等間隔分數時延濾波器及其線性插值設計

趙 慎，楊鎖昌，張寶文2，李 元

(1.陸軍工程大學石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050001； 2.中國人民解放軍92571部隊，海南 三亞 572000)

數字信號精確時延技術廣泛應用于陣列信號處理、語音信號處理、聲源定位和通信等領域[1]。特別是在寬帶雷達和聲納工程中[2]，相控技術在波束掃描時存在有限帶寬問題。在大帶寬波束掃描時，帶內不同頻率成分的波束指向不同，同時孔徑渡越時間會引起回波信號的畸變，有效的解決方法是采用延時方式代替相位方式進行波束形成[3]。

傳統(tǒng)的數字時延方法有過密采樣、數字時域內插、頻域線性相位加權等[4]，它們的原理都是以時延量化為基礎，存在運算量過大或時延精度不高等問題。通過分析傳統(tǒng)時延方法，文獻[5]對比了幾種不同分數時延濾波器的設計原理。工程實際中需對信號進行可變時延濾波處理，以得到期望性能。文獻[6]提出了Farrow結構濾波器，實現聲納中的分數時延，首次解決了可變時延的實現問題，但Farrow濾波器系數不存在閉合解，且濾波運算開銷高。

分數時延濾波器分為有限沖擊響應(FIR)和無限沖擊響應(IIR)兩大類。其中FIR分數時延濾波器具有穩(wěn)定性和線性相位優(yōu)勢，在工程中應用廣泛[7]。為降低可變分數時延的工程實現復雜度，本文基于FIR濾波設計原則，以理想數字分數時延濾波器原理為基礎，分析現有數字分數時延濾波器設計方法，提出等間隔分數時延濾波器設計方法；進一步對相鄰濾波器系數線性插值計算，以提高分數時延的精度；對寬帶信號進行分數時延仿真，驗證方法的正確性和工程價值。

1 理想數字分數時延濾波器

對滿足奈奎斯特定理的離散時間信號(采樣周期為T)構建如圖1所示的理想時延系統(tǒng)[8]。由數字樣本序列x(n)重構帶限信號xc(t)的系統(tǒng)為理想離散到連續(xù)時間(D/C)轉換器；連續(xù)信號xc(t)通過時延τ的理想系統(tǒng)后得yc(t)=xc(t-τ)；由連續(xù)信號yc(t)到數字序列y(n)的系統(tǒng)為理想連續(xù)到離散時間(C/D)轉換器，且y(n)=yc(nT)。

圖1 數字信號時延原理

根據圖1中關系得到

y(n)=xc(nT-τ)

(1)

根據理想重構系統(tǒng)定義，帶限信號xc(t)與數字序列x(n)的關系為[8]

(2)

其中，sinc(t)=[sin(πt)]/(πt)。將式(2)代入式(1)，得

y(n)=x(n)*sinc[(n-D)T]

(3)

式中，“*”為卷積運算，D=τ/T為數字分數時延。式(3)表明時延濾波器

hid(n)=sinc[(n-D)T]

(4)

當時延τ為采樣周期T的整數倍，即D為整數時，退化為特殊形式hid(n)=δ(n-D)，如圖2中D=2所示。更普遍情況，時延τ為T的非整數倍，即D為實數時，可以將其分解為

D=Dint+d

(5)

式中，Dint=fix(D)為整數時延，小數d∈[0,1)為分數時延。此時，對于任意n∈Z，均有hid(n)非零，如圖2中D=2.7所示。即普遍意義下，分數時延濾波器為無限長的非因果系統(tǒng)。

稱式(4)中hid(n)為理想數字分數時延濾波器，其頻率響應函數為

Hid(ejω)=e-jωD, |ω|≤π

(6)

幅頻和相頻響應分別為

|Hid(ejω)|≡1
arg{Hid(ejω)}=-Dω

(7)

普遍意義下，hid(n)為無限長的非因果濾波器。需按照一定原則設計有限長度的因果系統(tǒng)h(n)，逼近理想分數時延濾波器。

2 數字分數時延濾波器設計方法

2.1 最小均方誤差設計方法

假定設計出的分數時延濾波器為h(n)，頻率響應為H(ejω)，與Hid(ejω)間的誤差

E(ejω)=H(ejω)-Hid(ejω)

(8)

最小均方誤差(Least Squared Error,LS)方法原則是使得頻響誤差E(ejω)的L2范數

最小。應用帕斯瓦爾定理，得到時域描述

(9)

進一步分解，得到均方誤差

其中N為h(n)的階數，使得E最小的濾波器系數為

(10)

此即最小均方誤差意義下的分數時延濾波器的時域沖擊響應。其中，分數時延D與N之間的關系應滿足[9]

(N-1)/2≤D≤(N+1)/2

以上hid(n)從零截斷，對于從整數M處截斷的情況，最小均方誤差方法依然可得到類似的結論。此時h(n)僅在N≤n≤N+M存在取值，即

(11)

2.2 約束帶寬的最小均方誤差設計方法

LS設計原則是使得全帶寬[0,π]內均方誤差最小。在陣列信號處理、語音信號處理、聲源定位等典型工程應用中，感興趣的信號頻譜主要位于中低頻段。針對該特性，可約束帶寬范圍[0,απ]的均方誤差

(12)

最小。其中α∈(0,1]為帶寬系數。采用與最小均方誤差設計方法類似推導過程，得到分數時延濾波器為

(13)

顯然，在最小均方誤差設計原則下，全帶寬是約束帶寬條件(α=1)的特殊情況。分析可知，隨著α減小，有效帶寬逐漸減小，濾波器過渡趨平緩，濾波引起的吉普斯現象逐漸降低。式(12)是在約束頻帶[0,απ]內，誤差積分運算施加矩形窗。部分研究采用平滑過渡窗對誤差積分運算進行加權，可改善濾波器幅頻特性，然而其代價是引起相頻特性非線性化，即造成通帶內的時延差異。這種設計方法適用于窄帶信號時延處理，但無法滿足寬帶應用需求。

2.3 加窗設計方法

工程中常采用時域加窗法，使得截斷處的濾波器系數經過平緩過渡。加窗設計數字分數時延濾波器為

(14)

其中，w[·]為窗函數。在分數時延濾波器設計中，通常采用切比雪夫或漢明窗函數。

2.4 最大平坦準則逼近法

最大平坦準則是在頻域逼近時，使得誤差E(ejω)在特定頻率處的前N階導數為零，即

由此得到ω∈[0,π]內的任意頻點ω0處誤差函數最小的分數時延濾波器系數值近似結果[5]

(15)

該濾波器系數為復數，與相同階數實數FIR濾波器相比，需要更多的運算量。故一般采取ω=0的結果

(16)

作為最大平坦準則逼近法設計出的濾波器。

3 等間隔分數時延濾波器設計方法

3.1 可變時延需求分析

第2節(jié)研究的常規(guī)設計方法各有優(yōu)點，但存在相同的局限性：給定長度和分數時延，濾波器系數為一組固定值?；谠摻M濾波器系數，僅能適用于固定時延量的應用需求。

在語音信號處理、聲源定位、陣列信號處理等應用領域，需要對信號進行可變時延濾波處理，以得到期望效果和性能。針對變時延需求，文獻[6]提出了Farrow結構的濾波器，其形式為M組N階的FIR濾波器，且濾波器系數為分數時延量d的多項式。分數時延濾波器系數隨時延d變化，無需重復加載。Farrow濾波器的缺點是階數大，運算開銷高[10]，在工程中難以應用。

3.2 理想等間隔時延量濾波器

等間隔分數時延濾波器的基礎是多采樣率信號處理理論，其原理如圖3所示。

圖3 變采樣率分數時延濾波原理

x(n)經過L倍增采樣和重構濾波器(增益為L，截止頻率為π/L)，得到采樣周期為T1=T/L的重構信號[8]

x1(n)通過m點延遲取樣的輸出為x2(n)，即

進一步，x2(n)通過抗混疊濾波和L倍采樣率壓縮，得到xd(n)=x2(nL)，即

=x(n)*hd,m(n)

(17)

其中，hd,m(n)定義為時延量為d=mT/L分數時延濾波器，延遲輸出xd(n)與x(n)之間的時延量為mT/L。分析可知，通過變采樣和濾波處理，圖3實現的時延精度為原采樣周期的1/L。

3.3 等間隔時延量濾波器設計

利用線性時不變系統(tǒng)的結合律，將圖3中的重構濾波器、理想時延濾波和抗混疊濾波器級聯為單位沖擊響應為hm(n)的系統(tǒng)，得到理想等間隔分數時延濾波器

hm(n)=sinc(n-m/L)T, 0≤m≤L-1

(18)

對比式(18)與式(4)可知，hm(n)是理想數字分數時延濾波器在d=m/L時的特殊形式。

式(18)中，hm(n)為無限長非因果濾波器，需按照(約束帶寬)最小均方誤差、加窗法等原則設計近似有限長度因果系統(tǒng)。不失一般性，以約束帶寬的最小均方誤差設計方法為例，將d=m/L代入式(13)中，得

hα,m(n)=αsinc[α(n-Dint-m/L)T]

(19)

其中，n∈[M,N+M]，m∈[0,L-1]。M為取樣延遲，不影響分析前提下，可取M=0，即n∈[0,N]，則濾波器群時延Dint=N/2。分析可知，等間隔分數時延濾波器為sinc函數時延d=m/L的離散采樣。

設系統(tǒng)采樣頻率為100 kHz，直接延遲取樣的時延精度為10 μs。取帶寬系數α=1，階數N=20，插值系數L=10，即設計m={0,1,2,…,L-1}共10組濾波器系數，對應時延分別為τ=DintT+dm，其中分數時延量dm=mT/L，即10個濾波器組的時延量分別為dm=[0 μs,1 μs,2 μs,…,9 μs]。

取所需時延為τ=138.7 μs，可將其分解為：

① 濾波器的固有時延DintT=100 μs；

② 3點延遲取樣，即M=3實現30 μs時延；

③ 剩余8.7 μs即所需分數時延，近似選取m=9的濾波器組，取dm=9 μs的分數時延。

因此，可以將所需時延分解為濾波器群時延、取樣時延和分數時延。在取樣時延基礎上，近似選擇等間隔分數時延濾波器，實現信號分數時延。

3.4 等間隔時延濾波器插值設計

通過插值選抽處理，等間隔時延濾波器實質是將時延量[0,T]等分為L個相等間隔的格點，其能夠實現的最大時延精度為±dm/2。在高分辨率波束、精確時延估計等應用場合，需更精確的時延控制。為此，提出對分數時延濾波器系數線性插值運算，以提高時延精度的方法。

設時延τ分解為整數時延Dint和分數時延d，由于Dint不影響時延精度，故此處集中分析d作用的信號輸出xd(n)。取整數

l=fix(d)∈{0,1,2,…,L-1}

(20)

信號經過第l組和l+1組等間隔分數時延濾波器的輸出為

(21)

結合物理意義，xd(n)必然位于xl(n)和xl+1(n)之間，可利用線性插值式近似表示

xd(n)≈xl(n)+[xl+1(n)-xl(n)]Δl

(22)

其中，Δl=d-l即d中小數部分。直接應用式(22)計算分數時延輸出，需兩組卷積運算，為降低運算量，將式(22)帶入式(21)中，得到

xd(n)=x(n)?[hl(n)Δl+1+hl+1(n)Δl]

記卷積運算的后項為

hd(n)=[hl(n)Δl+1+hl+1(n)Δl]

(23)

則有

xd(n)=x(n)*hd(n)

(24)

總結以上過程，按式(23)計算第l和l+1組等間隔分數時延濾波器的線性組合，得到濾波器hd(n)的系數，計算x(n)與hd(n)的卷積即為輸出信號xd(n)。

因此，根據所需的分數時延量，通過等間隔分數時延濾波器系數的線性插值運算，可以得到精確可變時延分數濾波器。

4 算法仿真驗證

4.1 等間隔時延濾波仿真

設系統(tǒng)采樣頻率為100 kHz，線性調頻信號x(n)持續(xù)時間為5 ms，中心頻率為11 kHz，帶寬為8 kHz。

取插值系數L=10，構建10組等間隔分數時延濾波器。取帶寬系數α=1，濾波器階數N=20。帶入式(19)中，得到10組時延間隔為1 μs濾波器。

信號x(n)通過10組等間隔分數時延濾波器，得到10路時延輸出信號x(n-Dint-d)如圖4所示，其中d={0.0,0.1,…,0.9}。圖中同時繪出直接延遲取樣實現DintT和(Dint+1)T時延量的結果，分別表示為x[n-Dint]和x[n-Dint-1]。

圖4 延遲取樣與等間隔分數時延濾波輸出

分析圖4(a)可知，10路輸出信號與延遲取樣信號x[n-Dint]波形基本一致，說明濾波器幅頻響應一致性較好，在有效頻帶內具有線性相位。圖4(b)表明輸出信號在時間上基本均勻分布在x[n-Dint]和x[n-Dint-1]之間，滿足等間隔分數時延特性。有效信號開始和結束階段，存在明顯的吉普斯現象，是最小均方誤差準則截斷造成的影響。

基于輸入和輸出信號的互相關函數，并用文獻[11]中的拋物線擬合方法確定互相關函數峰值即10路輸出信號時延，結果如圖5所示。分析表明，10路輸出信號的時延量基本滿足等間隔關系。

圖5 基于互相關計算出的信號時延

進一步，計算輸出信號的實際時延與理論時延之間的誤差，結果如表1所示。輸出信號的時延誤差有所不同，最大誤差為0.18 μs(小于采樣周期的2%)，表明等間隔時延濾波具有較高的時延精度。

表1 L=10組信號時延與理論時延誤差 單位:μs

4.2 等間隔時延濾波器插值算法性能仿真

對于任意可變分數時延d，可根據式(20)確定濾波器的序號，并按式(23)進行插值，計算出分數時延濾波器系數hd(n)，然后按式(24)運算以實現分數時延。根據仿真條件，等間隔分數時延濾波器的時延精度為1 μs。取分數時延d在[0,T)區(qū)間內、按照步階量為0.1 μs增長進行仿真驗證。采用與4.2節(jié)類似的方法評估輸出信號時延與理論時延之間的誤差，結果如圖6所示。

圖6 基于線性插值的輸出信號時延與理論時延誤差

仿真中最大時延誤差0.187 μs(小于采樣周期的2%)出現在3～4 μs之間，該結論與表1中結果基本吻合。驗證了通過插值方法構建濾波器系數方法的有效性，同時說明時延誤差和等間隔分數時延濾波器直接相關。分析可知，提高插值選抽因子L和濾波器階數N，能降低時延誤差，但同時會增加硬件存儲和運算量開銷，實際工程中需要綜合考慮允許時延誤差和系統(tǒng)資源。

5 結束語

研究了數字分數時延濾波器原理和設計方法，針對固定濾波器系數不能實現可變時延的需求，提出了等間隔分數時延濾波器設計方法，論證了等間隔分數時延濾波的原理和實現結構。為提高時延精度，進一步提出了等間隔時延濾波器線性插值方法構建分數時延濾波器的方法。其濾波計算結構與未插值濾波器的計算結構相同，故在運算量保持不變的前提下，基于等間隔時延濾波器能夠實現高精度的可變時延。對線性調頻信號的仿真結果表明，在插值系數為10、濾波器階數為20的條件下，能夠實現小于采樣周期2%的時延精度，可滿足工程中寬帶信號高精度可變分數時延濾波需求。