關于數(shù)形模型的思考

劉曉

（南昌工程學院 水利與生態(tài)工程學院，江西 南昌330099）

模型方法是現(xiàn)代科學的核心方法,在科學認識活動中，常借助于理想模型來進行分析、推理和運算，以揭示客體所遵循的規(guī)律，數(shù)學也不例外。本文通過對科學模型方法進行再認識，指出現(xiàn)行數(shù)形模型在闡釋微積分基本原理時存在的不足，提出對于現(xiàn)行數(shù)形模型的若干思考。

1 科學模型再認識

自然科學是研究自然界的形態(tài)、結構、性質和運動規(guī)律的科學，它的目的是認識自然規(guī)律，為人類正確改造自然開辟道路。[1]從本質上說，科學是人腦借助于模型或常數(shù)，運用邏輯的形式對規(guī)律的近似體系。邏輯包括形式邏輯和形象邏輯等，前者以數(shù)學為代表，后者以中醫(yī)為代表?？茖W并不等于規(guī)律自身，因為人們對真理（規(guī)律）的認識是由相對到絕對不斷演化的過程，每一真理都是無限發(fā)展的物質世界在有限范圍內和有限程度上所作的正確反映。[2]

人的認識能力和人使用的觀測手段具有局限性，使得人對規(guī)律的認識是個逐漸逼近的過程。以對原子的認識為例。法拉第的電解定律實驗（1834 年）反映了電荷的不連續(xù)性；湯姆生（1897 年）發(fā)現(xiàn)電子是這種不連續(xù)電荷的最小單元，提出棗核模型，但不能解釋盧瑟福1906 年發(fā)現(xiàn)的α 射線的散射現(xiàn)象；盧瑟福（1911 年）設想出原子的行星模型，但解釋原子的穩(wěn)定性等問題遇到困難，得到的推論和實驗事實相矛盾；玻爾抓住該矛盾（1913 年）提出了量子化假設，建立了量子化的原子模型；薛定諤（1926 年）在德布羅意關系式的基礎上將電子運動描繪為電子云，由于電子具有波粒二象性，因此畫不出它的運動軌跡。這反映了人們認識發(fā)展的階段性[3]。接著海森堡（1927 年）提出了著名的不確定性關系（測不準關系），對我們的世界觀產(chǎn)生了深遠的影響。有學者指出，不確定性關系的邏輯基礎是光學放大器的分辨率公式，觀測行為存在介入性干擾問題，測不準是人的觀測手段的產(chǎn)物，解決介入性干擾的出路在于改用系統(tǒng)學方法研究微觀客體，一旦采用新的方法和新的觀測手段認知微觀事物，人們未來會發(fā)現(xiàn)微觀領域根本不存在不確定問題，人們會揭示出更多對原子運動規(guī)律的認識。

科學要揭示規(guī)律就要進入定量認識的水平，數(shù)量化的表達形式必須借助于科學模型，并涉及數(shù)學工具問題，所以模型方法是現(xiàn)代科學的核心方法。在科學認識活動中，常運用抽象的思維模型進行分析、推理和運算，以獲得對客體的規(guī)律性認識。思維模型是人腦對客體簡化和理想化的結果，包括理想模型、數(shù)學模型等。

客體與世界的聯(lián)系是無限的，它的屬性很多，理想模型是對客體的一種抽象、簡化和理性化，客體有許多沒有直接關系的屬性和作用是不予考慮的。例如，在經(jīng)典力學中，當只考慮物體的位置移動，且空間尺度遠大于物體尺度時，將物體的質量集中于一點，即理想化和簡化為質點模型；當考慮物體自身的轉動時，忽略掉物體受力時發(fā)生的形變，物體被理想化為剛體模型；當考慮物體自身形變時，物體被理想化為彈性體模型。同樣的，理想氣體模型將氣體分子看成彈性小球，忽略其體積和分子間的相互作用。物理中的理想流體和點電荷、化學中的理想溶液等都是經(jīng)過簡化和理想化處理的模型，是科學抽象的結果，只存在于人的思維中，在實際中并不存在，因此，以此為模型所建立的科學體系都不免是近似的。

在數(shù)學中，沒有長寬高的點，沒有厚度和寬度的線，沒有厚度的面，都是人腦中的東西，人們在現(xiàn)實中找不到點線面，也畫不出點線面。同樣的，人們也找不到圓、雙曲線、圓球、正方體等。在研究實際問題時，把現(xiàn)實中形狀近似的物體等同于人腦中相應的模型，比如將與圓柱形狀相近的物體等同于圓柱體，把現(xiàn)實中運動著的物體看作靜止物體來認定其質量，把質量分布不均勻的物體看作質點，把微小帶電體看作點電荷等，那么在此前提下抽象出數(shù)學方程就會存在失真性，已經(jīng)不能完整而準確地反映現(xiàn)實。

再好的模型也是一種階段性的認識成果，模型方法通過不斷改進模型，去逐步逼近真實客體。模型的積極意義在人借助模型可以接近規(guī)律，它的消極作用在于失真性?？茖W工作者要充分利用模型的代表性而警惕模型的失真性，充分而恰當?shù)匕l(fā)揮模型的種種功能。[4]

2 數(shù)形模型再思考

馬克思說：“一門科學只有當它達到了能夠運用數(shù)學時，才算真正發(fā)展了”。成熟的科學要達到定量認識的水平，需要利用數(shù)學工具來揭示規(guī)律。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的科學[5]，即“形”和“數(shù)”的科學。數(shù)學同樣要借助于模型，實數(shù)體系和幾何元素就是數(shù)學基本的數(shù)形模型。

古人在實踐中，從一只羊、一棵樹等一定物群的共有性方面抽象出整數(shù)的概念，分割整數(shù)產(chǎn)生分數(shù)，整數(shù)運算出現(xiàn)了零和負數(shù)，它們構成有理數(shù)，有理數(shù)的開方產(chǎn)生無理數(shù)，這是實數(shù)的發(fā)生史。無理數(shù)的出現(xiàn)曾經(jīng)引發(fā)“第一次數(shù)學危機”，動搖了畢達哥拉斯學派關于萬物皆依賴于整數(shù)的信條，遭到他們的強烈反對，直到2000 多年后戴德金用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，才確立了實數(shù)定義及其“完備性”。

然而在對微積分基本原理的研究中，有學者指出現(xiàn)行數(shù)形模型的不足之處。在坐標軸中，任何兩個點（數(shù)）之間可以插入無數(shù)個點（數(shù)），所以點（數(shù)）是離散的，無法描述連續(xù)，沒有描述兩個點分合過渡和兩個數(shù)異同過渡的方式。點無長度，即無測度；數(shù)無度量，數(shù)的差即數(shù)量才有測度。那么不連續(xù)無測度的點如何滾動生成連續(xù)有測度的線呢？現(xiàn)行數(shù)形模型說不清楚。事實上，無理數(shù)和有理數(shù)一樣，是無度量的，所以實數(shù)無法填滿數(shù)軸，點再多數(shù)軸都有孔隙。[6]

現(xiàn)行微積分原理的基礎之一是極限論，其一個來源是“正多邊形邊數(shù)無限增多的極限是圓”，但依據(jù)點的規(guī)定性，不管正多邊形的邊數(shù)怎樣無限增多，其任意一個邊的兩個端點都無法重合，得到的將是邊長無限小下去的動態(tài)正多邊形，極限不存在了。同樣的，瞬時變化率、切線等也不存在，解析幾何中得到的是切割長度無限減小的割線。[7]

筆者沿著萊布尼茨的思路探討過微分問題，從哲學上說微分本應用來描述無到有的質變過程，但事實上現(xiàn)行的微分定義對這個過程說不清楚；從本質上看，微分是點級微化的產(chǎn)物，微分在量上是有無相互過渡的中介，定性為有，定量為零，在點上是分合過渡的中介。[8]無論把微分看作零或者其極限為零，都難以描述其本質，問題的根本在于數(shù)形模型。

有學者將數(shù)和點的規(guī)定性進行修正為：每個實數(shù)的有性擴張為0，準有性擴張不為零；點的有性度量的0，準有性度量不為0，相同的數(shù)（點）變?yōu)椴煌臄?shù)（點）有一個異同（合分）的過渡過程。這才有合理的連續(xù)概念，他將微分表述為“準有”，進一步揭示出微分的本質。借助于新的數(shù)形模型，測度有了承擔者，微積分基本原理能得到更清楚的闡釋，并且不需要依賴于極限論，張景中院士和林群院士[9]同樣地不依賴于極限論來建立微積分原理。

3 結論

科學對規(guī)律的逼近離不開模型，而模型是人腦中理想化的東西，相對客體具有失真性?，F(xiàn)有的數(shù)形模型在微積分應用中表現(xiàn)出不足，使得微積分原理的闡釋出現(xiàn)問題，解決的辦法之一是優(yōu)化數(shù)形模型，并按照“持之有故，言之成理”的科學準則來評判。