非線性砰擊載荷對(duì)某大外飄型船舶疲勞損傷的影響

徐志亭，趙超，王?；?/p>

中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海200011

0 引 言

船體在海上航行過(guò)程中，受波浪的作用，船體會(huì)進(jìn)行六自由度運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致船體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形。一般情況下，船體受到的波浪載荷和結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力應(yīng)變隨時(shí)間的變化是一個(gè)緩慢、隨機(jī)、與波浪特征一致的過(guò)程。當(dāng)船舶航行于較高海況時(shí)，船體艏、艉部可能存在頻繁地出水、入水的過(guò)程，在此過(guò)程中，會(huì)發(fā)生嚴(yán)重的砰擊現(xiàn)象，給船體結(jié)構(gòu)帶來(lái)局部和整體的高頻振動(dòng)響應(yīng)，也即顫振。顫振可加劇船體結(jié)構(gòu)的疲勞損傷［1］。砰擊現(xiàn)象一般發(fā)生在中、高浪級(jí)情況下，對(duì)于大外飄型船舶，由砰擊彎矩造成的疲勞損傷不可忽略。因此，本文將針對(duì)由非線性砰擊載荷造成的疲勞損傷問(wèn)題進(jìn)行研究。

目前，針對(duì)疲勞分析的直接計(jì)算法主要有譜分析法和設(shè)計(jì)波法［2］，通常不考慮非線性載荷的影響。在船舶力學(xué)研究與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注如何計(jì)算非線性波浪載荷，以及砰擊非線性載荷成分對(duì)船體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響，尤其是對(duì)一些具有大外飄、高航速等特點(diǎn)的船型［3］。進(jìn)行船體結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度校核時(shí)，采用時(shí)域計(jì)算能很好地計(jì)入非線性因素的影響，計(jì)算的波浪載荷時(shí)歷能夠較真實(shí)地反映出船舶航行時(shí)的狀況［4］。因?yàn)樾枰蠼獯w振動(dòng)響應(yīng)，而將船體看作剛體來(lái)求解水動(dòng)力問(wèn)題的傳統(tǒng)方法已行不通，必須引入水彈性理論。Wu 等［5］提出了三維非線性水彈性理論，以及二階水動(dòng)力作用，考慮了航速和定常興波的影響，以及大幅度運(yùn)動(dòng)和瞬時(shí)濕表面變化等對(duì)非線性波浪力的貢獻(xiàn)。綜合來(lái)看，對(duì)由非線性砰擊載荷造成的疲勞損傷，目前的分析方法都是先通過(guò)時(shí)域載荷理論計(jì)算非線性載荷時(shí)歷，求得疲勞熱點(diǎn)應(yīng)力時(shí)歷，然后再通過(guò)雨流計(jì)數(shù)法統(tǒng)計(jì)應(yīng)力損傷次數(shù)，最后結(jié)合疲勞損傷累積理論計(jì)算疲勞損傷。但考慮到疲勞熱點(diǎn)眾多，計(jì)算工況復(fù)雜，載荷時(shí)歷計(jì)算與雨流計(jì)數(shù)法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，倘若能直接給出一個(gè)基于線性載荷的放大系數(shù)，便可極大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文將首先針對(duì)船舯區(qū)域主甲板或底部縱骨，采用非線性時(shí)域水彈性方法計(jì)算非線性載荷（含砰擊載荷）作用下的縱骨應(yīng)力時(shí)歷（該時(shí)歷包含低頻分量（線性成分）和高頻分量（非線性成分））；然后，采用雨流計(jì)數(shù)法統(tǒng)計(jì)出縱骨節(jié)點(diǎn)在線性載荷和總載荷下的疲勞應(yīng)力范圍分布；接著，分別計(jì)算縱骨節(jié)點(diǎn)在線性載荷和總載荷下的疲勞損傷，并給出非線性砰擊載荷產(chǎn)生的疲勞損傷放大系數(shù)；最后，將損傷放大系數(shù)轉(zhuǎn)化為由砰擊彎矩引起的等效波浪彎矩放大系數(shù)，由此，即可在計(jì)算全船其他節(jié)點(diǎn)的疲勞損傷時(shí)將波浪彎矩放大系數(shù)考慮進(jìn)去。

1 時(shí)域非線性水彈性力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程

在時(shí)域內(nèi)，不規(guī)則波船體運(yùn)動(dòng)的非線性水彈性力學(xué)方程可以寫為如下形式［6-7］：

或者

式中：a，b，c分別為船體的廣義質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；μ，B，C分別為流體的無(wú)窮大附加質(zhì)量、考慮航速效應(yīng)的阻尼及流體的回復(fù)力剛度矩陣；C′ 為考慮航速效應(yīng)的剛度矩陣；Krs(t)為延遲函數(shù)，其可體現(xiàn)不規(guī)則波中的記憶效應(yīng)；FI(t)為入射波力；FD(t)為繞射波力；FR(t)為輻射力；Fslam(t)為由船體劇烈運(yùn)動(dòng)引起的砰擊力；FS(t)為靜水回復(fù)力；pr(t)為t時(shí)刻第r 階模態(tài)的主坐標(biāo)；τ為積分變量。

為求解船體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，需要確定作用在彈性船體上的非線性流體載荷。

1）靜水回復(fù)力［2］。

式中：ρ為流體密度；g為重力加速度；S(t)為瞬時(shí)濕表面；psa為主坐標(biāo)；ur為彈性結(jié)構(gòu)體的第r階自由振動(dòng)模態(tài)產(chǎn)生的位移矢量；n為垂直于物面方向的單位矢量；ws為第s 階模態(tài)的垂向位移；FG為船體重力；Crs為第s 階模態(tài)的垂向位移產(chǎn)生的靜水動(dòng)壓力對(duì)第r 階運(yùn)動(dòng)模態(tài)的貢獻(xiàn)。

2）入射波力［8］。

根據(jù)卡明斯脈沖響應(yīng)給出的時(shí)域波浪力卷積關(guān)系，船體的入射波力FI(t)可表示為

其中

式中：ζ(τ)為不規(guī)則波波面起伏，m；(t)為第r 階模態(tài)下波浪入射力的脈沖響應(yīng)函數(shù)；(iω)為單位波幅規(guī)則波作用于船體上產(chǎn)生的波浪入射力的頻響函數(shù)；ω為波頻。

3）繞射波力［8］。

與入射波力的求解方法相同，不規(guī)則波中船體繞射力FD(t)的表達(dá)式為

其中，

為求解船體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，需要確定作用在彈性船體上的非線性流體載荷。

4）輻射力。

時(shí)域輻射力FRrs( )t的表達(dá)可分為瞬時(shí)項(xiàng)與記憶項(xiàng)相加的形式：

其中，

式中：S(t)為平均濕表面；nr為第r 階模態(tài)單位法向矢量；Φ為定常速度勢(shì)；U為船舶航速；ξr(t)為t 時(shí)刻第r 階模態(tài)的運(yùn)動(dòng)位移，可用主坐標(biāo)pr(t)表示；ψ1s為船舶在s 階模態(tài)以無(wú)窮大頻率運(yùn)動(dòng)時(shí)的流場(chǎng)速度勢(shì)；ψ2s為與定常移動(dòng)有關(guān)的速度勢(shì)；χr(p，t)為 自 由 面 的 記 憶 效 應(yīng)。ψ1s，ψ2s和χr(p，t)滿足的初邊值問(wèn)題在這里不予展開(kāi)，具體細(xì)節(jié)參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］。

5）砰擊力。

根據(jù)動(dòng)量砰擊理論［1］，當(dāng)船體與波浪的相對(duì)速度大于0 時(shí)，在任意時(shí)刻t，船體所受砰擊力Ff(t)為

式中：m∞(t)為頻率趨于無(wú)窮大時(shí)的垂蕩附加質(zhì)量；wrel(t)為船體表面點(diǎn)P(xb，yb，zb)與波浪的垂向相對(duì)位移，表達(dá)式為

式中：z為重心處的垂蕩響應(yīng)；φ為重心處的縱搖響應(yīng)；θ為重心處的橫搖響應(yīng)；ζr(t)為規(guī)則波的波面升高，其表達(dá)式為

其中，ζa為規(guī)則波波幅；k為規(guī)則波波數(shù)；ωe為遭遇頻率；β為航向角；ε為初始相位。

當(dāng)考慮了船體在流場(chǎng)中的彈性變形后，船體與波浪的垂向相對(duì)位移的表達(dá)式為

式中，wr為第r 階模態(tài)的垂向位移。對(duì)應(yīng)的垂向相對(duì)速度為

此時(shí)，加入到船體振動(dòng)方程的砰擊作用力可以寫為如下形式：

6）自動(dòng)舵力。

由于船舶的水平運(yùn)動(dòng)不具有恢復(fù)力，故帶來(lái)了斜浪求解發(fā)散問(wèn)題。但在實(shí)際情況下，在波浪中航行的船舶是通過(guò)不斷操舵來(lái)保持自身航向和航跡的，而引入自動(dòng)舵模型后，可以解決水平運(yùn)動(dòng)求解發(fā)散問(wèn)題。

式中：BRudder為搖艏和橫蕩運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù)矩陣；CRudder為恢復(fù)力系數(shù)矩陣；ERudder為積分項(xiàng)系數(shù)矩陣；η為只含船舶橫蕩和艏搖的運(yùn)動(dòng)矩陣；η?為只含船舶橫蕩和艏搖的運(yùn)動(dòng)速度矩陣；η6為船舶的艏搖運(yùn)動(dòng)。詳見(jiàn)文獻(xiàn)［6］。

7）時(shí)域非線性水彈性力學(xué)方程的求解［8］。

時(shí)域非線性水彈性力學(xué)方程通常采用四階龍格—庫(kù)塔（Runge-Kutta）法求解。Runge-Kutta 法為顯式單步法。經(jīng)典的Runge-Kutta 法具有4 階精度，對(duì)于初值問(wèn)題：

其步進(jìn)求解的格式為：

式中：f(x，y)為變量y對(duì)變量x的導(dǎo)數(shù)；xn，yn為第n 次循環(huán)后的x值和y值；l 為時(shí)間間隔；K1～K4為求解的參數(shù)。

給定初值，對(duì)于上述標(biāo)準(zhǔn)一階微分方程組用Runge-Kutta法步進(jìn)求解，即可獲得運(yùn)動(dòng)響應(yīng)時(shí)歷。

解出主坐標(biāo)后，利用模態(tài)疊加原理，就可以得到船體結(jié)構(gòu)的位移w(x，t)、彎矩M(x，t)和剪切力V(x，t)［6］。

式中，Mr，Vr分別表示第r階模態(tài)的彎矩和剪切力。

2 考慮非線性砰擊載荷影響的船舶結(jié)構(gòu)疲勞評(píng)估方法

船舶結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度評(píng)估方法一般包含2 個(gè)方向：一個(gè)是建立S-N 曲線以及Miner 線性損傷理論的累計(jì)損傷判定方法；另一個(gè)是基于斷裂力學(xué)的計(jì)算方法。本文主要采用第1 種評(píng)估方式。疲勞強(qiáng)度評(píng)估的直接計(jì)算方法主要包含以下內(nèi)容：作用在船體結(jié)構(gòu)上的疲勞載荷計(jì)算，其中涉及水動(dòng)力分析、應(yīng)力響應(yīng)評(píng)估和疲勞損傷計(jì)算。

發(fā)生砰擊時(shí)，除了由砰擊引起的顫振效應(yīng)，還存在高頻波激振動(dòng)效應(yīng)，本文的非線性時(shí)域水彈性分析方法包含兩者的影響。

非線性砰擊載荷（含高頻波激成分）計(jì)算都是在時(shí)域范圍內(nèi)進(jìn)行，故得到的應(yīng)力響應(yīng)都是時(shí)歷響應(yīng)。其可以通過(guò)雨流計(jì)數(shù)法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到不同砰擊載荷的循環(huán)次數(shù)，進(jìn)而再進(jìn)行疲勞損傷計(jì)算。具體計(jì)算步驟為：

1）基于三維非線性時(shí)域分析方法，計(jì)算船體梁垂向波浪彎矩的時(shí)歷。此波浪彎矩包含低頻和高頻分量，其中，低頻分量為不含砰擊振動(dòng)影響的垂向波浪彎矩（即波頻分量），高頻分量為波激振動(dòng)和砰擊顫振誘導(dǎo)的垂向波浪彎矩。

2）分別將垂向波浪彎矩波頻分量和總彎矩的時(shí)歷響應(yīng)作用在船體上，得到計(jì)算點(diǎn)在波頻分量作用下的應(yīng)力時(shí)歷和總彎矩作用下的應(yīng)力時(shí)歷。

3）采用雨流計(jì)數(shù)法［10］對(duì)應(yīng)力時(shí)歷進(jìn)行計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，獲得各裝載工況、海況和浪向下各個(gè)波頻分量的應(yīng)力范圍Sw，k，或各個(gè)總彎矩應(yīng)力范圍St，k的循環(huán)次數(shù)。

結(jié)合S-N 曲線和Miner 線性累積損傷準(zhǔn)理論，分別按式（18）和式（19）獲得單位時(shí)間內(nèi)第n 裝載工況、第j 海況和第i 浪向角的波頻分量疲勞損傷度dnji，w與總彎矩疲勞損傷度dnji，t。

波頻分量疲勞損傷度：

總彎矩疲勞損傷度：

式中：nnji(Sw，k)，nnji(St，k)分別為第n 裝載工況、第j 海 況、第i 浪 向 角 條 件 下 第k 個(gè) 應(yīng) 力 范 圍Sw，k和St，k的 循 環(huán) 次 數(shù)；N(Sw，k) ，N(St，k) 分 別 為 根 據(jù)S-N 曲線獲得的對(duì)應(yīng)于應(yīng)力范圍Sw，k和St，k的疲勞 失 效 循 環(huán) 次 數(shù)；tnji，w，tnji，t分 別 為 第n 裝 載 工況、第j海況、第i 浪向角條件下波頻分量載荷和總彎矩載荷的擬合時(shí)間，s；ns，w為第n 裝載工況、第j海況、第i 浪向角條件下波頻分量應(yīng)力范圍的個(gè)數(shù)；ns，t為第n 裝載工況、第j海況、第i 浪向角條件下總應(yīng)力范圍。

計(jì)算點(diǎn)處波頻分量的疲勞累積損傷度由式（20）得到。

式中：nl，ns，nh分別為裝載工況總數(shù)、海況總數(shù)、浪向總數(shù)；T 為損傷計(jì)算總時(shí)間；pn，pj，pi分別為第n裝載工況、第j海況、第i浪向的發(fā)生概率。

計(jì)算點(diǎn)處總彎矩分量的疲勞累積損傷度按式（21）獲得：

4）計(jì)算由砰擊彎矩引起的疲勞損傷放大系數(shù)。

砰擊載荷引起的疲勞損傷放大系數(shù)可由下式獲得。

由于大部分計(jì)算點(diǎn)的疲勞損傷受船體梁載荷和局部載荷的雙重影響，而此影響系數(shù)主要考慮了船體梁砰擊彎矩對(duì)疲勞損傷的影響，未考慮局部砰擊載荷對(duì)疲勞損傷的影響，故適用于由船體梁總縱彎曲引起的疲勞損傷計(jì)算。

5）計(jì)算由砰擊彎矩引起的等效波浪彎矩放大系數(shù)。

在常規(guī)計(jì)算點(diǎn)的疲勞強(qiáng)度評(píng)估中，一般分別計(jì)算船體梁載荷和局部載荷，船體梁載荷一般僅計(jì)入線性波浪載荷（近似于波浪彎矩的波頻分量），因由非線性高頻砰擊載荷引起的疲勞損傷計(jì)算費(fèi)時(shí)費(fèi)力。倘若將由高頻砰擊彎矩引起的疲勞損傷放大系數(shù)轉(zhuǎn)化為等效波浪彎矩放大系數(shù)，可以采用低頻波浪彎矩線性放大的簡(jiǎn)化方法快速評(píng)估任一計(jì)算點(diǎn)的總縱彎曲疲勞損傷，以及由總體載荷和局部載荷引起的總疲勞損傷。

在船舶結(jié)構(gòu)疲勞分析中，經(jīng)常采用兩參數(shù)的Weibull 分布來(lái)表示應(yīng)力范圍S的長(zhǎng)期分布，且假定S-N 曲線最常用的形式是冪函數(shù)式［5］，即

式中：N為與應(yīng)力范圍S相對(duì)應(yīng)的疲勞結(jié)構(gòu)失效次數(shù)；m和A為與材料、應(yīng)力比、加載方式等有關(guān)的S-N 曲線參數(shù)。

則相應(yīng)的疲勞損傷計(jì)算式［11］為

式中：NL為所考慮的整個(gè)時(shí)間期間內(nèi)應(yīng)力范圍的總循環(huán)次數(shù)；q為應(yīng)力范圍長(zhǎng)期分布的尺度參數(shù)，q=S0/(lnN0)1/h，其中S0為超越概率水平為1/N0的應(yīng)力范圍；h為應(yīng)力范圍長(zhǎng)期分布的形狀參數(shù)；Γ()為伽瑪函數(shù)。

由于應(yīng)力范圍與波浪彎矩成正比，則由砰擊彎矩引起的等效波浪彎矩放大系數(shù)kp為

式中，m為S-N 曲線反斜率。

3 算例計(jì)算

本文以某大外飄型船（船長(zhǎng)約200 m）為例，進(jìn)行含砰擊載荷影響的疲勞損傷計(jì)算。

選取北大西洋海浪散布圖，海浪的功率譜密度函數(shù)采用由有義波高HS和平均跨零周期TZ表征的雙參數(shù)P-M 譜。浪向角取為0°～360°，浪向角間隔為30°，各浪向角的發(fā)生概率相等。按照滿載工況、50%在航率，計(jì)算25年時(shí)間內(nèi)的疲勞損傷。

計(jì)算位置選取為受船體梁彎矩影響的船舯剖面甲板縱骨和外底縱骨。本文將線性載荷時(shí)歷和非線性載荷時(shí)歷分別施加在有限元模型上，通過(guò)有限元應(yīng)力狀態(tài)分析，得到熱點(diǎn)應(yīng)力范圍。全船有限元模型如圖1 所示。

圖1 全船有限元模型Fig.1 FE model of the whole ship

按照前文所述，對(duì)不規(guī)則波中垂向彎矩的時(shí)歷進(jìn)行計(jì)算。分別對(duì)波頻分量的疲勞損傷、考慮砰擊載荷影響的總彎矩疲勞損傷進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1 和表2 所示。

表1 船舯剖面縱骨疲勞校核結(jié)果Table 1 The check results of longitudinal fatigue damage in midship section

表2 船舯剖面砰擊彎矩放大系數(shù)Table 2 The amplification coefficients of slamming moment in midship section

由計(jì)算結(jié)果可以看出，考慮砰擊載荷影響后，與波頻分量疲勞損傷相比，由總彎矩引起的疲勞損傷較大；同時(shí)，甲板縱骨與外底縱骨處的放大系數(shù)不同。取所有測(cè)點(diǎn)中放大系數(shù)的最大值，可使結(jié)果偏于保守，因此，將目標(biāo)船砰擊載荷對(duì)船體梁載荷的放大系數(shù)取為1.142。此系數(shù)可對(duì)本船其他節(jié)點(diǎn)處的波浪彎矩進(jìn)行修正。

在不同浪向工況計(jì)算中，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)疲勞總損傷貢獻(xiàn)最大的工況出現(xiàn)在迎浪或艏斜浪（30°），絕大部分疲勞損傷的貢獻(xiàn)來(lái)自艏斜浪（60°以內(nèi)）。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文介紹了考慮非線性砰擊載荷影響的船舶結(jié)構(gòu)疲勞評(píng)估方法：選用只受船體梁載荷的縱骨節(jié)點(diǎn)計(jì)算損傷放大系數(shù)和彎矩放大系數(shù)，然后在所有節(jié)點(diǎn)上修正船體梁載荷，但并不修正局部載荷，進(jìn)而將修正后的船體梁載荷與未修正的局部載荷聯(lián)合作用，求得了考慮砰擊彎矩的疲勞損傷。不過(guò)，本文在以下方面還有進(jìn)一步改進(jìn)的空間：

1）本文選取的計(jì)算點(diǎn)較少，只在船舯剖面處選取了計(jì)算點(diǎn)，所得彎矩放大系數(shù)只反映了船舯砰擊彎矩的影響?？紤]到砰擊彎矩沿船長(zhǎng)的分布并不一致，故彎矩放大系數(shù)沿船長(zhǎng)也將是變化的。若沿船長(zhǎng)方向取多個(gè)剖面的計(jì)算點(diǎn)，可以得到各個(gè)剖面的彎矩放大系數(shù)，進(jìn)而總結(jié)砰擊載荷放大系數(shù)沿船長(zhǎng)方向的變化規(guī)律，從而能夠更準(zhǔn)確地反映出砰擊彎矩的影響。

2）本文給出的砰擊載荷船體梁放大系數(shù)是假定應(yīng)力范圍的長(zhǎng)期分布為weibull 分布，且S-N曲線為單斜率冪函數(shù)形式，其他情況仍需進(jìn)一步研究。

3）本文的計(jì)算方法可應(yīng)用于砰擊載荷嚴(yán)重的各種船型，針對(duì)同一船型的多艘目標(biāo)船進(jìn)行非線性砰擊載荷影響研究后，可以總結(jié)歸納出該船型的砰擊載荷放大系數(shù)，為同型后續(xù)船的設(shè)計(jì)工作提供支持。

4）本文方法適用于全船所有節(jié)點(diǎn)，適用于能將船體梁載荷和局部載荷分離的簡(jiǎn)化計(jì)算法、有限元直接計(jì)算法；但對(duì)于譜分析和設(shè)計(jì)波法，只適用于只受船體梁載荷的節(jié)點(diǎn)。

綜上所述，本文所采用評(píng)估方法可以方便地應(yīng)用于常規(guī)疲勞損傷計(jì)算方法中，對(duì)更準(zhǔn)確地評(píng)估大外飄、高航速等遭受嚴(yán)重砰擊載荷影響的船型的船體疲勞強(qiáng)度具有指導(dǎo)意義。