析步驟往往不能得到正確的結果。

5.2.1 光學色散模型擬合

對于吸收材料薄膜，需要求解的未知參數包括薄膜厚度，復折射率的實部和虛部，而橢偏參數只有兩個：ψ和Δ，則式(8)變成一個無法求解的超越方程。因此，在絕大多數情況下，利用橢圓偏振光譜法分析薄膜材料的光學性質時，需要建立薄膜的結構模型(通常為多層膜結構)并結合各層材料的色散關系進行數據擬合，從而獲得材料的光學常數。圖13是目前典型的橢偏分析流程，包括了測量、建模與擬合過程[68]。

圖13 橢偏分析材料光學性質的基本流程[68] Fig.13 Basic flow chart of the optical properties of materials analyzed by ellipsometric analysis method[68]

橢偏測量是一種間接的測量技術，在分析橢偏參數時，要根據所測薄膜樣品的實際結構和材料的光學色散關系建立合理的模型，并利用該模型對橢偏參數進行擬合。由此可見，建立的模型與薄膜實際結構的匹配程度決定了數據擬合的準確性。通常模型的選擇并不是唯一的，為了判定擬合數據的準確度，常用的方法是利用模型中的各項參數計算出ψ和Δ的理論值，再通過比較計算理論值與測量結果間的誤差進行修正，即進行回歸分析，這就是上圖所示的橢偏擬合步驟。最后得到的最優(yōu)分析結果即為該模型下橢偏擬合的結果。計算量很大，通常需要借助計算機輔助計算才能順利完成。

在橢偏擬合的過程中，采用均方誤差(Mean Squared Error，MSE)來描述擬合值相對測量值的偏離程度，其表達式如下[69]：

(16)

其中，σ為測量誤差，N為測量中得到的橢偏參數ψ(或Δ)個數，M為擬合模型中的變量個數。上角標“mod”和“exp”分別表示利用擬合模型求出的理論值與利用橢偏儀測得的測量值。MSE的值越小，橢偏擬合與測量結果越接近。當MSE值達到全局最小時，則認為擬合得到了材料的實際厚度與光學常數。

實際應用中，在最后獲得薄膜厚度及光學常數后，常常還需要判斷數據是否符合基本物理規(guī)律。對于光學常數正確性的判定方法是判斷數據是否符合Kramers-Kronig關系(簡稱K-K關系)，K-K關系表達式如下[69]：

(17)

(18)

上式中，

(19)

復折射率的實部n和虛部k也滿足式(17)～(19)的關系。

5.2.2 逐點(point-by-point)橢偏參數反演

橢偏分析常常需要對待測材料建立模型并選用合適的光學色散模型進行擬合，但有些時候待測材料的光學色散模型并不容易建立，可能因為對于材料的光學性質未知，所以無法選擇合適的色散模型；也可能是由于該材料的色散模型參數擬合過于復雜而無法完成。此時常常采用數學反演(mathematical inversion)的方法，就可以獲取橢偏測量的光譜范圍內待測材料的光學常數，其流程如圖14所示。

從流程圖可以看出，使用逐點橢偏參數反演方法進行擬合時與傳統(tǒng)橢偏分析開始時步驟相同，首先都要為待測材料建立一個合理的光學模型。根據式(8)知道橢偏參數是入射角θi、入射光波長λ、每層膜厚di和復折射率i的函數，假定所關心的是第一層膜的光學常數1，所以在已知其他層厚度和光學常數時，橢偏參數(ψ，Δ)就是入射角θi、入射光波長λ和第一層膜的光學常數1的函數。所以首先使用色散模型擬合出第一層膜厚的數值d1，然后使用點對點數據反演和第一步擬合出的膜厚數據就可以求解出第一層膜的復折射率的實部n1和虛部k1。

圖14 逐點橢偏參數反演方法分析橢偏參數的基本流程[70] Fig.14Basic flow chart of ellipsometric parameters analyzed by point-by-point ellipsometric parameter inversion method[70]

由此可見，逐點橢偏參數反演方法實際上是在每一個橢偏參數測量點處使用數學反演求解出該點波長對應的光學常數，于是也被稱為點對點擬合方法(Point-by-point method)。此方法與使用色散模型進行橢偏分析的基本不同點在于，點對點擬合在不同波長求解光學常數時是相互獨立的。值得注意的是：點對點擬合第一步使用色散模型擬合的膜厚結果，決定了第二步數學反演結果的準確性。換句話說，第一步光學模型和膜厚的偏差都會導致最后求解的光學常數出現錯誤[71]。通常為了檢驗光學常數正確性有兩種方法：一方面看吸收邊和特征結果是否符合實際；另一方面判斷該結果是否符合K-K關系。

2016年，復旦大學的J.P.Xu(許驥平)等人使用逐點橢偏參數反演的方法研究了ZrO2超薄膜光學帶隙及電子缺陷的厚度依賴特性[72]。他首先使用透射電子顯微鏡(Transmission Electron Microscope，TEM)和原子力顯微鏡(Atomic Force Microscope，AFM)對原子層沉積(Atomic Layer Deposition，ALD)方法制備的ZrO2超薄膜進行了表征，發(fā)現ZrO2超薄膜表面存在粗糙層，并且和襯底之間存在界面層。考慮到界面層的光學常數較難獲取，故建立了Si襯底/等效ZrO2/大氣的三相光學模型(如圖15(a)、15(b)所示)來分析樣品的橢偏響應。其中，等效ZrO2層代表了來自界面層和ZrO2膜的共有貢獻。建立光學模型后，使用柯西色散模型對透明區(qū)內的橢偏光譜進行擬合，獲取了各樣品的厚度。此時三相光學模型下的橢偏參數(ψ，Δ)僅是等效層光學常數(ε1和ε2)的函數，使用點對點方法從中解出每個波長下的ε1和ε2，其中ε2結果如圖15(c)所示。

圖15 逐點橢偏參數反演方法分析ZrO2超薄膜。(a)ZrO2超薄膜的光學模型，(b)點對點分析中使用的簡化光學模型，(c)厚度為2.72 nm的ZrO2超薄膜在入射光子能量為3～6 eV內的ε2[72] Fig.15 Analysis results of ultrathin ZrO2 films by point-by-point method. (a)Optical model of ZrO2 samples, (b)simplified one for point-by-point analysis in this work, (c)imaginary model of dielectric constants of the effective ZrO2 film with a thickness of 2.72 nm when incident photon energy is 3～6 eV range[72]

圖16 逐點橢偏參數反演方法分析WS2超薄膜。(a)WS2超薄膜的光學模型，(b)和(c)分別是點對點擬合得到的WS2超薄膜復介電函數實部ε1和虛部ε2(入射光子能量范圍為1.2～6.3 eV，S1、S2和S3分別代表濺射時間為20、50和70 s的3種樣品)[73] Fig.16 Analysis results of ultrathin WS2 films by point-by-point method. (a)Optical model of WS2 samples, (b) and (c) are real part ε1 and imaginary part ε2 for dielectric function extracted from point-by-point fitting respectively. (the photon energy range is 1.2～6.3 eV，S1，S2 and S3 are represeroted the sample for the sputtering times, 20 s, 50 s, and 70 s, respectively)[73]

6 橢偏光譜分析模型及其應用

橢偏分析是一種基于模型的擬合方法，而在模型中的各種材料需要用其對應的色散關系來描述。材料的色散關系是指材料的光學常數是光波長或頻率的函數，當光的波長改變時，其復介電函數通常也會發(fā)生變化。因此，在建立橢偏分析模型時，根據待測材料的性質為其選擇合適的色散模型是十分重要的一步。材料的色散關系可以由物理模型推導而得到。本文接下來將簡要介紹一些常用的光學色散模型。

6.1 光學色散模型及其應用

在20世紀初期，P.Drude[74]和H.A.Lorentz[75]等人分別對金屬和電介質的光學經典理論作出了貢獻，這些經典模型說明了金屬和電介質的光學性質和光譜的一些基本特點[75]。其他許多光學色散模型都是基于這兩個經典模型的理論演變得到的。

6.1.1 洛倫茲(Lorentz)色散模型

Lorentz模型是描述介質材料最重要的經典模型之一[34,75]。一些常見的色散模型，如Tauc-lorentz模型[76]、Sellmeier模型[34]、Cody-lorentz模型[77]，都是由Lorentz模型變化而來的。

Lorentz模型將物質視為許多振子的線性組合，這些振子在光場的電磁輻射作用之下在其平衡位置附近做受迫振動。實際上，振子概念要更普遍，可以是電子、原子或原子團等[34]。物理上，此模型可以看作核外電子受原子核的束縛，在其平衡位置做受迫振動，由于原子核的質量遠大于電子，因此原子核的位置即為平衡位置。圖17為束縛電子的受力分析示意圖，從圖中可以看到，束縛電子受到回復力、阻尼力和電磁輻射電場的作用力3種力的作用。

圖17 束縛電子的受力分析示意圖[34] Fig.17 Force analysis diagram of bound electron[34]

根據牛頓第二定律可寫出束縛電子的運動方程如下：

(20)

x(t)=aexp(iωt) ，

(21)

將式(21)代入式(20)可得：

(22)

設電子密度為Ne，則電介質極化率χ=-eNex(t)/E0exp(iωt)，可以得到復介電函數ε=ε0s+χ為：

(23)

其中，ε0s為頻率遠大于測試頻率范圍的復介電函數實部對復介電函數的貢獻，常取ε0s=1。并且在實際數據處理中，通常采用光子能量En來描述洛倫茲模型，即：

(24)

由于材料中振子對應的共振能量(帶隙)往往有多個，因此要用如式(24)所示的振子疊加形式表示。Aj表示第j個振子的振動強度，單位是eV2；Γj為第j個振子的阻尼系數，單位是eV；En0j為第j個振子對應的帶隙能量，單位是eV。

Lorentz模型常用于描述半導體、絕緣體和晶體材料等受限電子系統(tǒng)。也可用于納米尺度金屬顆粒組成的薄膜；金屬粒子嵌入絕緣體矩陣的綜合體材料[34]。

首先介紹幾例Lorentz模型最簡單的應用：2016年，復旦大學的D.D.Zhao和Q.Y.Cai等人分析了電子束蒸發(fā)退火制備的不同厚度五氧化二鈮(Nb2O5)薄膜的光學常數[78]。橢偏參數擬合時，首先根據制備樣品的結構建立了對應的三相光學模型：硅襯底/Nb2O5/Air，再利用Lorentz單振子色散模型擬合得到Nb2O5薄膜的光學常數。同樣在2015年，Lancaster University的M.Esro和G.Vourlias等人在分析氧化鉿(HfO2)薄膜的光學常數時也選用的是Lorentz單振子色散模型[79]。由此可以看出，Lorentz單振子模型符合材料的電子結構，并且主要對應于材料中高能態(tài)帶到帶躍遷的貢獻。

由于材料中振子對應的共振能量(帶隙)往往有多個，Lorentz模型在應用時常常使用如式(24)所示的多振子疊加形式。例如：2000年，瑞典Link?ping University的R.Jansson和S.Zangooie等人在使用橢偏光譜法分析3C-SiC的光學性質時，首先建立了四相光學模型：Si(100)襯底/3C-SiC(100)層/SiO2層/環(huán)境，描述3C-SiC(100)層光學性質時使用了多振子疊加形式的Lorentz模型[80]。

多層膜結構中的界面層有時也可以使用Lorentz模型描述。2012年，復旦大學的D.X.Zhang(張冬旭)等人在研究Ta2O5超薄膜光學性質與膜厚的關系時，使用橢偏光譜分析技術測試了沉積在硅襯底上的Ta2O5超薄膜[81]。橢偏擬合時，考慮了氧化物薄膜與硅襯底之間可能存在的硅誘導間隙態(tài)(silicon-induced gap states,SIGS)，于是建立了四相光學模型：硅襯底/SIGS界面層/Ta2O5超薄膜/環(huán)境，隨后使用Lorentz單振子模型描述了SIGS界面層的光學性質。2014年，D.X.Zhang(張冬旭)等人在使用橢偏技術研究錫薄膜從固態(tài)變化到液態(tài)過程中光學性質的改變時，考慮在加熱過程中，通過X射線衍射光譜(X-ray diffraction spectroscopy，XRD)表征結果可知錫薄膜加熱至熔點及更高溫度后會發(fā)生氧化，并且產生了含有液體錫、氧化錫和氧化硅的混合物夾層[82]。據此建立五相光學模型：硅襯底/Sn薄膜/混合物夾層/SiO2封層/大氣環(huán)境，其中混合物夾層的光學性質使用Lorentz多振子模型描述。

圖18 NiOx, PEDOT∶PSS和體異質結(BHJ)太陽能電池的復折射率[83] Fig.18 Index of refraction, n and extinction coefficient, k for NiOx , PEDOT∶PSS and BHJ solar cells[83]

Lorentz模型在太陽能材料的分析中也有應用。2011年，University of Arizona的K.X.Steirer和P.F.Ndione等人在分析NiOx,PEDOT∶PSS和體異質結(BHJ)太陽能電池的復折射率時也使用的是Lorentz模型[83]，擬合出的復折射率如圖18所示。

2015年，Indian Institute of Technology Madras的M.Ghosh和L.Pradipkanti等人使用橢偏技術分析了層間束縛了水層的氧化石墨烯[84]。為了分析水層對氧化石墨烯(graphene oxide,GO)光學性質的影響，他們將樣品在不同溫度下進行退火處理。結合XRD測試結果，研究人員分析得到退火溫度在180 ℃以上時GO中束縛的水層可以被完全除去，此時GO薄膜可以認為是由均勻的分層GO薄片組成的，再結合GO在可見光區(qū)域具有顯著吸收的性質，于是使用Lorentz三振子模型對GO薄膜進行橢偏擬合。而退火溫度低于180 ℃時，由于束縛水層的存在，GO薄膜和束縛水層此混合體系的橢偏擬合將使用后文中介紹的有效介質近似模型(EMA)描述。其中GO介質的光學性質仍使用Lorentz三振子模型進行擬合，但是由于退火溫度的不同，此時模型中振子的中心能量將由較高退火溫度下測得的中心能量再結合振子的振幅和能量擴展趨勢線性外推獲得。振子中心能量線性拓展和λ=600 nm不同退火溫度本征GO薄膜和束縛水的GO綜合體系的光學常數曲線如圖19所示[84]。

圖19 GO薄膜的橢偏光譜分析。(a)Lorentz模型3個振子中心能量按退火溫度線性拓展(C1(方塊)，C2(圓圈)，C3(三角))；(b)λ=600 nm時不同退火溫度下本征GO薄膜和束縛水的GO綜合體系的光學常數曲線(本征GO薄膜的nGO(1)，kGO(3)，混合體系n(2)，k(4)，陰影部分為除去束縛水層的溫度區(qū)間)[84] Fig.19 Ellipsometric spectral analysis of GO thin films. (a)Three vibrator center energies of Lorentz model linearly expand according to annealing temperature (C1(squares), C2(circles), and C3(triangles)), (b)optical constant curve of GO synthesis system of intrinsic GO film and bound water nGO(1), kGO(3), and total n(2), k(4) vs. Tann for λ=600 nm. Dashed region denotes temperature interval where water is expelled[84]

6.1.2 塞米爾(Sellmeier)模型

(25)

注意到，當Γ=0時，有ε2=k=0，因此通過重寫上式Sellmeier模型可以表示為：

(26)

其中，λ0與ω0相對應，A和Bj為橢偏擬合中的可變量。

Sellmeier模型適用于描述透明材料(無吸收ε2=k=0)，如：SiO2、MgF2、TiO2和BK7玻璃等；或者用于描述透明介質材料，如在紅外光譜區(qū)描述Ge、Si和GaAs(砷化鎵)等。

2014年，復旦大學的D.X.Zhang(張冬旭)等人使用橢偏技術研究錫薄膜從固態(tài)變化到液態(tài)過程中光學性質的改變[82]，橢偏測試光子能量范圍

為：1.5～4.5 eV。橢偏參數擬合時，首先建立五相光學模型：硅襯底/Sn薄膜/混合物夾層/SiO2封層/大氣環(huán)境，緊接著考慮到SiO2封層在測試波段透明，于是用Sellmeier模型描述其光學性質。2016年，復旦大學的L.Yang(楊遼)等人使用橢偏分析拓撲鉍薄膜光學性質隨溫度的變化[85]。橢偏參數擬合時，根據樣品的結構建立了四層光學模型：硅襯底/Bi薄膜/SiO2層/大氣，同樣因為SiO2層的吸收很小基本可以忽略為透明介質材料，所以使用Sellmeier模型描述。

2012年，D.X.Zhang(張冬旭)等人為研究Ta2O5超薄膜光學性質與膜厚的關系，使用橢偏光譜分析技術測試了沉積在硅襯底上的Ta2O5超薄膜[81]。考慮界面層，建立的光學模型為：硅襯底/SIGS(silicon-induced gap states)界面層/Ta2O5超薄膜/環(huán)境。其中，橢偏測試的波段為300～820 nm，由于Ta2O5在此光譜范圍內是透明介電材料，所以使用Sellmeier模型描述擬合的結果如圖20所示。

圖20 550 nm處沉積在Si襯底的Ta2O5薄膜折射率實驗值和理論值隨薄膜厚度的變化[81] Fig.20 Experimental and theoretical refractive indices at 550 nm for the Ta2O5 films deposited on Si vary with thickness[81]

6.1.3 柯西(Cauchy)模型

Cauchy模型是一個由A.L.Cauchy提出的經驗模型[34]，通常用于描述材料在透明波段的色散關系。對式(25)進行級數展開，可以得到Cauchy模型的數學形式：

(27)

因此，Cauchy模型也可以看作是Sellmeier模型的數學近似，是一個經驗模型。但是Cauchy模型也可應用于材料消光系數k不為零的情況，材料消光系數k表達式為：

(28)

由Cauchy模型衍生出的柯西指數(Cauchy exponential)模型，其復折射率實部n(λ)部分保持不變，但是復折射率虛部消光系數k(λ)與波長呈指數關系，更符合材料的實際色散關系，并且使得柯西指數模型可以模擬的范圍擴大。該模型中材料的光學常數表示為:

(29)

Cauchy模型適用于擬合透明或吸收較小的材料，如：Al2O3、SiO2、MgF2、TiO2和BK7玻璃等。2015年，復旦大學的Z.Y.Wang(王子儀)等人使用橢偏技術研究氧化鋁(Al2O3)薄膜光學性質隨退火溫度和膜厚的變化時[86]，建立了五相光學模型：Si襯底/ SiO2層/ Al2O3薄膜/表面粗糙層/大氣，考慮到Al2O3薄膜在可見光區(qū)是透明的，所以使用Cauchy模型描述其光學性質。2017年，深圳大學的李彤等人將橢偏技術應用于鍵合型摻鉺納米晶-聚合物波導放大器的制備過程中[87]。他們使用橢偏技術測量分析了鍵合型摻鉺氟釔鈉納米晶-聚合物(OA-NaYF4∶Er-PMMA)薄膜的光學性質，采用Cauchy色散模型擬合出該薄膜折射率隨波長的變化。

除了一般的薄膜材料，Cauchy模型還可以應用于某些生物材料。例如，2011年浙江大學的J.Jiang和L.Zhu等人在研究沉積在疏水性聚合物膜上的自聚合多巴胺(pDA)涂層的表面特征時[88]，使用橢偏技術分別測量了懸涂在硅襯底上的PVDF膜、沉積在PVDF上的pDA層和直接沉積在硅襯底上的pDA層厚度。為了使用橢偏參數擬合出pDA層厚度，使用Cauchy色散模型描述其光學性質。其中使用的Cauchy色散模型擬合參數為An=1.45，Bn=0.01。

Cauchy模型在二維材料中也有應用。2010年，曼徹斯特大學的V.G.Kravets和A.N.Grigorenko等人在使用橢偏技術分析石墨材料和石墨烯薄片時[66]，首先直接使用Fresnel模型擬合了～1 μm厚的石墨復折射率，但是發(fā)現此方法擬合x向和z向的光學常數曲線存在一定的耦合，并且曲線也不太平滑(詳細見圖12)。為了減小曲線之間的耦合，研究人員重新使用Cauchy模型擬合了石墨材料z向的橢偏參數，結果如圖21所示。與圖12直接使用Fresnel公式擬合結果相比，使用Cauchy色散模型擬合得到的曲線更加平滑，并且有效地削弱了x向和z向光學常數曲線的耦合。第二部分研究內容是分析石墨烯薄片的光學性質，研究人員在橢偏擬合時建立了四相的光學模型：硅襯底/氧化硅層/Cauchy亞層(Cauchy sublayer)/石墨烯層，接著使用Cauchy色散模型擬合Cauchy亞層和石墨烯材料z方向的橢偏參數。其中Cauchy亞層代表石墨烯層與襯底之間的間隙層，一般認為是水和空氣，其典型的Cauchy參數值為：膜厚d為2～4 nm，A≈1.03，B≈ 0.08，C≈-4×10-4。石墨烯層的厚度為0.335 nm，最終獲得的光學常數x向分量擬合結果如圖22所示(z向擬合結果類似于石墨)。

圖21 橢偏光譜分析得到的～1μm厚石墨x向和z向的復折射率(此時z向被認為是Cauchy材料)[66] Fig.21 Complex refractive indexes in the x- and z-directions of ～1 μm thick graphite obtained by ellipsometry(optical constants of graphite with z-component being treated as a Cauchy material)[66]

圖22 采用多角度橢圓偏振光譜法分析制備在硅襯底上的石墨烯薄片的光學常數(x向)[66] Fig.22 Reconstructed x-component optical constants of graphene prepared on silicon substrate using multi-angle spectroscopic ellipsometry[66]

6.1.4 F-B(Forouhi-Bloomer)模型

F-B模型是由A.R.Forouhi和I.I.Bloomer在1986年提出的適用于半導體和介質的光學色散模型[89-90]。該模型從激發(fā)態(tài)且壽命有限的單電子推導出消光系數k的表達式，再利用Kramers-Kronig關系得到復折射率的表達式[91]。F-B模型的n、k表達式為：

(30)

(31)

其中：

(32)

(33)

(34)

n(∞)為入射光能量E趨于無窮大時材料的折射率，與經典色散模型不同，在E→∞，k(E)→0時，F-B模型認為n(∞)=1+ca，c為光速，a為正常數，則可以得到n(∞)>1。式中，i代表多項式的項數；Eg為材料的光學帶隙；A為權重因子，代表躍遷幾率，與激發(fā)態(tài)壽命成反比；B/2決定了k(E)譜的橫坐標位置；C略大于(B/2)2，與B共同決定峰值高度。同時，B0i、C0i和Qi并不是相互獨立的系數，而是由Ai、Bi、Ci、n(∞)和Eg共同決定的。

F-B模型常被用來描述半導體(禁帶寬度附近)和介質材料的光學性質。并且F-B模型中常常需要價帶和導帶態(tài)密度與能量的關系往往是拋物線型[92]。對于無定形半導體材料，k譜較為平緩，常為單峰結構，i=1即可較好地描述其色散關系[93]。對于晶體材料，k峰較為尖銳且常為多峰或帶有若干肩的單峰結構，需要用多項擬合[94]。在描述非晶態(tài)材料的光學性質時，要求該材料在光譜區(qū)的光學性質主要有價帶和導帶的帶間躍遷決定。

2017年，復旦大學的Y.J.Shi(石躍杰)等人使用橢圓偏振光譜分析技術研究了使用ALD制備的厚度小于20 nm TiO2超薄膜的光學性質和帶隙性質隨材料相變的演變[95]。厚度小于20 nm TiO2超薄膜通過ALD技術生長在Si(100)襯底上。橢偏測試的波段為200～1 000 nm。根據AFM和TEM的表征結果可知，制備薄膜表面粗糙層的厚度較小，所以在之后數據分析時建立的光學模型(四相模型：Si襯底/Tix-SiyO2界面層/TiO2/air)中不含該層。橢偏參數擬合時，考慮到F-B模型可以較為準確地對無序介質中吸收閾值附近的激勵作出適當的描述，所以使用F-B模型擬合TiO2超薄膜的光學性質。擬合得到的結果如圖23所示。

圖23 400 ℃退火后不同厚度的TiO2超薄膜復折射率譜。(a)折射率n，(b)消光系數k。(圖(a)的插圖顯示了峰位置與ALD循環(huán)數的關系，圖(b)的插圖顯示了在400 ℃下退火后不同厚度的TiO2超薄膜的(αE)1/2vs.E圖)[95] Fig.23 Complex refractive index spectra for TiO2 ultrathin films with different thicknesses after annealing at 400 ℃. (a)Refractive index n spectra, (b)extinction coefficient k spectra.(The insert of (a) shows plot of peak position versus ALD cycles. The insert of (b) shows plots of (αE)1/2vs. E for TiO2 ultrathin films with different thicknesses after annealing at 400 ℃)[95]

圖24 Al2O3/ZnO納米層狀結構示意圖[96] Fig.24 Structure diagram of the Al2O3/ZnO nanolaminates[96]

圖25 用于橢偏分析多層膜樣品的光學模型[96] Fig.25 Optical model of samples for SE analysis[96]

F-B模型還可用于擬合多層納米復合膜的光學性質。2017年，復旦大學的D.H.Li(李大海)等使用橢偏技術研究了Al2O3/ZnO多層膜系統(tǒng)[96]。將Al2O3/ZnO雙層膜結構作為一個單元，循環(huán)多個周期堆疊成如圖24所示的多層膜系統(tǒng)，并且單元中單層Al2O3和單層ZnO薄膜厚度總是相等的，研究的目的是分析不同Al2O3/ZnO單元層厚度對納米層狀結構多層膜系統(tǒng)的形貌，光學和電學性質的影響。橢偏參數擬合時，第一步是建立光學模型，根據研究樣品的性質，李大海等人建立了如圖25所示的三層膜結構，分別為：硅襯底/SiO2層/AZO(Al2O3/ZnO多層膜系統(tǒng))。第二步使用色散模型擬合橢偏參數時，使用F-B模型擬合AZO層的光學常數和厚度。擬合得到的膜厚與TEM測試的結果相符，說明光學模型和色散模型選擇都比較恰當。擬合的AZO層復折射率如圖26所示。

圖26 生長在SiO2/Si襯底上的納米層狀結構多層膜系統(tǒng)的光學常數。(a)折射率n;(b)消光系數k[96] Fig.26 Optical constants of nanolaminates grown on SiO2/Si substrate. (a)Refractive index n； (b)extinction coefficient k[96]

近幾年來，對于太陽能材料的研究開展地如火如荼。其中最典型的一種材料就是鈣鈦礦薄膜(CH3NH3PbI3，Perovskite Thin Films)?？紤]到其納米晶體的性質，常常使用F-B模型和Jobin Yvon參數化后的F-B模型擬合其光學性質[97]。2014年，瑞士University of Ljubljana的P.L?per和M.Stuckelberger等人使用橢偏技術分析了CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜的復折射率光譜[98]，首先建立四相光學模型：玻璃襯底/CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜/表面粗糙層/大氣環(huán)境，如圖27(a)所示。之后使用Jobin Yvon參數化后的F-B模型擬合了CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜的復折射率光譜，擬合結果如圖27(b)所示。

圖27 CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜橢偏分析。(a)作為光學模型的樣品結構，(b)復折射率光譜[98] Fig.27 SE analysis of CH3NH3PbI3 perovskite thin films. (a)Sample structure used for the optical model, (b)refractive index[98]

同年，北京大學的Z.Xie等人同樣使用橢偏技術分析了CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜的復折射率光譜[99]。不同的是，結合AFM表征結果，他們發(fā)現鈣鈦礦薄膜中常常存在不定量的孔隙，且越靠近表面薄膜越疏松，表面粗糙度很大。于是建立了如圖28所示的光學模型。

圖28 在石英襯底上CH3NH3PbI3膜的表面粗糙層三層膜結構光學模型的示意圖[99] Fig.28 Schematic of the three-layer surface roughness model of the CH3NH3PbI3 film on a quartz substrate[99]

圖28中，底層充滿了CH3NH3PbI3材料，而中間層和最上層是具有不同百分比空隙的CH3NH3PbI3材料。各層結構的厚度和空隙占有率都是待擬合的參數(上圖中標注的數據為擬合結果)。而CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜材料光學常數的擬合同樣使用的是Jobin Yvon參數化后的F-B模型，擬合結果如圖29所示。

圖29 計算得到CH3NH3PbI3材料的復折射率譜[99] Fig.29 n(λ) and k(λ) results of CH3NH3PbI3 material[99]

比較兩研究團隊對鈣鈦礦材料的復折射率擬合結果，可以發(fā)現兩者建立的用于擬合的光學模型不同，最終擬合的結果在對應波段也略有不同。

引起這些差異的因素除了擬合時選用了不同的光學模型，也與制備樣品的差異和選用了不同的襯底等因素有關。但是因為測試波段內鈣鈦礦材料的光學特性相同，所以兩團隊都使用了相同的色散模型進行擬合，說明擬合步驟中光學色散模型的選取需要依據材料在相應橢偏測試波段的性質。

6.1.5 Tauc-Lorentz模型

Tauc-Lorentz模型基于J.Tauc等人提出的半導體帶邊理論[76,100]。適用于描述非晶態(tài)材料或透明導電氧化物。使用Lorentz模型計算出材料復介電函數的虛部ε2是完全對稱的，由于非晶態(tài)材料的ε2峰表現出不對稱的形狀，所以在Tauc-Lorentz模型中，ε2的建模是通過創(chuàng)造一個特殊的帶隙(稱Tauc帶隙)，同時結合Lorentz模型進行計算的[34]。

非晶態(tài)材料的Tauc帶隙能量Eg使用下式計算：

ε2=ATauc(En-Eg)2/En2.

(35)

再將上式ε2表達式代回Lorentz經典表達式(式(24))，得到非晶態(tài)半導體材料復介電函數虛部的表達式如下：

(36)

式中A、C為擬合參數，分別表示Tauc-Lorentz振子的振幅和阻尼因子(C=Γ)，En0為Tauc-Lorentz振子的中心能量，Eg為帶隙能量，復介電函數的實部由Kramers-Kronig關系積分得到。相對于Lorentz振子模型，Tauc-Lorentz模型能夠更好地描述半導體材料在帶邊附近的光學常數，并且可以解決F-B模型中能量在帶隙下消光系數k不為零的問題，提出后獲得了廣泛的使用。

Tauc-Lorentz模型適用于擬合非晶態(tài)材料和透明導電氧化物類型的材料。上節(jié)中鈣鈦礦材料擬合使用的色散模型都是Jobin Yvon參數化后的F-B模型。但是根據發(fā)表的文獻，鈣鈦礦材料在其他波段的橢偏擬合也可以使用Tauc-Lorentz模型。例如：2016年，復旦大學的Z.Y.Wang(王子儀)等人在使用橢偏技術研究水合物含量對一步法制備的CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜性質的影響時[101]，按照使用光學色散模型擬合橢偏參數的步驟，首先建立了光學模型：石英襯底/PEDOT∶PSS緩沖層/CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜/表面粗糙層/大氣環(huán)境。為了準確擬合PEDOT∶PSS緩沖層的光學常數，接下來使用橢偏技術單獨測試了只覆蓋緩沖層的石英襯底(石英襯底/PEDOT∶PSS緩沖層)，擬合得到緩沖層光學常數。最后使用Tauc-Lorentz模型擬合了不同水合物含量的CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜光學常數，如圖30所示。

圖30 不同水合物含量的CH3NH3PbI3薄膜復折射率譜。(a)復折射率實部n，(b)復折射率虛部k[101] Fig.30 Complex refractive index of CH3NH3PbI3 film with different levels of hydration water. (a)The refractive index n, (b)the extinction coefficient k[101]

之所以與之前介紹的研究小組使用了不同的色散模型，是因為兩次使用的橢偏測試波段不同，更深層次的原因在于同種材料在不同波段的性質不同。Jobin Yvon參數化后的F-B模型適用于在可見或遠紫外(FUV)區(qū)有吸收的非晶態(tài)材料(包括吸收電介質、半導體材料和聚合物等)。與Tauc-Lorentz模型相比，后者在實驗材料的吸收區(qū)擬合的更好，前者適用于更寬波段的擬合[97]。瑞士盧布爾雅那大學和北京大學的研究團隊橢偏測試的波段為300～2 000 nm，此波段是包含吸收波段在內的更寬范圍，而復旦大學王子儀測試的波段為300～900 nm，更專注于吸收波段的橢偏參數擬合。2015年，日本岐阜大學(Gifu University)的Masaki Shirayama和Hideyuki Kadowaki等人在研究混合鈣鈦礦太陽能電池中的光學躍遷時使用了橢偏技術[102]。其中在測試混合鈣鈦礦太陽能電池中CH3NH3PbI3鈣鈦礦薄膜的光學性質時同樣使用的是Tauc-Lorentz模型(入射光子能量范圍為0.7～5.2 eV)。

Tauc-Lorentz色散模型還可應用于具有鐵電性和反鐵磁性材料光學性質的研究。2008年，J.F.Ihlefeld和N.J.Podraza等人使用橢偏技術分析了分子束外延生長(Molecular-beam epitaxy， MBE)的BiFeO3的光學帶隙[103]。按照樣品結構，研究人員建立了四相光學模型擬合橢偏參數，從下而上分別為：半無限厚SrTiO3襯底/ BiFeO3膜/表面粗糙層/大氣環(huán)境。其中，BiFeO3膜的光學常數就使用Tauc-Lorentz四振子模型擬合得到。

Tauc-Lorentz色散模型在納米晶體中也有應用。2017年，突尼斯Université de Gabès的F. Chaibi和R. Jemai等人在進行等離子體增強化學氣相沉積法制備nc-Si∶H薄膜過程中氬和氦的稀釋效應研究時[104]，借助了橢偏技術測試了制備出薄膜的厚度。他們選用Tauc-Lorentz色散模型擬合了沉積在n型硅單晶襯底上的Si∶H薄膜的光學常數。

6.1.6 Drude模型[40]

Drude模型又稱為自由電子氣模型，適用于描述金屬自由電子和半導體中自由載流子吸收使復介電函數發(fā)生變化的情況。當半導體中的自由電子以波矢K運動時，受到點缺陷的散射，散射后波矢變?yōu)镵′，則自由載流子吸收就發(fā)生了。自由載流子吸收與點缺陷對自由載流子的散射如圖31所示。

圖31 半導體中自由載流子吸收示意圖。(a)自由載流子吸收，(b)點缺陷對自由載流子的散射[34] Fig.31 Representation of free-carrier absorption in a semiconductor. (a)Free-carrier absorption,(b)scatter between free-carrier and point defect[34]

歷史上，Drude模型先于Lorentz模型被提出[74-75]，但Drude模型很容易由Lorentz模型推導出來。在Drude模型中，金屬或者說導體中的電子被看作自由電子氣，將帶正電的原子核背景作為電荷補償。自由電子不斷地運動并從不同的速度方向受到散射，仍遵循牛頓定律。Drude認為這種運動與電流流過金屬產生焦耳熱的現象相同，他將散射歸因于帶電粒子之間的碰撞(例如，電子與帶正電原子核)。實際上，這是因為固體偏離完全周期性，例如室溫下的晶格振動[40]。按照這樣的理論，自由電子不進行受迫振動，但仍受到正比于電子速度的阻尼力，此時式(20)等號右邊第二項的回復力等于0，得到Drude模型的表達式[34]為：

(37)

其中，

(38)

(39)

(40)

式中，Ep和γ表示等離子體能量和角頻率的拓寬參數，ε∞為高頻復介電函數，ωp為等離子頻率，En為入射光子能量，ν為電子散射頻率。

Drude模型是用于描述金屬材料(如：Au、Ag和Cu等)或自由載流子濃度大的半導體。1983年，University of Missouri的M.A.Ordal和L.L.Long等人使用Drude模型擬合得到了包括鋁、鈷、銅、金、鐵、鉛在內的一共12種金屬在紅外和遠紅外波段的光學性質[105]。

使用Drude模型描述金屬的光學性質時常常結合Lorentz模型，稱作Drude-Lorentz(DL)模型。DL模型常用來描述紅外頻率區(qū)域的自由電子帶內躍遷和可見/近紫外區(qū)域的束縛電子帶間躍遷。該模型的表達式為[85,106]：

(41)

式中，ε、ε∞、Ep和Γp分別代表復介電函數、高頻介電函數、等離子頻率和Drude拓展。Aj、Ej和Γj分別表示第j個振子的強度、第j個振子的能量和第j個振子的阻尼。

2016年，南京郵電大學的E.T Hu(胡二濤)等人使用橢偏技術研究納米金屬薄膜厚度依賴的復介電函數[106]。由于所研究的金(Au)在可見/近紫外波段帶間躍遷中具有非對稱的躍遷線型，使用DL模型描述時會引入“人為”的(即不具有物理意義的)參數，所以胡二濤等使用Drude和臨界點(Drude and critical points，即DCP)模型擬合可見/近紫外波段Au的帶間躍遷[106-107]。DCP模型表達式如下[106]：

(42)

其中兩個臨界點分別對應于Au可見/近紫外波段的兩個帶間躍遷。與式(41)相比式(42)DCP模型引入φ參數表示帶邊效應。DCP模型滿足K-K關系，但不滿足“等離子總和規(guī)則”，所以只適用于有限的頻率區(qū)間[107]。利用DCP模型擬合300～1 100 nm波段的納米金薄膜的復介電函數，擬合時建立的四相光學模型包含：K9玻璃/Au層/表面粗糙層/空氣，擬合的結果如圖32所示。

圖32 不同厚度納米金薄膜的復介電函數。(a)實部，(b)虛部[106] Fig.32 Dielectric functions of the nano-thin Au film with different thicknesses. (a)Real parts, (b)imaginary parts[106]

6.2 有效介質近似模型及其應用

前面介紹的幾種色散關系都是針對單一均勻材料，但實際制備的材料往往是不均勻的。如薄膜材料，表面通常會有粗糙層；或者兩種材料界面處產生的過渡層；或者某些情況下需要研究摻雜對于材料性質的影響等；也或者材料并不致密，中間存在孔隙等情況。而橢偏分析對于研究對象的表面和界面結構十分敏感，所以此時就需要考慮這些結構對材料光學性質的影響，就需要建立一種模型來正確描述多種材料復合后的介質所呈現的等效復介電函數。

有效介質近似(Effective Medium Approximation，EMA)模型就是在這一背景下由D.Bruggeman首先提出的[108]，該模型多用于描述多種復合介質的有效復介電函數，利用復合材料中各組分材料的含量及其原始復介電函數，就可以計算出復合材料的等效復介電函數，與此同時也可以獲得復合材料中各組分的體積分數。EMA模型的一般表達式如下[108-109]：

(43)

其中，m為復合材料中包含的不同組分的數量，εj為第j種組分的復介電函數，fj為第j種組分的體積含量，〈ε〉為復合材料的等效復介電函數，εh為基質介質的復介電函數，γ是與退極化因子L有關的常數，隨摻入材料的形狀而改變：

(44)

若復合材料中摻雜材料的形狀是顆粒，則不同的L值代表不同的形狀：當0

有效介質近似模型多用于描述含有多種組分的復雜材料，例如：不同介質分界面處的過渡層、材料表面的粗糙層、多孔材料(包括金屬材料和空洞構成的金屬薄膜)、摻雜材料、合金和多晶硅等。2017年，復旦大學的S.D.Yang(楊尚東)等人使用橢偏技術研究鉍硒合金(Bi2Se3)的結構對其光學性質的影響(結構由納米晶體變化到納米薄片)[110]。為了擬合得到樣品的光學常數，研究人員根據所制備樣品的結構特征建立了四層光學模型：襯底/Bi2Se3薄膜/表面粗糙層/大氣環(huán)境。其中，表面粗糙層視為Bi2Se3介質和大氣的混合，其光學性質就使用EMA模型描述，并且沒有對介質的體積分數進行人為規(guī)定，由擬合結果的RMSE(root-mean-square error)來確定擬合結果的準確性。

EMA模型不僅僅適用于擬合傳統(tǒng)意義上由多種介質混合構成的復雜材料。同種材料由于處于不同的狀態(tài)導致其光學性質存在差異，所以處于不同狀態(tài)的同種材料構成的復合介質在光學研究中仍不能作為單一均勻材料處理，此時也可以使用EMA模型進行擬合。2004年，德國漢堡大學B.Schulz和D.Chan等人使用橢偏技術對指甲中角蛋白組織的水合和脫水過程進行研究[67]。研究人員將角蛋白組織中的水分為3種狀態(tài)：自由水(復折射率為free)、結合水(復折射率為bound)、環(huán)境水。3種狀態(tài)水之間的轉化使用速率方程來表示，并且通過指甲光學常數的變化來描述水合和脫水的過程。較為新穎的是指甲光學常數的擬合過程中兩次使用EMA模型。研究人員使用3種組分構成擬合時使用的光學模型：①基本基質材料；②結合了自由水的指甲組織；③結合水-角蛋白復合物。首先將③嵌入②的復雜材料作為中間介質，使用一次EMA模型，其中③的體積分數為：q=bound/(free+bound)；第二步，再次使用EMA模型擬合由中間介質嵌入①構成的復雜體系的光學常數，其中中間介質的體積分數為：q=(free+bound)/(free+bound+1)，最終的擬合結果如圖33所示。

圖33 指甲的光學常數和實驗值(垂直虛線表示從水合作用到脫水作用的變化)[67] Fig.33 Optical constants and experimental values of finger nail.(The vertical dashed line marks the change from hydration to dehydration)[67]

根據基質材料的選擇不同，EMA模型又分為3種：Lorentz-Lorentz模型、Maxwell-Garnett模型和Bruggeman模型。3種模型分別適用于不同種類的復合材料，其中含有兩種組分的Maxwell-Garnett模型和Bruggeman模型的物理模型如圖34所示。

圖34 有效介質近似理論的物理模型。(a)Maxwell-Garnett模型;(b)Bruggeman模型[34] Fig.34 Physical models for effective medium theories. (a)Maxwell Garnett, (b)Bruggeman[34]

6.2.1 Lorentz-Lorentz模型

對于Lorentz-Lorentz模型，令εh=1，表示選擇大氣(空洞)為基質材料。Lorentz-Lorentz模型基于Clausius-Mossotti方程，是最早出現的EMA模型[40]。它假定各個組分是在原子尺度上的混合，因此在描述真實材料方面的應用存在限制，因為復合材料往往是在更大的尺度上的混合。Lorentz-Lorentz模型的表達式如下：

(45)

Lorentz-Lorentz模型通常用于描述孔隙型材料。

6.2.2 Maxwell-Garnett模型

Maxwell-Garnett模型中εh=εl，將最大占比的組分作為基質材料(其復介電函數為εl)。當摻雜物的比例顯著小于主體材料的比例時，Maxwell-Garnett模型最實用。Maxwell-Garnett模型的表達式如下：

(46)

Maxwell-Garnett模型適用于具有非對稱結構的復合材料，或者復合材料中只有少量組分摻雜的情況，并且摻雜組分鑲嵌在基質材料中，被基質材料完全包圍(如圖34(a)所示)。最典型的是用于擬合遠低于滲透閾值時，金屬顆粒摻雜介質基體或納米晶體嵌入其他基體形成的復合材料。

2009年，復旦大學的R.J.Zhang(張榮君)等人使用橢偏技術研究了嵌入在SiO2基體中Si納米晶的尺寸對其復介電函數的影響[111]。使用超晶格方法制備了該樣品，通過改變SiOx層的厚度實現了Si納米晶尺寸的調控。此復雜體系采用三介質模型描述，依次為：c-Si襯底/nc-Si∶SiO2超晶格層/SiO2層。其中nc-Si∶SiO2超晶格層的復介電函數使用Maxwell-Garnett模型進行擬合。

6.2.3 Bruggeman模型

Bruggeman模型εh=〈ε〉，這是一種自洽的假設，有效介質即為基質材料。用于擬合組成復合材料各組分含量相近，無法分辨摻雜物和環(huán)境介質的情況。其物理模型如圖34(b)所示，表達式為：

(47)

Bruggeman模型最常用來描述復合材料各組分隨機組合的情況，材料表面粗糙層就可用Bruggeman模型進行建模(50%真空和50%底層材料)。文獻[86]、[98]、[101-103]、[106]和[112]中的表面粗糙層的光學性質均采用了Bruggeman模型建模(50%真空和50%底層材料)進行描述。不同介質界面處的過渡層也常用此模型建模。例如：文獻[102]中兩種介質之間的過渡層就采用Bruggeman模型擬合，擬合時選取的比例為：50%上層介質和50%下層介質。

通常使用Bruggeman模型擬合表面粗糙層時均采用50%真空和50%底層材料的比例形式。但在某些情況下擬合時選取的比例也可能不是1∶1。例如：2009年K.Takeuchi和S.Adachi在研究β-Sn薄膜的光學性質時[113]，建立了四層膜的光學模型：Si襯底/β-Sn薄膜/表面粗糙層/大氣環(huán)境(如圖35所示)，擬合表面粗糙層時使用的是Bruggeman色散模型，該層包含兩種組分：β-Sn介質和大氣，其中β-Sn介質所占比例為67%。

圖35 β-Sn薄膜樣品的光學模型示意圖[113] Fig.35 Schematic of the layer structure for the β-Sn film sample[113]

7 橢偏技術的發(fā)展方向

橢偏技術由于具有非接觸、靈敏度高、無破壞性和測量速度快等優(yōu)勢，所以常常作為薄膜測量工具廣泛應用于現代半導體工業(yè)中。隨著半導體薄膜生長工藝的日新月異，薄膜的厚度越來越??；所使用的薄膜材料也更加多種多樣；薄膜結構也能變得更加復雜；與此同時，很多加工工藝已經進入納米級別，故而對于橢偏技術的要求也越來越高。下面對橢偏技術未來發(fā)展方向做簡要的展望與分析：

7.1 提高測量準確度

橢偏技術從Drude提出其測量原理以來對測量的準確度一直有著很高的要求。橢偏測量的準確度已經從1%提高到了0.1%[7]，但仍不能完全滿足現代工業(yè)生產的需求，需要得到進一步的提高。

除了從橢偏原理的研究與發(fā)展之外，根據前文對橢偏技術原理及參數分析的介紹可知，橢偏技術是間接測量手段，其準確度依賴于橢偏參數分析階段對樣品建立光學模型的符合程度，尤其需要考慮當前研究條件下是否需要加入界面層和表面粗糙層對橢偏參數擬合結果的影響。同時，為當前測試波段和環(huán)境條件下的材料選擇合適的光學色散模型也是對擬合結果準確性的保證。

必要時可以結合其他薄膜測量技術，同時評估多平臺的測試結果以保證測量結果的準確性。例如：多數時候使用橢偏技術擬合薄膜的光學常數時，可以根據同步擬合獲取的膜厚數據和TEM測試的膜厚數據進行比較，判斷建立的光學模型和選取的光學色散模型是否準確。2015年和2017年，復旦大學的Z.Y.Wang(王子儀)和D.H.Li(李大海)等人就先后利用此方法檢驗了擬合結果的準確性[86,96]。除了TEM測試，橢偏技術還經常與XRD[84]、AFM[73,86,96]、Raman[73]等測試手段聯(lián)合使用。圖36是近年來橢偏技術和其他表征技術“合作情況”的統(tǒng)計圖。

圖36 用于分析(a)薄膜和(b)納米結構的橢偏技術和其他表征技術“合作情況”的分布統(tǒng)計圖(AFM：原子力顯微鏡；SEM：掃描電子顯微鏡；TEM：透射電子顯微鏡；XPS：X射線光電子能譜；XRD：X射線衍射光譜)[114] Fig.36 Distribution of techniques corroborating spectroscopic ellipsometry(SE) for analysis of (a)thin films and (b)nanostructures(AFM:atomic force microscopy; SEM:scanning electron microscopy; TEM:transmission electron microscopy; XPS:X-ray photoelectron spectroscopy; XRD:X-ray diffraction)[114]

在實際應用中，其他測試手段的測試結果除了可以對橢偏擬合結果的準確性進行驗證，還常?？梢暂o助橢偏參數擬合階段光學模型的建立。例如：利用AFM表征可以獲得薄膜表面粗糙層的厚度。獲得的粗糙層厚度數據一方面可以進一步用于擬合；另一方面，研究人員還可以根據膜厚大小判斷該厚度的表面粗糙層是否會對薄膜性質產生影響，而進一步決定是否在光學模型中加入該層[96]。利用XRD測試可知材料的結晶情況，2015年，Indian Institute of Technology Madras的M.Ghosh和L.Pradipkanti等利用XRD測試獲取了氧化石墨烯層間結合水全部除去所需的退火溫度，高于該溫度的橢偏參數擬合模型中就沒有考慮水層[84]。

除了圖36中所列舉的薄膜表征手段，還有一些可用于薄膜性質檢測的技術。例如：超快光譜技術[115-116](Ultrafast Spectroscopy)和光致發(fā)光技術(Photoluminescence Spectroscopy)[117-118]。利用橢偏技術可以分析得到材料的能隙，但無法直接獲得其能級上載流子的動態(tài)信息，例如：電子的轉移和耦合，激子的分離等。而超快光譜技術已成功實現對于載流子動態(tài)信息的測量，例如：用于低維材料如超晶格、量子阱、量子線等結構對載流子的限制作用所帶來的新現象的研究；用于二維材料異質結中載流子的躍遷和弛豫過程，激子分離過程的研究[119-121]。PL技術可測定半導體材料的帶隙或雜質能級及其缺陷位點[122]，通過將PL技術與激光或時間分辨光譜結合，也可用于研究表面的分子遷移和電子轉移過程，光生電子和空穴的復合過程[117]。與此同時，超快光譜技術和PL技術廣泛應用于二維材料中激子特性的研究[119]，所以在未來對二維材料及其構建的異質結結構帶隙性質，載流子輸運，激子分離等性質的研究中，有望將橢偏技術與二者相結合，比較橢偏技術與PL技術對材料帶隙參數的測試結果，并使用超快光譜技術和PL技術進一步對異質結結構中材料載流子和激子的動態(tài)過程進行研究，使研究內容更加完整及豐富。

在橢偏測量數據的處理方面，P.H.Mao(毛鵬輝)等人[123]提出了一種旋轉起偏器及檢偏器橢圓偏振儀的誤差分析與算法，有助于提高測量準確度。以Au塊狀樣品為例，對該方法進行了驗證。結果表明，通過提高偏振態(tài)的采樣率，可以單調地減小離散傅立葉變換(DFT)引起的系統(tǒng)誤差。為了進一步提高儀器在相同采樣頻率下的測量精度，提出了一種自洽橢偏參數差分布的線性擬合逼近方法，可以有效提高測量參量的準確度，并進行了理論模擬和實驗測量，兩者結果相吻合。

通過建立橢偏技術與其他測試手段的“合作”，無論是輔助建模還是比較多平臺的測試結果，最終都可以有效地提高橢偏參數擬合的準確度，并互相補充研究內容，使研究更加完整及豐富，為材料之后的應用奠定堅實的理論基礎。

7.2 擴大測量波長范圍

隨著材料科學的不斷發(fā)展，不少新材料的性質(如能隙等)出現在紅外或紫外波長區(qū)域[124-125]。并且隨著薄膜加工工藝的發(fā)展，薄膜的結構越來越復雜，出現了多層膜結構和納米結構的應用[34]。這些都要求尋找較高強度的紅外光源，拓寬橢偏儀的測試光譜范圍[37]。

而隨著技術和理論的發(fā)展，橢偏技術今天已經能夠完成從遠紅外到真空紫外的廣泛波段的測量[124-125]。如：IRSE(遠紅外橢偏儀)測量波長可達1 850 nm甚至更高[124]，而VUVSE(真空紫外橢偏儀)測量波長可達135 nm[125]。例如：2014年中國科學院長春光學精密機械與物理研究所的王珣等在總結并討論極紫外光刻技術中有關極紫外光學器件受輻照污染的一些常用的“在線”檢測方法時[126]，就介紹了一種將橢偏儀與保偏光纖結合起來的保偏光纖橢偏儀。該橢偏儀的結構如圖37所示。

圖37 基于光纖的橢偏儀結構圖[126] Fig.37 Structural diagram of fiber-based ellipsometry[126]

保偏光纖偏振光譜儀將橢偏儀與保偏光纖結合起來，既利用了橢偏儀的優(yōu)點，同時引入保偏光纖很好地將光傳遞到樣品上，是目前最適合用于EUV光刻系統(tǒng)中使用的“在線”污染檢測技術。

此外，太赫茲(THz)射線由于普遍存在，脈寬短(皮秒量級)，所以方便時間分辨方面的研究。同時，許多生物大分子的振動和轉動能級、許多材料的聲子振動能級位于太赫茲波段的范圍(包括：電介質材料、半導體材料、超導材料和薄膜材料等)，且THz光子能量低對樣品傷害較小，因此利用THz時域光譜技術探測材料在THz波段的吸收光譜，進一步應用于對物質結構與物性進行分析和鑒別?；赥Hz的種種潛力，研究人員也一直致力于將橢偏儀的測試波段進一步延伸到THz，基于THz橢偏儀可以測試介電材料的“Soft Modes”[127]、復雜生物組織[128](如：DNA[129]、人類疤痕[130]等)、自旋振動[131]、反鐵磁共振[132]、鐵電領域[133]等。但是將橢偏儀在THz波段的設計面臨了嚴峻的挑戰(zhàn)：首先，精確控制和操縱偏振器件比較困難；其次THz的發(fā)射源一般使用Hofmann T等人[134]設計的一次反向波振蕩器(Backward Wave Oscillator,BWO)，但是BWO需要抑制駐波，從而避免斑點的形成；再者基于自由空間偏振光譜儀的入射角難以靈活的控制。就以上存在的問題，香港中文大學的X.Q.Chen和E.P.J.Parrott等人于2018年設計了一個全光纖時域THz橢偏儀(Time-Domain Spectroscopic，TDS)[135]。該設計對橢偏儀的入射角控制具有良好的魯棒性和精確性，并提出算法來精確補償相位偏差并限制偏振片的消光比(Extinction Ratio，ER)。但是THz TDS的數據常常需要調整以去除來自襯底厚度干涉的回波脈沖，這種調整限制了光譜分辨率。同年同期瑞典Link?ping University的Philipp K.和Nerijus A.等利用傅立葉變換將THz TDS轉換到頻率域[136]，該橢偏儀稱為頻域THz橢偏儀(Frequency-Domain Spectroscopy,FDS)。該設計基于傳統(tǒng)RAE的原理并加入其他元件(如圖38所示)。該THz FDS可以完成標準和廣義的多角度橢偏測試，并且給出了BWO駐波抑制和頻率校對的方法，并利用該THz FDS完成了各向異性材料介電常數的測試。由此看來THz波段橢偏儀的性能提升和應用研究還有待研究人員進一步探索。

圖38 (左上)THz FDS橢偏儀的俯視圖；(右下)THz FDS橢偏儀的技術制圖的俯視圖與主要組件(不包括吸波泡沫板和外殼)[136] Fig.38 (Top left) Photograph(top view) of the THz FDS ellipsometer.(Bottom right) technical drawing(top view) of the THz FDS ellipsometer with major components indicated and without absorbing foam sheets and housing[136]

橢偏儀測量波段的擴展也是橢偏技術未來的必然發(fā)展趨勢之一。

7.3 拓寬橢偏技術應用領域

橢偏技術在物理、化學、材料科學、微電子技術、薄膜技術、表面和界面技術等方面的應用已經成熟。橢偏技術發(fā)展至今，在工業(yè)、生物學、醫(yī)學以及航天技術方面也得到了越來越多的應用。同時，橢偏技術研究的對象也從固體樣品擴展到液態(tài)樣品，促進了生物科學以及醫(yī)學方面的應用[137]，如：與CCD技術相結合實現對生物芯片的研究[137]，對蛋白質膜層吸收的研究[138-139]，對微生物的研究與辨別等[140]。

近幾年，隨著納米加工技術日漸成熟，用戶對于器件性能的要求也越來越高，即追求器件的柔性和微型化并進一步向可穿戴式演變，這使得研究人員對二維材料和光子晶體的關注度也隨之攀升。而實現該材料應用的前提是了解其性質，橢偏技術因其高精度和非接觸等優(yōu)勢被廣泛應用于二維材料和光子晶體光學性質的研究。早在2006年，來自臺灣的C.H.Lin和H.L.Chen等人就使用橢偏技術結合嚴格耦合波分析(Rigorous Coupled-Wave Analysis,RCWA)對電子束光刻法制作的硅棒二維平方晶格光子晶體試驗樣品的光學性質進行了研究[141]，模擬出了該樣品的反射光譜，直接反映了其光子帶隙。而二維材料的種類十分豐富，關于光學和電學相關應用研究的熱門材料主要為石墨烯[66,142]及過渡金屬二硫化物(Transition Metal Dichalcogenide,TMDs)[73]。使用橢偏參數可以判斷所研究二維材料的原子層數信息，進一步分析可得其光學常數[143]。

但是，由于二維材料厚度極薄(原子級別)并且具有吸收性質，所以使用光學色散模型擬合橢偏參數(ψ,Δ)期望同時獲取該薄膜的厚度和光學常數(n,k等)比較困難會出現數據的耦合而降低橢偏測試的靈敏度，在橢偏參數測試時可以使用干涉增強法改善[142]。此外，在橢偏參數擬合時使用點對點方法也可以較準確獲得薄膜光學常數，但是使用此方法擬合之前需要較準確地獲取薄膜的厚度，可借助TEM等薄膜表征手段[73]。

另外需要注意的是光子晶體具有各向異性，其光學常數與方向有關。此時，對于這種復雜結構薄膜的測試可以使用穆勒矩陣橢偏儀。穆勒矩陣橢偏儀與傳統(tǒng)橢偏儀相比，前者測量了樣品的全部穆勒矩陣參數(傳統(tǒng)橢偏儀只測量部分穆勒矩陣元素)，因此可以測量獲得樣品更加豐富的信息(如：各向異性)，該類型橢偏儀被廣泛運用于微納結構的測量，包括：光子晶體和光柵等[31-32]。并且由于其非接觸、非破壞和高精度等優(yōu)點，在復雜結構分析上比傳統(tǒng)SEM、AFM和激光衍射(Laser Diffraction，LD)等技術更有優(yōu)勢[144]。2017年，挪威NTNU Norwegian University of Science and Technology的J.P.Banon和I.Simonsen等人[145]使用穆勒矩陣橢偏儀、減瑞利方程(Reduced Rayleigh Equation,即RRE)并結合一個優(yōu)化方案完成了等離子體光子晶體臨界尺寸測量(研究樣品為：熔融二氧化硅作襯底表面排列半球狀金粒子構成的二維光子晶體)。

圖39 雙旋轉補償器型穆勒矩陣成像橢偏儀測量原理示意圖[146] Fig.39 Scheme of the dual rotating compensator Mueller matrix imaging ellipsometer[146]

在此基礎上，2016年華中科技大學數字制造裝備與技術國家重大實驗室，又進一步將穆勒矩陣橢偏儀與顯微成像技術相結合發(fā)展穆勒矩陣成像橢偏測量技術(Mueller matrix imaging ellipsometry,即MMIE)并將其用于納米結構幾何參數的大面積測量[146]，其結構如圖39所示。

MMIE突破了橢偏光譜測量技術和穆勒矩陣橢偏測量技術橫向分辨率由測試時照射至樣品表面的光斑直徑和樣品臺移動精度決定的瓶頸。具有對整個視場內的各個像素點進行大面積獨立測橢偏參數的能力，由此可以實現對樣品狀態(tài)的實時觀測并重構其三維顯微形貌，同時準確地確認被測區(qū)域。這樣一來，首先在保證縱向分辨率(通常指膜厚測量精度為埃級)的情況下，優(yōu)化儀器的橫向分辨率(可達幾個微米量級甚至光學衍射極限水平)；其次，提高了對大面積樣品的分析測試效率。

磁光橢偏技術是近幾年發(fā)展起來的新技術，它可以實現在一臺儀器中對磁性材料磁光性質與光學性質的同時測量(同時測得材料的磁光耦合系數和復折射率)[147]。磁光橢偏技術結合了磁光克爾效應(Magneto-Optical Kerr Effect,MOKE)與橢偏技術，通過探測克爾效應引起的反射光偏振狀態(tài)的改變，從而給出體材料和納米磁性膜的磁光特性(如：材料的磁化方向)，對研究磁性材料的磁各向異性、磁耦合等具有重要的意義，具有良好的發(fā)展前景。例如：和磁控濺射設備結合，實現在薄膜生長過程中進行原位測量，是檢測和指導薄膜生長的重要工具；還為現有磁光薄膜材料的升級和尋找新型磁光材料提供可靠的理論與實驗支持。但是由于納米薄膜材料太薄，使用磁光橢偏儀測試時，得到反射光偏振態(tài)的變化很小，其攜帶的磁致反射信號也就很小，信號信噪比較低。因此納米薄膜的磁光橢偏技術面臨著微弱信號檢測以及提高信噪比兩大問題[148]。磁光橢偏儀也是未來橢偏儀的一個重要分支，期待該技術的進一步完善和提升。

橢偏技術應用領域的拓寬是未來橢偏技術應用的一個最重要方向。同時，應用領域的拓寬也催化了科研人員們對橢偏儀性能提升的探究。

7.4 其他發(fā)展方向

從橢偏測量方法誕生至今，研究人員們對于橢偏技術測量速度的提高、測量時間的縮短的努力未曾停止過。就應用最廣的光度式和消光式橢偏儀來說，兩者都可以采用如圖4所示PCSA的結構，測量時都需要轉動P、C或A的方位角，這一過程可以手動完成；也可以借助計算機程序操縱機械轉動；還可以應用電光調制或光彈技術進行無機械轉動的相位調制橢偏測量，對比之下，運用非機械轉動的偏振態(tài)變化原理完成測量的速度顯然是最快的。所以，真正決定橢偏測量速度的是測量的自動化程度[45]。除了上述的方案之外，研究人員還提出了很多提升橢偏儀測試速度的設計，例如：引入能夠同步進行數據獲取和處理的控制系統(tǒng)有效縮短測量時間，或者利用優(yōu)化算法較快求出參量等等，都有利于增強橢偏儀的在線檢測和控制功能[37]。加快橢偏儀器的測量速度一直是研究人員努力的方向之一。

除了常用的使用空間分辨橢偏儀分析薄膜樣品不同位置處的光學性質，時間分辨橢偏技術也是近幾年熱門的研究方向。時間分辨光譜分析可以記錄一段時間光譜隨時間的變化，進一步分析了解在各個瞬時狀態(tài)薄膜材料的性質，從而記錄材料性質變化的過程?？捎迷诠に嚿a中薄膜制備過程的監(jiān)測，實時掌握薄膜狀態(tài)。

8 結束語

橢偏技術因其具有非接觸、高精度、非破壞性的特性，并且能夠獲得包括樣品的光學、電學、結構(多層結構)、化學組分等信息的綜合測量特點受到了廣泛應用。

橢偏原理首先由Drude教授在19世紀末提出。初期階段，科學家們主要使用手動消光式橢偏儀進行測試，但是測試的精度和速度等并沒有明顯的優(yōu)勢，所以應用和推廣受到了限制。直到1973年計算機技術與橢偏技術相結合，光度式橢偏儀進入人們的視野，測試的準確度、數據處理及運算速度都有重大飛躍，從此橢偏技術得到了國內外學者的廣泛關注和應用。與國外的橢偏研究相比，國內的發(fā)展雖然起步有點晚，但是發(fā)展相當迅速。

橢偏儀(反射式)是測量線偏振光經材料表面反射后，光的相對振幅與相位改變量的儀器。根據測試原理的不同，主要分為消光式和光度式兩類。光度式橢偏儀測量速度明顯快于消光式橢偏儀，特別適用于在線檢測和實時測量等工業(yè)領域。橢偏儀種類繁多，例如：旋轉偏振器件型橢偏儀、相位調制型橢偏儀、成像橢偏儀和廣義橢偏儀等。其中，旋轉偏振器件型橢偏儀包含：RAE、RPE、RAP、RPAE和RCE等不同形式。相位調制型橢偏儀使用光彈性元件，不需要機械轉動即可進行測試，進一步提高了測試速度。橢偏光譜儀可以實現多波長的橢偏測試；紅外橢偏光譜儀將橢偏測試波段擴展至紅外波段，多用于多層膜和復雜結構的測試；成像橢偏儀有效地提高了橢偏儀的空間分辨率；廣義橢偏儀可用于各向異性材料的測試。并且各種橢偏儀優(yōu)缺點各有不同，可根據實際測試需要進行選擇。

橢偏測量是間接測量手段，通過橢偏測試可以獲得樣品的橢偏參數(ψ，Δ)，而樣品的光學常數(包含復介電函數)和吸收率等相關光學性質的獲取需要進一步對橢偏參數進行擬合。橢偏參數的擬合步驟根據樣品的不同也不盡相同。體材料橢偏參數可以直接使用Snell和Fresnel公式進行擬合，相對簡單。而薄膜材料橢偏參數的擬合較為復雜，基本步驟為：測量、建模和擬合。首先依據樣品結構建立對應的光學模型(常為多層膜結構)，然后根據每層材料的光學性質選擇恰當的光學色散模型進行擬合。最后為了檢驗擬合結果是否正確，計算均方誤差(MSE)來判斷擬合值相對測量值的偏離程度，全局最小的MSE對應的擬合數據即為最佳結果。通常還需要驗證擬合數據是否滿足K-K關系。特別地，例如薄膜結構較為復雜，難以選擇合適的光學色散模型進行擬合等情況時，常常采用數學反演的方法來獲取橢偏測量的光譜范圍內待測材料的光學常數。

橢偏參數擬合步驟常用的色散模型有：Lorentz模型、Sellmeier模型、Cauchy模型、F-B模型、Tauc-Lorentz模型、Drude模型和有效介質近似模型(EMA)。前6種光學色散模型適用于不同性質的單一均勻介質，而EMA模型適用于多種介質混合構成的復雜材料光學性質的描述。EMA模型根據基質材料選擇的不同又可以分為3種：Lorentz- Lorentz模型、Maxwell-Garnett模型和Bruggeman模型，分別適用于不同種類的復合材料。

隨著加工工藝、生產及測試標準和需求的提高，對橢偏技術提出了許多新的要求。橢偏技術未來的發(fā)展趨勢主要有：測量準確度進一步提高、測量波長范圍進一步擴大以及橢偏技術應用領域進一步拓展等。

橢偏技術內涵豐富，可以和其他技術相結合，進一步提升橢偏儀的性能和應用范圍。橢偏技術是薄膜材料重要的測試手段之一，利用該技術可以獲得材料的基本性質，如：厚度、光學常數、介電常數、帶隙等。利用這些薄膜材料的重要參數，研究人員可以進一步完成功能化薄膜體系的設計，或者分析薄膜體系深層次隱藏的物理機制。相信研究人員們未來對于橢偏技術的更新和應用的探索將促進橢偏技術進一步的創(chuàng)新及發(fā)展，并且利用橢偏技術研究獲得更多有利于人類社會發(fā)展進步的新成果。