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      學貴知疑 疑中求進

      2020-01-09 10:32:35福州第十五中學徐榮樹
      天津教育 2020年28期
      關鍵詞:弦長所求斜率

      ■福州第十五中學 徐榮樹

      一、學貴知疑,悟從疑得

      明代教育家陳獻章主張“學貴知疑”的教育理念,主張學習應敢于提出疑問,獨立思考,不要迷信先人及權威,強調(diào)“提出問題”對于學習的重要性??鬃右渤珜W生“每事問”,教師應在教學過程中摒棄“師道尊嚴”的想法,面對學生的質疑應作出恰當?shù)幕貞瑒?chuàng)造一個寬松的環(huán)境,讓學生敢于提問,點燃學生思維探索的火焰,使學生圍繞知識本體不斷探索,在質疑中領悟知識真諦,對所學知識進行再認識、再創(chuàng)造,逐步形成自己的能力?,F(xiàn)行人教版高中數(shù)學必修二教科書(2007年2月第3版)在“§4.2.1直線與圓的位置關系”(第126-128頁)中設置例2如下:

      題1:已知過點M(-3,-3)的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為4,求直線l的方程。

      教科書中依據(jù)垂徑定理及勾股定理計算出弦心距后作出下列表述:“因為直線l過點M(-3,-3),所以可設所求直線l的方程為y+3=k(x+3 )?!边@種表述雖然不影響本題兩解的得出,但極易讓學生產(chǎn)生以下疑問:“過定點直線的方程是否都可以用點斜式直接假設?”在教學中筆者對例題適當改編如下:

      題2:已知過點M(-3,-3)的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為8,求直線l的方程。

      學生參照教科書中的問題解決方法可以求出直線l的方程為4x+3y+21=0,比較題1、題2的結果提出以下疑問:①為什么僅僅改動弦長就能影響解的個數(shù)?②弦長分別滿足什么條件,所求直線方程有兩解、一解或無解?(借助幾何圖形探究得出弦長小于、等于或大于直徑時所求直線方程分別為兩解、一解或無解);③當所求直線方程有兩解時,這兩條直線具備什么圖像特征?(關于過定點的直徑所在直線對稱);④題2中弦長小于直徑,為什么所求直線方程只有一解?還有一條直線哪去了?(利用對稱性進行圖形演示得出另一條直線與x軸垂直。);⑤為什么解題過程無法得出這條與x軸垂直的直線?(題中利用點斜式假設直線方程已認定直線與x軸不垂直。)

      通過以上追問可見教材編寫存在不妥之處。做如下更改比較貼切:“ ……即圓心到所求直線l的距離為。如果直線l的斜率不存在,那么直線l的方程為x=3,易得圓心到直線l的距離為3,不符合題意(舍去)。如果直線l的斜率存在,不妨設斜率為k,所以可設所求直線l的方程為y+3=k(x+3)。”

      在教學過程中,教師應鼓勵學生大膽質疑,敢于質疑,讓學生逐步形成嚴謹?shù)牧晳T,逐漸培養(yǎng)學生具有求真務實的科學態(tài)度。

      二、疑中激趣,疑中辨析

      疑問能激發(fā)興趣,學習以疑貫穿始終,其樂無窮,愛因斯坦一生對學習如癡如醉,其中最重要的原因是總是帶著疑問學習。數(shù)學知識有極強的關聯(lián)性,各知識點盤根錯節(jié),常常具有共性又互不相同,不斷提出問題不斷辨析,進而澄清知識要點,構建完善的數(shù)學大廈。

      學生通過這一系列疑問對橢圓與雙曲線的異同展開深入探討,沉浸于兩圓錐曲線的不同變化之中,從中找到探究問題的樂趣,從細小的條件變換領略各自對題目的影響,在探究過程中完成對兩曲線的深度辨析,完善圓錐曲線知識體系。

      三、善于質疑,疑中求進

      學生從無疑到有疑不可能一蹴而就,教師可根據(jù)任務主體設置題組,引導學生如何提出疑問,由淺入深,題題相扣,題題遞進,逐步完善任務主體的方方面面,使學生的思維不斷得到激發(fā)和深化,逐漸達到“無疑—有疑—無疑”的不斷循環(huán)轉化,進而不斷提高數(shù)學水平?,F(xiàn)行人教版高中數(shù)學選修1-1教材(2007年2月第3版)第62~63頁及選修2-1教材(2007年2月第2版)第71~72頁中均設置如下例題(題3),在教學過程中教師可引導學生結合此題對題4、題5進行探討。

      題3:已知拋物線y2=4x,直線l過定點P(-2,1),斜率為k,k為何值時,直線l與拋物線y2=4x:只有一個公共點;有兩個公共點;沒有公共點?

      題4:已知拋物線y2=4x,直線l過定點P(-2,1),討論直線l與拋物線y2=4x的位置關系。

      題5:求過定點P(0,1)且和拋物線y2=4x有且只有一個公共點的直線方程。

      題3聯(lián)立方程組消元后學生常順勢馬上計算Δ,此時應引導學生對此做法的合理性進行探討,讓學生注意根的判別式Δ只適用于一元二次方程(要求二次項系數(shù)不等于0),因此在二次項系數(shù)含參數(shù)的情況下必須分類討論。

      題3的實質是過定點直線與拋物線公共點個數(shù)的探討,若只已知過定點(未涉及斜率),若求公共點個數(shù)問題改成直線與拋物線位置關系問題,對問題的解決有什么影響(題4)?若將定點從P(-2,1)改成P(0,1),過定點斜率不存在的直線與拋物線的位置關系有何不同(題5)?通過上述問題的挖掘與解決并不斷引申出新的問題再解決,可完整地掌握直線與拋物線位置關系的相關知識。

      疑問是理解知識的前提,疑問是進一步深入學習的催化劑,疑問越多,好奇心就越強,教師應讓學生在不斷提問中學會質疑技巧,集中注意力,在攻克各種疑問中不斷進步。

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