城市暴雨強(qiáng)度公式理論頻率曲線選擇研究

肖友淦

(福州城建設(shè)計(jì)研究院有限公司 福建福州 350001)

0 引言

2013年3月25日，國(guó)務(wù)院正式發(fā)布了《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于做好城市排水防澇設(shè)施建設(shè)工作的通知》(國(guó)辦發(fā)〔2013〕23號(hào))，明確要求“各地區(qū)要結(jié)合氣象、水文資料，對(duì)現(xiàn)有暴雨強(qiáng)度公式進(jìn)行評(píng)價(jià)和修訂”。在采用年多個(gè)樣法編制城市暴雨強(qiáng)度公式時(shí)期，經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算和理論頻率曲線的選擇兩大問(wèn)題引發(fā)了學(xué)術(shù)界極大的爭(zhēng)議。隨著《室外排水設(shè)計(jì)規(guī)范》GB50014-2006(2016年版)(以下簡(jiǎn)稱新版排水規(guī)范)的發(fā)布，要求新編暴雨強(qiáng)度公式采用年最大值法選樣，并有如下規(guī)定：“選取的各歷時(shí)降雨資料，應(yīng)采用經(jīng)驗(yàn)頻率曲線或理論頻率曲線加以調(diào)整，一般采用理論頻率曲線，包括皮爾遜Ⅲ型分布曲線、耿貝爾分布曲線和指數(shù)分布曲線。根據(jù)確定的頻率曲線，得出重現(xiàn)期、降雨強(qiáng)度和降雨歷時(shí)三者的關(guān)系，即P、i、t關(guān)系值。”可以看出，新版排水規(guī)范用于暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)擬合的降雨資料實(shí)際有4種情況：①采用經(jīng)驗(yàn)頻率曲線，對(duì)原始降雨資料進(jìn)行目估適線；②采用皮爾遜Ⅲ型分布曲線調(diào)整過(guò)的降雨資料；③采用耿貝爾分布曲線調(diào)整過(guò)的降雨資料；④采用指數(shù)分布曲線調(diào)整過(guò)的降雨資料。本文將論述這4種方法的優(yōu)劣，并提出最合適的頻率分布曲線及其快速計(jì)算方法。

1 經(jīng)驗(yàn)頻率曲線

年最大值法時(shí)，經(jīng)驗(yàn)頻率(即年頻率)計(jì)算公式一般采用[1-2]：

式中：P——年頻率；

m——資料由大到小的序列；

N——資料年數(shù)。

表1為某城市1980年～2013年5min歷時(shí)的降雨資料。假設(shè)該市暴雨強(qiáng)度公式的編制時(shí)間為2014年，那么，該市用于暴雨強(qiáng)度公式編制的5min歷時(shí)降雨資料應(yīng)為1980年～2013年(其中1999年、2000年無(wú)資料)資料，此時(shí)降雨經(jīng)驗(yàn)頻率和重現(xiàn)期如表2所示。假設(shè)該市暴雨強(qiáng)度公式的編制時(shí)間為2002年，那么，該市用于暴雨強(qiáng)度公式編制的5min歷時(shí)降雨資料應(yīng)為1980年～2001年(其中1999年、2000年無(wú)資料)資料，此時(shí)降雨經(jīng)驗(yàn)頻率和重現(xiàn)期如表3所示。兩次暴雨強(qiáng)度公式編制時(shí)同一降雨量代表的重現(xiàn)期對(duì)比如圖1所示。

表1 1980年～2013年5min歷時(shí)降雨資料

表2 1980年～2013年5min歷時(shí)降雨經(jīng)驗(yàn)頻率

表3 1980年～2001年5min歷時(shí)降雨經(jīng)驗(yàn)頻率

圖1 同一降雨量代表的重現(xiàn)期對(duì)比圖

從圖1可以看出，該方法與選用數(shù)據(jù)年限具有很大關(guān)系。如果在2002年暴雨強(qiáng)度公式編制時(shí)，直接采用經(jīng)驗(yàn)頻率曲線而不進(jìn)行理論頻率曲線修正，那么在高重現(xiàn)期時(shí)的降雨數(shù)據(jù)將偏大，低重現(xiàn)期時(shí)的降雨數(shù)據(jù)將偏小。例如，同樣是20.3mm降雨，在2002年編制時(shí)為21年一遇降雨，在2014年編制時(shí)為33年一遇降雨，而2014年編制時(shí)的21年降雨重現(xiàn)期對(duì)應(yīng)的雨量應(yīng)介于19.3mm和20.3mm之間。

同時(shí)，采用經(jīng)驗(yàn)頻率曲線也難以進(jìn)行頻率曲線的外延。例如，利用30年的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)重現(xiàn)期為100年的暴雨，這是不切實(shí)際的。因此，盡管經(jīng)驗(yàn)頻率曲線具有方法簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，但在城市暴雨強(qiáng)度公式編制過(guò)程中，建議降雨資料應(yīng)采用理論頻率曲線調(diào)整，然后進(jìn)行暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)擬合。

2 三種理論頻率曲線比較

一般采用的理論頻率曲線為皮爾遜Ⅲ型分布曲線、耿貝爾分布曲線和指數(shù)分布曲線。其中，皮爾遜Ⅲ型分布曲線累積分布函數(shù)為[1]：

xp——樣本值；

Cv——樣本變差系數(shù)；

Cs——樣本偏差系數(shù)。

當(dāng)Cs=2時(shí)，皮爾遜Ⅲ型分布曲線累積分布函數(shù)變?yōu)閇3]：

該式為指數(shù)分布曲線的累積分布函數(shù)，有解析解。

當(dāng)Cs=1.1395時(shí)，皮爾遜Ⅲ型分布曲線累積分布函數(shù)變?yōu)閇3]：

因此，指數(shù)分布曲線和耿貝爾分布曲線實(shí)際上是皮爾遜Ⅲ型分布曲線在Cs=2和Cs=1.1395的特例。理論上利用皮爾遜Ⅲ型分布曲線對(duì)降雨數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，能夠得到比指數(shù)分布和耿貝爾分布更好的結(jié)果。但以往多數(shù)城市在暴雨強(qiáng)度公式的編制中均采用指數(shù)分布曲線，其原因正如鄧培德先生所指出的：“皮爾遜Ⅲ型模型是三參數(shù)公式，在理論上可以概括耿貝爾分布與指數(shù)分布，但現(xiàn)有水文資料實(shí)在不夠，不可能算得可靠的偏態(tài)系數(shù)，特別是高偏態(tài)與高重現(xiàn)期時(shí)不太合適，乙形分布是高偏態(tài)的極端形態(tài)，就較難適合，此外三參數(shù)擬合困難，難以手算與電算，個(gè)別城市單獨(dú)統(tǒng)計(jì)實(shí)在不容易，且不同擬合方法也有一定差異，計(jì)算結(jié)果往往因人而異?！盵4]

應(yīng)該承認(rèn)，在計(jì)算機(jī)軟硬件功能欠發(fā)達(dá)的年代，求解皮爾遜Ⅲ型分布的最優(yōu)解存在一定難度。但是，隨著時(shí)代的進(jìn)步，皮爾遜Ⅲ型分布最優(yōu)解的求解方法已經(jīng)成熟，因此，目前城市暴雨強(qiáng)度公式編制中理論頻率曲線應(yīng)采用皮爾遜Ⅲ型分布曲線，而不僅僅是指數(shù)分布曲線。

3 皮爾遜Ⅲ型分布求最優(yōu)解的三大問(wèn)題

式中：n——樣本數(shù)；

xi——第i個(gè)樣本值。

(3)如何判斷所求理論頻率分布曲線為最優(yōu)，即擬合準(zhǔn)則的選擇問(wèn)題。

4 快速求解皮爾遜Ⅲ型分布曲線

針對(duì)皮爾遜Ⅲ型分布曲線累積分布函數(shù)(公式(1))，令t=β(x-a0)，tp=β(xp-a0)，則：

當(dāng)0

當(dāng)t≥α+1時(shí)，采用連分?jǐn)?shù)形式展開，可以快速收斂，計(jì)算公式為[6]：

當(dāng)t=0時(shí)，p(t≥tp) = 0。

該公式收斂速度較慢，使用時(shí)用戶應(yīng)根據(jù)需要計(jì)算出更多的展開項(xiàng)。

當(dāng)給定頻率Ps，可用牛頓迭代法求解對(duì)應(yīng)的t值，迭代公式為[6]：

s-1=1,s0=t,q-1=0,q0=1

s-1′=0,s0′=1,q-1′=0,q0′=0

當(dāng)i(>0)為偶數(shù)時(shí)：

當(dāng)i(>0)為奇數(shù)時(shí)：

因?yàn)榧?jí)數(shù)形式和連分式形式的展開式收斂均較快，展開深度i不必太大，建議取10即可。牛頓迭代法中初值t0原則上可取任意大于0的實(shí)數(shù)，但受斯特林展開式精度的限制，不宜取太大(太大時(shí)，迭代計(jì)算將會(huì)出現(xiàn)數(shù)值溢出)，建議初值t0取樣本t的平均值。迭代次數(shù)k由迭代精度ε控制，當(dāng)給定α，若|tk+1-tk|≤ε|tk+1|，則tk+1為對(duì)應(yīng)于已知設(shè)計(jì)頻率Ps的所求值t。

5 擬合準(zhǔn)則

為判斷理論頻率分布曲線與原始數(shù)據(jù)的適合性，常采用的擬合準(zhǔn)則有以下5種[8-9]：

(1)絕對(duì)離差平方和最小

(2)離差絕對(duì)值之和最小

(3)相對(duì)離差平方和最小

(4)相對(duì)離差絕對(duì)值之和最小

(5)離差平方相對(duì)值和最小

第(1)、(2)種擬合方法，高區(qū)數(shù)據(jù)(高重現(xiàn)期)和低區(qū)數(shù)據(jù)(低重現(xiàn)期)對(duì)結(jié)果的影響不同(不等權(quán))，有可能導(dǎo)致低區(qū)數(shù)據(jù)偏離較大；第(3)、(4)種擬合方法，高區(qū)數(shù)據(jù)和低區(qū)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響相同(等權(quán))；第(5)種方法則試圖在第(1)和第(3)種方法之間尋找平衡。由于目前并不清楚自然界暴雨的準(zhǔn)確規(guī)律(皮爾遜Ⅲ型分布只能說(shuō)從統(tǒng)計(jì)規(guī)律上相對(duì)較好)，而且原始數(shù)據(jù)的波動(dòng)(最大值和最小值之比)又有大有小，所以很難說(shuō)哪種擬合準(zhǔn)則更好。

很多研究者試圖通過(guò)比較不同理論頻率分布曲線擬合誤差的大小，衡量理論頻率曲線的優(yōu)劣，這種做法存在以下缺點(diǎn)：

(1)指數(shù)分布曲線和耿貝爾分布曲線，均為皮爾遜Ⅲ型分布曲線的特例，如果把皮爾遜Ⅲ型分布曲線和它的特例比較，必須有一個(gè)前提，即保證皮爾遜Ⅲ型分布曲線為最優(yōu)形式。而當(dāng)皮爾遜Ⅲ型分布曲線為最優(yōu)形式時(shí)，其擬合精度必然比它的特例擬合精度高，這是由皮爾遜Ⅲ型分布曲線最優(yōu)解的求解方法決定的。

(2)撇開皮爾遜Ⅲ型分布曲線，其它4種分布中，即使某種分布的擬合精度更高，也不代表這種分布更優(yōu)，因?yàn)閺挠邢薜馁Y料中并不能確定自然界降雨的準(zhǔn)確規(guī)律。

(3)假如擬合精度高的分布就是更好的分布，那么，不進(jìn)行任何調(diào)整，直接采用經(jīng)驗(yàn)頻率曲線就應(yīng)該是最好的選擇，因?yàn)榇藭r(shí)擬合誤差為0。而前面已經(jīng)分析過(guò)，直接采用經(jīng)驗(yàn)頻率曲線而不采用理論頻率分布曲線進(jìn)行調(diào)整是不合理的。

6 皮爾遜Ⅲ型分布曲線最優(yōu)解

其中，上文的5種擬合準(zhǔn)則中的(2)式為目標(biāo)函數(shù)，(3)(4)(5)式為約束條件。

Cvmin= 0.8Cv樣本，Cvmax=1.2Cv樣本

Cv樣本——樣本變差系數(shù)。

水文學(xué)研究表明，暴雨的Cs約為2.5～4.0Cv，采用計(jì)算機(jī)求解時(shí)，可放寬至1.5～5.0Cv。同時(shí)，皮爾遜Ⅲ型分布曲線要求樣本值x大于等于a0，即：

式中，xmin——樣本系列中最小的樣本值。

為了確保皮爾遜Ⅲ型分布曲線涵蓋指數(shù)分布和耿貝爾分布，Cs=2和Cs=1.1395兩種情況應(yīng)包含在內(nèi)，因此：

Csmin=min(1.1395，1.5Cv)，

式中：min和max分別表示求最大值和最小值。

皮爾遜Ⅲ型分布曲線最優(yōu)解的求解最終可表示為：

上式可采用枚舉法、遺傳算法等方法求解。

7 應(yīng)用案例

應(yīng)用案例采用枚舉法求解皮爾遜Ⅲ型分布曲線最優(yōu)解，參數(shù)取值如下：

Cv=(0.8+0.005×j)Cv樣本

Cs=min(1.1395,1.5Cv)+

式中，i，j，k均為整數(shù)，且0≤i≤80，0≤j≤80,0≤k≤70，即總共計(jì)算465 831種組合情況，這樣的精度完全可以滿足工程計(jì)算的要求。原始數(shù)據(jù)采用表1降雨資料(5min歷時(shí))，計(jì)算結(jié)果如表4所示，擬合結(jié)果如圖2所示。

表4 皮爾遜Ⅲ型分布曲線調(diào)整結(jié)果

圖2 擬合結(jié)果比較圖

從表4和圖2可以看出：

(1)高重現(xiàn)期時(shí)，偏差從小到大依次為：擬合準(zhǔn)則1、擬合準(zhǔn)則3、擬合準(zhǔn)則5、擬合準(zhǔn)則4、擬合準(zhǔn)則2。

(2)低重現(xiàn)期時(shí)，偏差從小到大依次為：擬合準(zhǔn)則3、擬合準(zhǔn)則5、擬合準(zhǔn)則4、擬合準(zhǔn)則2、擬合準(zhǔn)則1。

(3)當(dāng)重現(xiàn)期為33年一遇時(shí)，修正值均比原始值20.3mm小，說(shuō)明20.3mm的實(shí)際降雨重現(xiàn)期大于33年一遇。

(4)當(dāng)重現(xiàn)期為1年一遇時(shí)，修正值均比原始值2.0mm大，說(shuō)明2.0mm的實(shí)際降雨重現(xiàn)期小于1年一遇。

再次重申，在自然界降雨準(zhǔn)確規(guī)律不確定的情況下，不同擬合準(zhǔn)則得到的頻率分布曲線不存在優(yōu)劣之分，使用時(shí)應(yīng)結(jié)合其它資料判斷。在本文應(yīng)用案例中，認(rèn)為擬合準(zhǔn)則3選中的可能性更大。

8 結(jié)論

(1)城市暴雨強(qiáng)度公式編制中，降雨資料應(yīng)采用理論頻率分布曲線進(jìn)行修正。

(2)理論頻率曲線應(yīng)選用皮爾遜Ⅲ型分布曲線，指數(shù)分布曲線和耿貝爾分布曲線均為皮爾遜Ⅲ型分布曲線的特例。

(3)只有在理論頻率分布曲線和擬合準(zhǔn)則均相同的情況下，才能根據(jù)擬合精度高低判斷頻率分布曲線的優(yōu)劣。