卡方分布的探源

彭志發(fā)

摘 要：卡爾·皮爾遜（KralPearson）是近代統(tǒng)計學(xué)史土最負盛名的統(tǒng)計學(xué)家之一。他在統(tǒng)計理論及統(tǒng)計方法上都做出了極大的貢獻。皮爾遜于1900年提出了卡方檢驗，他不僅導(dǎo)出了測度，而且給出了它的分布，使其成為可計算的?？ǚ椒植?（χ2分布）是概率論與統(tǒng)計學(xué)中常用的一種概率分布。k 個獨立的標準正態(tài)分布變量的平方和服從自由度為k 的卡方分布?？ǚ椒植汲Ｓ糜诩僭O(shè)檢驗和置信區(qū)間的計算。統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展表明，對于一系列應(yīng)用來說，卡方的檢驗是一項極其有用的方法，其作用遠遠超過了皮爾遜提出這一概念時所想要解決的特殊問題，在現(xiàn)代統(tǒng)計理論中有著重要的地位。本文對卡方分布的起源進行探索，系統(tǒng)梳理卡方分布的發(fā)展歷程。

關(guān)鍵詞：卡方分布； 統(tǒng)計學(xué)； 卡爾·皮爾遜

1 引言

目前國際上統(tǒng)計界流行的觀點是將統(tǒng)計學(xué)分為三大派：經(jīng)典學(xué)派、貝葉斯學(xué)派和信任學(xué)派。經(jīng)典學(xué)派是指由皮爾遜、奈曼等人從本世紀初到四十年代發(fā)展的一套理論和方法，它以概率的頻率解釋為基礎(chǔ)，以有抽樣資料為前提，因此又被稱作頻率學(xué)派或抽樣學(xué)派。目前國內(nèi)常見的概率統(tǒng)計教材，大都是講這一學(xué)派的觀點和方法的，所以大家都比較熟悉。而關(guān)于經(jīng)典學(xué)派的皮爾遜，他的一大貢獻就是卡方分布，統(tǒng)計學(xué)一直發(fā)展至今，卡方分布仍然起著非常重要的作用，所以本文對卡方分布的起源進行分析也具有重要的現(xiàn)實意義。

2 卡方分布的產(chǎn)生

正當(dāng)皮爾遜作為一位應(yīng)用數(shù)學(xué)教師和科學(xué)哲學(xué)家受到人們的尊敬時，有兩件事改變了他的專業(yè)研究方向。其一是高爾頓的《自然遺傳》在1889年出版，其二是1890年任命韋爾登為大學(xué)學(xué)院動物學(xué)喬德雷爾教席教授[1]。

2.1 相關(guān)和回歸概念的產(chǎn)生

《自然遺傳》概括了高爾頓關(guān)于遺傳的相關(guān)和回歸概念以及技巧方面的工作，明確思考了它們在研究生命形式中的可用性和價值。在該書出版那年，皮爾遜在前面提到的那個小俱樂部讀了一篇評論此書的論文，他了解到相關(guān)和回歸的數(shù)學(xué)問題并未弄清。他對高爾頓的相關(guān)概念的含義十分著迷，看到這是一個比因果性更為廣泛的范疇，因果性只是它的極限。它把心理學(xué)、人類學(xué)、醫(yī)學(xué)和社會問題引入數(shù)學(xué)處理的領(lǐng)域。皮爾遜立即決定全力為統(tǒng)計學(xué)這一新學(xué)科奠定基礎(chǔ)，他在接著的15年內(nèi)幾乎是單槍匹馬地奮戰(zhàn)在這一前沿領(lǐng)域。韋爾登在1891年初受命后，開始應(yīng)用、拓展、改善高爾頓的測量變異和相關(guān)的方法，以尋求支持達爾文自然選擇理論的論據(jù)。這些工作不久使他在經(jīng)典誤差理論外碰到了一系列難題，這位劍橋動物學(xué)家的數(shù)學(xué)能力是難以解決它們的[2]，韋爾登請求皮爾遜幫助。

皮爾遜結(jié)合準備格雷沙姆講座和大學(xué)學(xué)院統(tǒng)計理論的兩門課程（1891一1896），對來自生物學(xué)、物理學(xué)和社會科學(xué)的統(tǒng)計資料作了圖示的、綜合性的處理，討論了概率理論和相關(guān)概念，并用擲硬幣、抽紙牌和觀察自然現(xiàn)象來證明它們。他引人“標準離差”術(shù)語代替麻煩的均方根誤差，并論述了法曲線、斜曲線、復(fù)合曲線。他關(guān)于變差和相關(guān)的四篇材料發(fā)表在《哲學(xué)學(xué)報》上。他創(chuàng)造出3個、4個乃至n個變數(shù)的正態(tài)相關(guān)的一般理論，揭示出早先探索的斜相關(guān)和非線性回歸的一般理論。

在之后的日子里，皮爾遜一直在對統(tǒng)計學(xué)進行研究，發(fā)表了上百篇的論文，將統(tǒng)計學(xué)的理論和應(yīng)用更加深入，更加具體化了。皮爾遜發(fā)展了矩量法，又定義了曲線的類型，并討論了曲線的應(yīng)用。在隨后的幾十年中，生物學(xué)家和社會科學(xué)家廣泛應(yīng)用皮爾遜曲線來處理觀察數(shù)據(jù)，結(jié)果消除了人們把正態(tài)分布作為生物、物理和社會現(xiàn)象的變差的唯一數(shù)學(xué)模型的信仰。該曲線系在統(tǒng)計理論和實踐中取得了未曾料到的重要性。

2.2 皮爾遜相關(guān)系數(shù)的產(chǎn)生

皮爾遜還在高爾頓和韋爾登等人關(guān)于相關(guān)和回歸統(tǒng)計概念和技巧的基礎(chǔ)上，建立了極大似然方法，可以稱為“皮爾遜相關(guān)系數(shù)”。隨后，皮爾遜發(fā)表的論文中將多元正態(tài)相關(guān)的理論幾乎發(fā)展成為一種實用的工具。皮爾遜之后又創(chuàng)造了斜相關(guān)理論和非線性回歸，到了1926年，皮爾遜證明樣本回歸系數(shù)的分布分別是關(guān)于相關(guān)總數(shù)回歸系數(shù)對稱的類型VII分布。盡管相關(guān)和回歸分析的步驟今天不同于皮爾遜和他的同事原先提出的步驟，但是前者是建立在后者的基礎(chǔ)上。皮爾遜在世紀之交采取的步驟無論如何在當(dāng)時來說是開拓性的、富有獨創(chuàng)精神的[3]。

2.3 卡方分布的產(chǎn)生

對于用來估計總體參數(shù)的樣本函數(shù)在大樣本中的標準誤差問題的第一個普遍探討，是由皮爾遜和年輕的法國數(shù)學(xué)證明者菲爾翁在“論頻率常數(shù)的可能誤差及隨機選擇對變異性和相關(guān)的影響”一文中給出的。皮爾遜后來發(fā)表了一組文章用來答復(fù)讀者的詢問。哲學(xué)雜志》1900年6月刊載了皮爾遜一篇有名的論文，他在文中引人了一個準則χ2=Σ[（fi-Fi）2/fi] ，它是觀察和假設(shè)之間一致性的量度，用來作為確定概率的基礎(chǔ)。其中差fi-fiχ2 fi-Fi（i=1，2，k） （i=1，.2..，k）以這樣的概率共同地起因于隨機取樣的不可避免的漲落，fi表示在k個互斥范疇第i個中觀察到的頻率，F(xiàn)i 是對應(yīng)的理論頻率。他導(dǎo)出χ2 在大樣本中的取樣分布是k的函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它是類型三分布的特化形式，現(xiàn)稱為“關(guān)于k一1自由度的χ2 分布”。 χ2 準則開創(chuàng)了統(tǒng)計決策的新紀元，它無疑是皮爾遜在統(tǒng)計理論和實踐方面的最偉大貢獻之一。1904年和1911年，皮爾遜又兩次把他的χ2 準則加以推廣，用來檢驗統(tǒng)計學(xué)的一些問題。

3.卡方分布的應(yīng)用

皮爾遜從他1896年關(guān)于相關(guān)和回歸的第一篇基礎(chǔ)論文起就卷入到遺傳和進化的研究中，他充分證明了他的新數(shù)學(xué)工具在解決這些問題中的價值。在“史前人種身高的再建”（1898）和“論親族遺傳定律”中（1898），他導(dǎo)出了各種親族回歸和相關(guān)系數(shù)的理論值，檢驗了高爾頓的身高資料，并提出推廣了的高爾頓親族遺傳定律。他宣稱：“……把全部復(fù)雜的遺傳影響的跡象納人簡單的描述性的陳述中是十分可能的。如果達爾文的進化是與遺傳結(jié)合的自然選擇的話，那么必然可以證明，囊括整個遺傳領(lǐng)域的單一陳述對生物學(xué)來說就象引力定律對天文學(xué)家一樣是劃時代的?！北M管后來，孟德爾學(xué)說牢固確立起來了，但并沒有消除生物統(tǒng)計方法的用途和意義。皮爾遜的卡方分布在生物統(tǒng)計領(lǐng)域還起著重要的作用。

4.結(jié)論

皮爾遜對于統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域的作用是不容小覷的，其卡方分布作用也是不可小覷的，其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域、統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域，甚至是生物基因領(lǐng)域等等方面，都起著非常重要的作用。通過對卡方分布的起源進行系統(tǒng)的梳理分析，對皮爾遜創(chuàng)作過程的了解熟悉，讓我們了解了數(shù)學(xué)方法的奧妙之處，卡方分布可以從數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展到生物領(lǐng)域，進而發(fā)展到其他領(lǐng)域，這是非常偉大的舉措，是值得我們學(xué)習(xí)的。對于卡方分布的研究還任重而道遠，卡方分布的作用之大，是無法想象的，其應(yīng)用的領(lǐng)域是否還可以擴展是不可知的，還需要學(xué)者們進行進一步的努力和研究。

參考文獻：

[1]姚存峰. 卡爾·皮爾遜──數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的奠基者[J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理， 2011（4）：37-38+65.

[2]丁海勇， 史文中. 利用卡方分布改進N-FINDR端元提取算法[J]. 遙感學(xué)報， 2013， 17（1）：122-137.

[3]朱祖銳， 陳守全. 卡方分布序列最大值的收斂速度[J]. 西南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2016， 38（9）：137-142.