利用導(dǎo)數(shù)工具確定函數(shù)分類討論的“界點(diǎn)”

金濤

【摘要】我們利用導(dǎo)數(shù)工具求解曲線切線方程、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值以及含參問題時(shí)都要確定分類討論的“界點(diǎn)”.本文從三個(gè)方面論述上述觀點(diǎn)，解決學(xué)生在此方面的困惑，從而達(dá)到舉一反三的效果.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);解決;分類討論的“界點(diǎn)”

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用較廣泛，通常用來解決求曲線切線方程（或已知曲線切線方程求參數(shù)）、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值 、最值等基礎(chǔ)問題.高考試題常常出現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)解決已知單調(diào)區(qū)間或極值求參數(shù)的取值范圍以及函數(shù)零點(diǎn)等問題，并常常滲透著分類討論等數(shù)學(xué)思想.下面筆者就如何利用導(dǎo)數(shù)工具確定函數(shù)分類討論的“界點(diǎn)”談幾點(diǎn)方法.

一、根據(jù)一元二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)來確定分類討論的“界點(diǎn)”

導(dǎo)函數(shù)中含有二次三項(xiàng)式，需對(duì)最高項(xiàng)的系數(shù)分類討論：

（1）根據(jù)一元二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)是否等于0，判斷該函數(shù)為二次函數(shù).

（2）由二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，判斷二次函數(shù)圖像的開口方向，從而尋找導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn).

若不能確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否分布在定義域內(nèi)，零點(diǎn)將定義域劃分為哪幾個(gè)區(qū)間，則需要分類討論.本題可根據(jù)函數(shù)h′（x）的零點(diǎn)a是否在定義域[1，2]內(nèi)進(jìn)行討論，然后利用導(dǎo)數(shù)的工具性得到函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到最值，判斷所求最值與已知條件是否相符，從而得到參數(shù)的取值范圍.

總之，導(dǎo)數(shù)工具在函數(shù)方面的運(yùn)用很普遍，筆者在平時(shí)的教學(xué)中也特意引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)函數(shù)的分類討論的“界點(diǎn)”的探究.本文主要從一元二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)確定分類討論的“界點(diǎn)”;二次函數(shù)的判別式確定分類討論的“界點(diǎn)”;導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小確定分類討論的“界點(diǎn)”;導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)與定義域的關(guān)系確定分類討論的“界點(diǎn)”這四方面進(jìn)行探究，但愿有益于各位.