自旋軌道耦合二維費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)

梁成功,張?jiān)撇?/p>

(山西大學(xué)理論物理研究所,太原030006)

超冷原子氣體由于其相互作用的高度可調(diào)控性,為建立和研究各種物理模型提供了重要平臺(tái)[1-3].基于超冷原子氣體研究各種量子系統(tǒng)的新奇熱力學(xué)性質(zhì)是當(dāng)前物理學(xué)研究的熱點(diǎn)和前沿課題[4-6].各種可觀測的熱力學(xué)參量如密度、壓強(qiáng)、等溫壓縮系數(shù)等為研究量子多體系統(tǒng)的各種新奇量子相以及量子相變提供了重要的觀測手段.例如:在液體和固體中等溫壓縮系數(shù)用于探測其流動(dòng)性和剛度;在超冷原子氣體中,已經(jīng)廣泛用于探測從正常相到玻色愛因斯坦凝聚、超流到固體相如超固和Mott絕緣的轉(zhuǎn)變;在光晶格超冷原子系統(tǒng)中,用于探測Mott絕緣相變[7-10]、劃分超流相和正常相的相邊界[11]、觀察超導(dǎo)體中的各種拓?fù)淞孔酉嘧僛12]、判斷二維Hubbard模型中相分離和條紋相的形成[13-14].

最近超冷原子氣體研究領(lǐng)域的突破性進(jìn)展是人造自旋軌道耦合的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[15-19].人造自旋軌道耦合是繼Feshbach共振技術(shù)調(diào)節(jié)原子間的相互作用[20-21]、光晶格技術(shù)實(shí)現(xiàn)各種凝聚態(tài)物理模型[22-24]之后,超冷原子體系的又一重要調(diào)控手段,極大地拓展了超冷原子的模擬范圍,為發(fā)現(xiàn)新物態(tài)和各種奇異量子現(xiàn)象鋪平了道路[25-29].先前的研究已經(jīng)表明,自旋軌道耦合從根本上改變了超冷費(fèi)米原子系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)[30-31].例如由于自旋軌道耦合和塞曼場的共同作用,在玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate,BEC)-BCS(Bardeen,Cooper and Schrieffer)渡越區(qū)域等溫壓縮系數(shù)和壓強(qiáng)隨相互作用強(qiáng)度的變化表現(xiàn)出反常行為,在某一特定的散射長度附近,等溫壓縮系數(shù)出現(xiàn)了急劇增大的共振峰值,壓強(qiáng)指數(shù)相應(yīng)地急劇減小.對于連續(xù)系統(tǒng),這一等溫壓縮系數(shù)和壓強(qiáng)的反常行為只能出現(xiàn)在無能隙的相[30].而對于晶格系統(tǒng)該反常行為既可以出現(xiàn)在無能隙的相也可以出現(xiàn)在有能隙的相[31].由于上述結(jié)果都是針對的三維費(fèi)米系統(tǒng),一個(gè)重要的問題是對于自旋軌道耦合的二維費(fèi)米系統(tǒng),等溫壓縮系數(shù)等熱力學(xué)參量是否會(huì)出現(xiàn)類似的反常行為,等溫壓縮系數(shù)、壓強(qiáng)、熱力學(xué)熵等熱力學(xué)量在自旋軌道耦合的二維系統(tǒng)中是否會(huì)表現(xiàn)出不同于三維系統(tǒng)的新規(guī)律.

關(guān)于二維費(fèi)米系統(tǒng)的研究有助于加深對Berezinskii-Kosterlitz-Thouless相變[32]、非傳統(tǒng)超導(dǎo)體[33]、石墨烯[34]、拓?fù)浣^緣體材料[35]、拓?fù)涑瑢?dǎo)和Majorana零模[37-40]等重要前沿科學(xué)問題的理解.因而,研究二維自旋軌道耦合費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)具有非常重要的意義.本文我們將研究二維自旋軌道耦合的均勻費(fèi)米原子氣體的熱力學(xué)性質(zhì).在平均場近似下,通過求解能隙方程和粒子數(shù)方程,討論了自旋軌道耦合和外加塞曼場對等溫壓縮系數(shù)、壓強(qiáng)等熱力學(xué)參量的影響.研究結(jié)果表明,在自旋軌道耦合和外加塞曼場的共同作用下,系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)在BEC-BCS渡越區(qū)域表現(xiàn)出類似于三維系統(tǒng)中隨相互作用急劇變化的反常行為.跟三維系統(tǒng)明顯不同的是,在BEC極限下,二維系統(tǒng)中等溫壓縮系數(shù)基本不隨相互作用變化;而三維系統(tǒng)中等溫壓縮系數(shù)隨相互作用增強(qiáng)而線性增大.在BEC極限下,我們發(fā)現(xiàn)壓強(qiáng)基本不隨相互作用變化,這跟三維系統(tǒng)中壓強(qiáng)跟散射長度成正比有明顯不同.對于強(qiáng)自旋軌道耦合的系統(tǒng),在BEC-BCS渡越區(qū)域,我們還觀察到壓強(qiáng)隨塞曼場增大而減小的不同于BCS極限的反常行為.此外,我們還討論了有限溫度下,超流序參、熱力學(xué)熵隨溫度的變化規(guī)律.一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)是在超流相超流序參數(shù)隨自旋軌道耦合強(qiáng)度變化的非單調(diào)行為.與此同時(shí),系統(tǒng)的熱力學(xué)熵在自旋軌道耦合和塞曼場共同作用下,在正常相和超流相表現(xiàn)出完全相反的變化行為.

1 理論模型

均勻的具有Rashba自旋軌道耦合的二維費(fèi)米氣體,其單粒子的哈密頓量為

式中:g<0為有效吸引相互作用常數(shù);A=L2,為2D費(fèi)米氣體的面積;對k=(kx,ky)的求和為全空間求和.為避免發(fā)散,在2D費(fèi)米氣體中有

應(yīng)用平均場理論定義序參量,在Nambu-Gorkov自旋基下,其Bogoliubov-de-Genes(Bd G)形式的有效哈密頓量為

式中,Bd G算符的形式為

其中γk=α(ky+i kx).做幺正變換使矩陣對角化,可得有效哈密頓量為

基態(tài)能量為

式中,β=1/kBT,kB為玻爾茲曼常數(shù).由??/??=0,N=???/?μ,可得能隙方程和粒子數(shù)方程為

選定費(fèi)米能EF=(2m)為能量單位,其中二維費(fèi)米動(dòng)量=n為原子密度,m為原子質(zhì)量,這樣粒子數(shù)密度就為確定量,做無量綱化處理,q=k/kF,求和化積分,在計(jì)算中將 q在[?100,100]截?cái)? 通過數(shù)值求解方程(10)和方程(11)可以得到超流序參?和化學(xué)勢μ,在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步計(jì)算所有熱力學(xué)量.

2 等溫壓縮系數(shù)和壓強(qiáng)

考慮自旋軌道耦合和塞曼場對等溫壓縮系數(shù)的影響.根據(jù)Gibbs-Duhem方程和Maxwell關(guān)系,等溫壓縮系數(shù)重新定義為

將方程(10)代入式(12),可得二維費(fèi)米氣體的等溫壓縮系數(shù)

對于無自旋軌道耦合的情況,理論和實(shí)驗(yàn)研究已經(jīng)表明二維費(fèi)米氣體與三維相比表現(xiàn)出了完全不同的熱力學(xué)性質(zhì)[36].通過自洽求解能隙方程和粒子數(shù)方程,可以發(fā)現(xiàn)自旋軌道耦合和塞曼場對系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)有重要影響.

在沒有塞曼場的情況下,自旋軌道耦合對二維費(fèi)米氣體等溫壓縮系數(shù)的影響如圖1所示.可以看出:當(dāng)相互作用較弱時(shí)(在BCS極限下),隨著自旋軌道耦合的增強(qiáng),等溫壓縮系數(shù)明顯增大;當(dāng)相互作用較強(qiáng)時(shí)(在BEC極限下),二維費(fèi)米系統(tǒng)中的等溫壓縮系數(shù)基本不隨相互作用變化.這與三維系統(tǒng)的情況明顯不同,因?yàn)樵谌S連續(xù)系統(tǒng)中,BEC極限下等溫壓縮系數(shù)隨相互作用的增強(qiáng)而線性增大;而在三維光晶格系統(tǒng)中,BEC極限下等溫壓縮系數(shù)隨相互作用的增強(qiáng)而線性減小.

在有塞曼場的情況下,通過合適地選擇自旋軌道耦合強(qiáng)度和塞曼場的強(qiáng)度,在二維費(fèi)米系統(tǒng)中觀察到先前在三維系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的等溫壓縮系數(shù)隨相互作用急劇變化的共振峰[30,31],如圖2(a),(b)和(d)所示.可以看出:共振峰的位置主要受塞曼場強(qiáng)度的影響,而基本不隨自旋軌道耦合強(qiáng)度改變;而共振峰的振幅受自旋軌道耦合和塞曼場的共同影響.同時(shí),可以發(fā)現(xiàn)塞曼場和自旋軌道耦合對共振峰的振幅具有完全相反的效應(yīng),即增大塞曼場可以增強(qiáng)共振峰振幅,但增大自旋軌道耦合卻可以抑制共振峰振幅,如圖2(a)和(d)所示.同樣,當(dāng)自旋軌道耦合強(qiáng)度較弱時(shí),在遠(yuǎn)離共振峰的位置,等溫壓縮系數(shù)基本不受自旋軌道耦合強(qiáng)度變化的影響,如圖2(a)和(d)所示.當(dāng)自旋軌道耦合強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí),等溫壓縮系數(shù)隨相互作用變化的共振峰消失,如圖2(c)所示.與無塞曼場情況類似,當(dāng)自旋軌道耦合足夠大(相對塞曼場),BCS極限下等溫壓縮系數(shù)隨自旋軌道耦合的增強(qiáng)而明顯增大,如圖2(f)所示.另外,具有塞曼場的自旋軌道耦合系統(tǒng)和無塞曼場的自旋軌道耦合系統(tǒng),在等溫壓縮系數(shù)方面的另外一個(gè)明顯不同的特征是,中間強(qiáng)度的自旋軌道耦合(如αkF～1)在BCS極限會(huì)使系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)明顯減小,而不是增大(對比圖2(a),(b)中hz=0.6).由圖2(b)和(c)還可以看出,在存在自旋軌道耦合的情況下,塞曼場在BEC和BCS極限下對等溫壓縮系數(shù)的影響正好相反.在BEC極限下,等溫壓縮系數(shù)隨著塞曼場的增強(qiáng)而增大;而在BCS極限下,等溫壓縮系數(shù)隨著塞曼場的增強(qiáng)而減小.

圖1 自旋軌道耦合對二維費(fèi)米氣體等溫壓縮系數(shù)的影響(h z=0)Fig.1 Isothermal compressibility as a function of the interatomic interaction strength Eb with the spin-orbit coupling(h z=0)

接下來,討論在自旋軌道耦合和塞曼場對統(tǒng)計(jì)物理中另外一個(gè)重要物理量壓強(qiáng)的影響.根據(jù)壓強(qiáng)跟巨熱力學(xué)勢的關(guān)系?=?PA,通過式(8),可以得到二維費(fèi)米氣體的壓強(qiáng)為

圖2 自旋軌道耦合和塞曼場作用下等溫壓縮系數(shù)隨原子間相互作用的變化Fig.2 Isothermal compressibility as a function of the interatomic interaction strength with the presence of both spin-orbit coupling and Zeeman field

圖3 自旋軌道耦合和塞曼場作用下壓強(qiáng)隨原子間相互作用的變化Fig.3 Pressure as a function of the interatomic interaction strength with the presence of spin-orbit coupling and Zeeman field

由上式可知,系統(tǒng)的壓強(qiáng)與二維費(fèi)米氣體的面積成反比,并依賴于序參數(shù)?和化學(xué)勢μ.仍然考慮平均場近似,在零溫極限條件下通過求解能隙方程和粒子數(shù)方程得到系統(tǒng)的序參數(shù)?和化學(xué)勢μ,代入等式(13),可以數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)的壓強(qiáng).在自旋軌道耦合和外加塞曼場共同作用下,壓強(qiáng)隨原子間相互作用強(qiáng)度的變化如圖3所示.可以發(fā)現(xiàn):對于二維費(fèi)米氣體,當(dāng)存在自旋軌道耦合和外加塞曼場時(shí),在相互作用很強(qiáng)的BEC極限下,系統(tǒng)的壓強(qiáng)基本不隨相互作用強(qiáng)度的改變而改變.這與三維系統(tǒng)中在BEC極限下,壓強(qiáng)與散射長度成正比有明顯不同[30].與在BEC極限下的情況明顯不同的是,由于自旋軌道和塞曼場的影響,在BCS極限下系統(tǒng)的壓強(qiáng)敏感地依賴于系統(tǒng)的相互作用.同時(shí),可以發(fā)現(xiàn)增大自旋軌道耦合可以減小壓強(qiáng),如圖3(d),(e)和(f)所示.固定自旋軌道耦合強(qiáng)度和原子間相互作用,可以發(fā)現(xiàn)在BCS極限下壓強(qiáng)隨外加塞曼場強(qiáng)度的增加而增大,如圖3(a)和(b)所示.對于強(qiáng)自旋軌道耦合的系統(tǒng),在BEC-BCS渡越區(qū)域,還可以觀察到壓強(qiáng)隨塞曼場增大而減小,這是不同于BCS極限的反常行為,如圖3(c)所示.

3 熱力學(xué)熵

眾所周知,隨著溫度的增加,系統(tǒng)會(huì)在某一臨界溫度(超流轉(zhuǎn)變溫度TC)時(shí)發(fā)生從超流相到正常相的轉(zhuǎn)變[18],這一相變現(xiàn)象可以通過超流序參數(shù)的變化來刻畫.當(dāng)序參數(shù)不為0時(shí),系統(tǒng)處于超流相;當(dāng)序參數(shù)為0時(shí),系統(tǒng)處于正常相.圖4給出了在自旋軌道耦合和塞曼場作用下,系統(tǒng)的超流序參數(shù)隨溫度的變化關(guān)系.由圖4(a)可以看出,當(dāng)固定塞曼場強(qiáng)度時(shí),超流轉(zhuǎn)變溫度隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度的增大而增大.另外一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)是,在超流相可以觀察到超流序參數(shù)隨自旋軌道耦合強(qiáng)度變化的非單調(diào)行為,即當(dāng)溫度非常小時(shí),在有塞曼場存在的情況下,隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度從0逐漸增大,超流序參數(shù)先減小后增大(見圖4(a)).這表明較弱的自旋軌道耦不足以克服塞曼場對超流的抑制作用,整體表現(xiàn)為抑制.當(dāng)自旋軌道耦合足夠大時(shí),自旋軌道耦合的作用占主導(dǎo),會(huì)促進(jìn)了系統(tǒng)的超流形成.當(dāng)固定自旋軌道耦合強(qiáng)度時(shí),可以發(fā)現(xiàn)超流轉(zhuǎn)變溫度隨著塞曼場的增大而減小(見圖4(b)),這再次表明塞曼場和自旋軌道耦合對超流轉(zhuǎn)變溫度的影響正好相反.

當(dāng)給定系統(tǒng)的化學(xué)勢、超流序參數(shù)和相互作用等參量時(shí),可以計(jì)算系統(tǒng)的熱力學(xué)熵.接下來主要研究在固定相互作用Eb=1.0的情況下,熵隨溫度和自旋軌道耦合強(qiáng)度以及塞曼場強(qiáng)度的變化規(guī)律.從圖4可以看出:在超流轉(zhuǎn)變溫度處,熵的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù);在超流相,熵隨溫度的變化是非線性的,而在正常相,熵隨溫度的變化是線性的.因此,熵也可以用來表征從正常相到超流相的相變.同時(shí),可以觀察到熱力學(xué)熵在自旋軌道耦合作用下表現(xiàn)出的一些有趣的行為.當(dāng)自旋軌道耦合較弱時(shí),在某一自旋軌道耦合強(qiáng)度范圍內(nèi)(αkF<0.5)正常相的熵并不隨自旋軌道耦合強(qiáng)度的變化而變化(見圖4(c));但在相變點(diǎn)附近,由于自旋軌道增強(qiáng)而引起轉(zhuǎn)變溫度升高,系統(tǒng)進(jìn)入超流相,系統(tǒng)突然變得更有序,因而熵隨自旋軌道耦合增大而減小.當(dāng)系統(tǒng)完全處于超流相時(shí),熱力學(xué)熵隨自旋軌道耦合強(qiáng)度的增大而減小,表現(xiàn)出跟正常相完全相反的變化規(guī)律(見圖4(c)).另外,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)存在自旋軌道耦合時(shí),熱力學(xué)熵隨塞曼場的改變在正常相和超流相也表現(xiàn)出完全相反的變化規(guī)律.在正常相,熵隨塞曼場的增強(qiáng)而減小;在超流相,熵隨塞曼場的增強(qiáng)而增大.這與自旋軌道耦合對熵的影響恰好相反,如圖4(d)所示.

4 結(jié)束語

本工作應(yīng)用平均場理論研究了連續(xù)系統(tǒng)中自旋軌道耦合和塞曼場共同作用下二維費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì),并基于平均場理論,通過求解能隙方程和粒子數(shù)方程,計(jì)算了系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)、壓強(qiáng)、超流序參數(shù)和熱力學(xué)熵.我們發(fā)現(xiàn)這些熱力學(xué)量在自旋軌道耦合和塞曼場作用下,表現(xiàn)出一系列不同于三維系統(tǒng)的新性質(zhì):①熱力學(xué)參量在BEC極限和BCS極限下、在超流相和正常相區(qū)域所表現(xiàn)出的對自旋軌道耦合和塞曼場完全不同的依賴關(guān)系;②在合適的參數(shù)區(qū)域各個(gè)熱力學(xué)量隨自旋軌道耦合和塞曼場強(qiáng)度的非單調(diào)變化行為.所有這些發(fā)現(xiàn)為深入理解自旋軌道耦合系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)提供了理論依據(jù).需要強(qiáng)調(diào)的是,本工作所討論的熱力學(xué)量隨自旋軌道耦合和塞曼場的變化規(guī)律僅限于平均場理論,只適用于溫度較低的情況.當(dāng)溫度較高時(shí),尤其對于二維系統(tǒng)由于漲落等因素的影響,本工作所使用的平均理論將不能很好地描述系統(tǒng)真實(shí)的熱力學(xué)性質(zhì),需要借助蒙特卡洛數(shù)值模擬計(jì)算等方法在超越平均場水平上進(jìn)行研究.

圖4 自旋軌道耦合和塞曼場共同作用下序參和熵隨溫度的變化規(guī)律Fig.4 Order parameter and entropy as a function of temperature in the presence of spin-orbit coupling and Zeeman field