從中國版《幾何原本》研究測度與積度

程碧波

摘要：本文基于徐光啟版《幾何原本》重新審視測度問題，并提出積度原理和方法。根據(jù)徐版《幾何原本》，0與無窮小具有本質(zhì)區(qū)別，線不能由點(diǎn)構(gòu)成，線只能由無窮小的線段構(gòu)成;面不能由線構(gòu)成，面只能由無窮窄的面構(gòu)成;體不能由面構(gòu)成，體只能由無窮薄的體構(gòu)成。由此出發(fā)，對(duì)測度進(jìn)行重新研究，并利用祖暅定理，提出積度的理論和方法。

關(guān)鍵詞：測度;積度;幾何原本;祖暅定理

本文基于徐光啟版《幾何原本》（以下稱中國版《幾何原本》）重新審視測度問題，并提出積度原理和方法。

三、數(shù)的表達(dá)

理論上說，任何實(shí)數(shù)均可用無窮級(jí)數(shù)來表達(dá)。但只有有理數(shù)和整數(shù)能表達(dá)為有規(guī)律的部分和與增項(xiàng)，無理數(shù)的部分和與增項(xiàng)并無規(guī)律可言。換言之，無理數(shù)是不可用級(jí)數(shù)來精確表達(dá)的。使用等形式可以精確地表達(dá)無理數(shù)，但這只能表達(dá)極少數(shù)的無理數(shù)。既然無理數(shù)不可用級(jí)數(shù)來精確表達(dá)，自然亦不可用級(jí)數(shù)表達(dá)來證明其是否可數(shù)。而十進(jìn)制就是級(jí)數(shù)表達(dá)。由于目前尚未找到通用的如同一樣精確表達(dá)的無理數(shù)表達(dá)方法，所以無理數(shù)既不可證為可數(shù)，亦不可證為不可數(shù)。事實(shí)上，凡是可以用有限符號(hào)表達(dá)的無理數(shù)，都必然可以建立與整數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

四、0、無窮小與

（一）在實(shí)分析中，常把0與無窮小混同。例如實(shí)分析認(rèn)為，對(duì)于連續(xù)單射，。但事實(shí)上此等式并不成立。因?yàn)?，而?/p>

（二），但是當(dāng)時(shí)，的值則不一定為0。譬如設(shè)，則。這也正是趨于0的微分dx可以積分為非0數(shù)值的原理。假設(shè)因?yàn)槎苯訉懽?，則，其數(shù)值就完全錯(cuò)誤了。

（三）在實(shí)分析中是無窮大的數(shù)值，是沒有意義的。但是事實(shí)上還存在著低階無窮大和高階無窮大的區(qū)別。例如，，都是的例子。

五、點(diǎn)、線、面和體的關(guān)系

在實(shí)分析中，點(diǎn)的集合構(gòu)成線，線的集合構(gòu)成面，面的集合構(gòu)成體。但是在中國版《幾何原本》卷一說：“點(diǎn)者無分，無長短廣狹厚薄”，“線有長無廣”，“線之界是點(diǎn)”，“面者止有長有廣，體所見為面”，“面之界是線”。卷五第一界中說：“分者，幾何之幾何也。小能度大，以小為大之分。以小幾何度大幾何謂之分。曰，幾何之幾，何者謂非？此小幾何不能為此大幾何之分也。如一點(diǎn)無分亦非幾何，即不能為線之分也。一線無廣狹之分，非廣狹之幾何，即不能為面之分也。一面無厚薄之分，非厚薄之幾何，即不能為體之分也”。因此依照中國版《幾何原本》，點(diǎn)的大小為0，點(diǎn)只是線的分界，線并非由點(diǎn)的集合所構(gòu)成;線的寬度為0，線只是面的分界，面亦并非由線的集合所構(gòu)成;面的厚度為0，面只是體的分界，體亦并非由面的集合所構(gòu)成。因此中國版《幾何原本》否定了實(shí)分析關(guān)于點(diǎn)、線、面和體的關(guān)系，認(rèn)為線只能由線來構(gòu)成，面只能由面來構(gòu)成，體只能由體來構(gòu)成。

六、大幾何與小幾何：測度

中國版《幾何原本》闡述了大幾何與小幾何的關(guān)系。小幾何是測量工具的最小刻度，亦即最高測量精度，則大幾何則是被測量的物體。若令為對(duì)被測物體所測量的數(shù)值，則的實(shí)際數(shù)值必須為最小刻度的整數(shù)倍，才會(huì)滿足測度的可加性，否則只有測度的次可加性。

但是實(shí)分析的測度與測量工具的最小刻度無關(guān)，也即與測量工具的精度無關(guān)，事實(shí)上其與測量工具根本就無關(guān)。其直接將點(diǎn)集里點(diǎn)與點(diǎn)之間的坐標(biāo)距離定義為測度。但這就出了邏輯矛盾：按此定義，任何一點(diǎn)的測度均應(yīng)為0，而無理數(shù)的各點(diǎn)會(huì)被有理數(shù)點(diǎn)隔離，因此無法直接應(yīng)用兩個(gè)無理數(shù)之間的距離來作為此兩數(shù)間的無理數(shù)測度值，而需要將兩數(shù)間所有無理數(shù)點(diǎn)的測度進(jìn)行加總來得到其無理數(shù)測度值。但無理數(shù)點(diǎn)集里所有點(diǎn)的測度加總應(yīng)為0。而有理數(shù)點(diǎn)集里所有點(diǎn)的測度加總亦應(yīng)為0。所以無理數(shù)點(diǎn)集與有理數(shù)點(diǎn)集加總后在整個(gè)實(shí)數(shù)集上的測度還是為0。這與點(diǎn)集中點(diǎn)與點(diǎn)之間的坐標(biāo)距離為測度的定義矛盾。所以實(shí)分析認(rèn)為有理數(shù)集可測而無理數(shù)集不可測，由此得到結(jié)論：單個(gè)有理數(shù)點(diǎn)的測度為0、有理數(shù)點(diǎn)集的測度亦為0，滿足測度的可加性。而單個(gè)無理數(shù)點(diǎn)的測度為0、無理數(shù)點(diǎn)集的測度為兩點(diǎn)之間的距離，不一定為0，不滿足測度的可加性，而只滿足測度的次可加性。從而試圖在邏輯上自圓其說。

綜合來看，中國版《幾何原本》中有測度的可加性和不可加性，其取決于測量工具的精度和被測物體真實(shí)值是否可被最小刻度量盡。而實(shí)分析中也有測度的可加性和不可加性，其測度與測量工具無關(guān)，而是物體真實(shí)值（例如點(diǎn)集）的函數(shù)，其依賴于對(duì)無理數(shù)集不可數(shù)的研判，來構(gòu)造不具有可加性的無理數(shù)測度，以滿足實(shí)數(shù)集上的測度定義。但事實(shí)上無理數(shù)集的可數(shù)性是無法證明亦無法證否的。從測度的本義來看，正如中國版《幾何原本》所說，直線不是點(diǎn)的集合，直線只能是線段的集合，因?yàn)辄c(diǎn)只是線之邊界，點(diǎn)的長度為0，任意無限多點(diǎn)的集合，其長度仍然為0。長度無窮小的線段跟長度為0的點(diǎn)，有天壤之別：前者可以通過無窮累加而成一非零數(shù)值，后者則無論如何累加均為0。線與面、面與體的關(guān)系亦同理可推。只有在有限項(xiàng)相加時(shí)，高階無窮小項(xiàng)才能等價(jià)于0。實(shí)分析混淆0與無窮小，認(rèn)為線段的測度為點(diǎn)的測度之加總，面的測度為線的測度之加總，體的測度為面的測度之加總，違反了中國版《幾何原本》“一點(diǎn)無分亦非幾何，即不能為線之分也。一線無廣狹之分，非廣狹之幾何，即不能為面之分也。一面無厚薄之分，非厚薄之幾何，即不能為體之分也”的闡述，必然會(huì)出邏輯矛盾。

可以研判，西方各版本《幾何原本》沒有意識(shí)到中國版本《幾何原本》的測度問題，而后來的實(shí)分析發(fā)現(xiàn)了中國版《幾何原本》中關(guān)于測度的闡述，但仍未理解測度的真正含義。

按照中國版《幾何原本》的邏輯，由于點(diǎn)的測度為0，所以點(diǎn)是不占據(jù)空間的，研究一個(gè)空間中有多少無理數(shù)點(diǎn)或有理數(shù)點(diǎn)，并無意義。如果我們真要從點(diǎn)的層面來研究線段，例如對(duì)康托爾三分集的研究，我們也必須寫出無窮小線段的無窮小表達(dá)式，構(gòu)建無窮小線段的集合，然后進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算中可以按照高低階無窮小混合計(jì)算的舍棄法則來合理舍棄高階無窮小。只有這樣的計(jì)算才是順暢的。否則若把無窮小線段直接等同于測度為0的點(diǎn)，則必然出現(xiàn)邏輯矛盾。又如區(qū)間套定理，其認(rèn)為所有嵌套的閉區(qū)間只有唯一公共點(diǎn)，這就是錯(cuò)誤地把無窮小閉區(qū)間等同于測度為0的點(diǎn)（根據(jù)中國版《幾何原本》，區(qū)間的邊界是無窮小區(qū)間而不是點(diǎn)）。

七、祖暅定理與積度

（一）積分的本質(zhì)

積分的本質(zhì)就是累加。所有的積分都可以寫為累加的形式：

（二）祖暅定理

祖暅定理說：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。有人解釋“勢(shì)”為高，這不正確?！皠?shì)”的含義是極限。祖暅定理是說：“若（兩函數(shù)值）極限相同，則兩函數(shù)值的加總亦相同”。也即，若，則。使用祖暅定理可以簡化積分的計(jì)算。利用此定理可得：

以上式子利用了：所以cosdx-1是sindx的高階無窮小，可以在（8）式中直接加上去而極限值不變。又，所以dx可以替換為sindx而極限值不變。這樣就有。注意，idx=x，并非dx的函數(shù)，這在使用dx對(duì)極限通過洛必達(dá)法則求導(dǎo)時(shí)需要注意的。

由上可知，祖暅定理賦予了積分極大的自由度，只要保證極限相同，就可以任意更換為各種函數(shù)，以及加減各種高階無窮小項(xiàng)。通常是希望能構(gòu)成等差數(shù)列相加，此等差數(shù)列即黎曼積分中的原函數(shù)。（3）或（5）式加上祖暅定理，遠(yuǎn)比黎曼積分更靈活。例如：

可以通過累加和祖暅定理而很容易計(jì)算出來，但卻難以通過黎曼積分來直接計(jì)算。脈沖函數(shù)亦可表達(dá)為。

（三）積度

更一般地，可將（3）式寫為（多重積分亦類推）：

但由（9）可知，dx即中國版《幾何原本》中所說的（最?。┛潭?。積分所得數(shù)值，是以dx為最小刻度而度量出來的，比dx更小的數(shù)值無法通過dx度量出來。例若出現(xiàn)dx+（dx）2，則（dx）2是dx的高階無窮小，無法用dx度量出來，所以需要舍棄高階無窮?。╠x）2。換個(gè)視角，若用（dx）2作為最小刻度，則可以度量dx+（dx）2，也即不舍棄（dx）2，但是（dx）2/dx→0，所以是否舍棄（dx）2，對(duì)于計(jì)算結(jié)果的影響是無窮小。但必須意識(shí)到，這個(gè)無窮小畢竟不等于0，是其極限等于0。假如不舍棄（dx）2，則最終計(jì)算結(jié)果中會(huì)含有（dx）2要素，若對(duì)計(jì)算結(jié)果再無窮累加（譬如累加1/（dx）2次），則（dx）2項(xiàng)將會(huì)累加出非無窮小的數(shù)值，而這與0是不同的。當(dāng)然，此時(shí)dx項(xiàng)通常會(huì)被累加到無窮大。所以在積分中被舍棄的無窮小，事實(shí)上是有精細(xì)的結(jié)構(gòu)的。因此中國版《幾何原本》卷一第四求中說：“長者增之可至無窮，短者減之亦復(fù)無盡。當(dāng)見莊子稱一尺之棰，日取其半，萬世不竭，亦此理也。何者，自有而分，不免為有。若減之可盡，是有化為無也。有化為無，猶可言也，令已分者更復(fù)合之，合之又合，仍為尺棰。是始合之初，兩無能并為一有也。兩無能并為一有，不可言也”。這段話是說，將一尺長度永不停歇地去掉留存長度的1/2，留存長度永遠(yuǎn)不會(huì)為0（而為無窮?。Ｌ热粽J(rèn)為留存長度為0，與無窮小的確可以等價(jià)。但如果進(jìn)行逆操作而復(fù)合，則無窮小的留存長度不斷乘以兩倍，乘之又乘，終能又成一尺長度。而數(shù)值為0的留存長度則無論怎么乘都為0，不可能回復(fù)為一尺長度。再如有限覆蓋定理的前提是任何區(qū)間套最后只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此此點(diǎn)必然能被有限覆蓋，與區(qū)間套內(nèi)無限覆蓋矛盾，從而得證可以有限覆蓋。然而根據(jù)中國版《幾何原本》，區(qū)間套的公共部分是無窮小的區(qū)間，而不是點(diǎn)。如果覆蓋的開集也無窮小甚至高階無窮小，此時(shí)有限覆蓋定理就不可能成立。

中國版《幾何原本》卷五第一界說：“若不盡分者，當(dāng)稱幾分”。而現(xiàn)有之積分，實(shí)際上恰恰是舍棄了不能盡分的高階無窮小（幾分），留下以dx所度量的度數(shù)（幾何），是以應(yīng)稱為積度。而現(xiàn)有之微分亦應(yīng)稱為微度?！胺e度”一詞亦是《數(shù)書九章》中用以指“度數(shù)之和”?！稊?shù)書九章》在“綴術(shù)推星”中說“累減前段積度，以益后段積度”。

相應(yīng)地，極限亦須根據(jù)本文重新定義：若存在，其中A為實(shí)數(shù)，為無窮小量或0，對(duì)任意給定的，總能找到，使當(dāng)時(shí)滿足，則稱為函數(shù)在點(diǎn)的勢(shì)，記成。