數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在證券投資中的運(yùn)用

張凌睿

摘要：當(dāng)今金融市場(chǎng)上，證券價(jià)格、交易量等信息的數(shù)量巨大。通過(guò)定性分析投資者獲取超額收益越來(lái)越困難。在投資分析中，合理利用數(shù)學(xué)方法已經(jīng)成為一種比較有效的分析方法。將證券收益率作為隨機(jī)變量，引入數(shù)學(xué)期望和方差的概念，通過(guò)理論分析和實(shí)例分析相結(jié)合，對(duì)兩個(gè)證券組合的投資狀況進(jìn)行了數(shù)學(xué)度量，并對(duì)其相關(guān)性進(jìn)行了實(shí)證分析，證明了相關(guān)系數(shù)對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)的影響。

關(guān)鍵詞：數(shù)理統(tǒng)計(jì) ?證券投資 ?應(yīng)用 ?收益

一、引言

金融市場(chǎng)主要由貨幣市場(chǎng)、資本市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)和黃金市場(chǎng)構(gòu)成，證券市場(chǎng)則是其中的重要組成部分。股票市場(chǎng)的基本功能是融資、資本定價(jià)和資本配置。股票投資也是投資的重要組成部分。對(duì)證券投資者而言，面對(duì)證券價(jià)格、成交量、公司基本面等大量信息，單純的定性和判斷越來(lái)越難以獲得超額收益。通過(guò)數(shù)學(xué)方法的合理運(yùn)用，可以更好地引導(dǎo)人們客觀(guān)、理性地認(rèn)識(shí)和總結(jié)投資規(guī)律，提高投資的收益。通過(guò)幾種常用的統(tǒng)計(jì)分析方法，對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)在證券投資中的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了分析。

伴隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，人們的證券、期貨、股票投資觀(guān)念發(fā)生了變化，如何用最少的人力、財(cái)力實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)的最大化顯得尤為重要。生活中，有的人每天在電腦前看股票市場(chǎng)行情，但是仍然不能得到很好的回報(bào)，而有的人只需定期分析股票的走勢(shì)，然后用自己的數(shù)學(xué)知識(shí)去判斷方向，就可以得到較高的回報(bào)。雖然其他因素也不能排除，但是數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用卻顯得尤為重要。經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)化已逐漸成為不可阻擋的趨勢(shì)，數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性日益凸顯。尤其是近十年來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，金融、保險(xiǎn)等經(jīng)濟(jì)學(xué)科的應(yīng)用日益廣泛。隨機(jī)性事件的概率論研究在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的發(fā)展越來(lái)越快，體現(xiàn)了它強(qiáng)大的功能和效率。當(dāng)代實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展甚至可以說(shuō)是概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)模型中的具體應(yīng)用。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)之所以能夠迅速地被應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，是因?yàn)樗鼈兊奶攸c(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)：第一，概率論強(qiáng)調(diào)事物處于不可能事件和必然事件之間，即事物出現(xiàn)的概率在（0，1）之間，這與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)相吻合;第二，它具有嚴(yán)格、精確的邏輯推理，并且利用已有的概率論模型或概率論定理，得出新的結(jié)果，用直覺(jué)上難以或不易得出的結(jié)論來(lái)解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的本質(zhì)。概率論理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用，使經(jīng)濟(jì)學(xué)成為一門(mén)更加規(guī)范的科學(xué)，更加符合經(jīng)濟(jì)行為的規(guī)律，使人們能夠從更深的層次找到兩者之間的聯(lián)系。

二、證券投資的含義

第一，我們理解證券的概念，證券就是證券持有者用證券獲得一定的收益。例如股票、債券、本票、匯票、支票、保險(xiǎn)單、存單、提單等都是證券。按照證券的性質(zhì)，證券可以分為兩類(lèi)：有價(jià)證券和憑證式證券。在這些權(quán)利中，有價(jià)證券是指具有一定面值，能證明持有者有權(quán)按規(guī)定時(shí)間獲得一定收益，能自由轉(zhuǎn)讓和交易的所有權(quán)或債權(quán)憑證，基本形式是股票和債券。這些債券可以分為公司債券，國(guó)庫(kù)券和不動(dòng)產(chǎn)抵押債券。證券本身并無(wú)價(jià)值，只因其能為持有者帶來(lái)一定的股息或利息收入，因而可在證券市場(chǎng)上自由交易流通。

然后，我們開(kāi)始了解股票市場(chǎng)。證交所是買(mǎi)賣(mài)證券商品的市場(chǎng)，是買(mǎi)賣(mài)股票、公司債券、政府債券及其他有價(jià)證券的地方。股票交易所通過(guò)發(fā)行各類(lèi)證券，吸收長(zhǎng)期資金，向政府和企業(yè)提供財(cái)政資金和長(zhǎng)期資金。具體地說(shuō)，它包括兩個(gè)部分：證券發(fā)行市場(chǎng)和證券交易市場(chǎng)?？傮w而言，證券市場(chǎng)屬于長(zhǎng)期金融市場(chǎng)（或資本市場(chǎng)），是其中的一個(gè)組成部分。證券市場(chǎng)的交易形式可分為股票市場(chǎng)和債券市場(chǎng)，它們分別由發(fā)行市場(chǎng)和流通市場(chǎng)構(gòu)成。

股市可以分為一級(jí)市場(chǎng)和二級(jí)市場(chǎng)。發(fā)行市場(chǎng)也稱(chēng)為一級(jí)市場(chǎng)，是指投資者、出資人和發(fā)行人（通常是投資銀行）共同組成的新證券發(fā)行市場(chǎng)。其發(fā)行模式分為公開(kāi)和非公開(kāi)兩種。投資銀行向社會(huì)中的非特定投資者出售證券;而在公開(kāi)發(fā)行中，投資銀行或募集機(jī)構(gòu)直接向特定投資者發(fā)行證券。在發(fā)行新的證券時(shí)，投資者以低于證券面值的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)證券，稱(chēng)為折價(jià)發(fā)行;投資者以等于證券面值的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)證券，稱(chēng)為平價(jià)發(fā)行;投資者以高于證券面值的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)證券，稱(chēng)為溢價(jià)發(fā)行。但是對(duì)股票來(lái)說(shuō)，他們只會(huì)以面值或溢價(jià)發(fā)行。

第二類(lèi)市場(chǎng)是證券發(fā)行后的轉(zhuǎn)讓與流通市場(chǎng)。證券在二級(jí)市場(chǎng)交易的價(jià)格稱(chēng)為證券市場(chǎng)價(jià)格，相當(dāng)于預(yù)期當(dāng)前證券收益對(duì)市場(chǎng)利率的比率。二級(jí)市場(chǎng)按其組織形式可以分為證券交易所和場(chǎng)外交易市場(chǎng)。一般來(lái)說(shuō)，只有信譽(yù)好、資金雄厚的大企業(yè)發(fā)行的證券（或政府債券）才有資格在本所上市，而那些沒(méi)有資格在本所上市的證券只能在場(chǎng)外交易市場(chǎng)進(jìn)行交易。

證交所的業(yè)務(wù)范圍主要包括：組織上市證券的管理、提供上市證券的集中交易場(chǎng)所、辦理證券的集中結(jié)算交割、提供上市證券的交易信息、進(jìn)行證券的集中交易;經(jīng)證交所批準(zhǔn)或授權(quán)的其他證券業(yè)務(wù)。股票投資是指投資者（法人或自然人）為獲得股息、利息和資本收益而購(gòu)買(mǎi)證券，如股票、債券、基金債券及其他衍生產(chǎn)品的投資行為和過(guò)程，這是間接投資的重要形式之一。它具有如下特征：證券投資具有很強(qiáng)的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，它是一種風(fēng)險(xiǎn)投資，能給證券帶來(lái)預(yù)期的收益;投資與投機(jī)是證券投資活動(dòng)中不可或缺的兩個(gè)方面;證券投資二級(jí)市場(chǎng)不會(huì)增加總的社會(huì)資本，而是在持有者之間重新分配。股票投資具有以下功能：股票投資是社會(huì)籌集資金的重要渠道;股票投資有助于規(guī)范資本投資方向，提高資金使用效率，引導(dǎo)資源合理流動(dòng)，實(shí)現(xiàn)資源優(yōu)化配置;股票投資有助于改善企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理，提高企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)知名度，促進(jìn)企業(yè)行為合作;股票投資為中央銀行實(shí)施金融宏觀(guān)調(diào)控提供了重要手段，對(duì)促進(jìn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)持續(xù)高效發(fā)展具有重要意義;股票投資有助于促進(jìn)國(guó)際經(jīng)濟(jì)交流。

三、證券投資組合的重要性

投資收益水平和風(fēng)險(xiǎn)大小是證券投資者最關(guān)心的問(wèn)題，投資者在選擇投資策略時(shí)，希望收益越大風(fēng)險(xiǎn)越小。但高回報(bào)與高風(fēng)險(xiǎn)相伴，投資者只能選擇在給定收益率的情況下盡可能降低風(fēng)險(xiǎn)的投資策略;或在愿意承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的情況下追求盡可能提高總收益率的目標(biāo);他們還可以權(quán)衡利弊，做出自己滿(mǎn)意的投資決定。投入的資金越大，風(fēng)險(xiǎn)就越大。關(guān)鍵是如何采取多種防范措施和方法來(lái)降低投資風(fēng)險(xiǎn)。減少風(fēng)險(xiǎn)的有效方法是組合投資，即投資者選擇一組證券，而非一種證券作為投資對(duì)象，再將資金按不同比例分配于各種證券，從而達(dá)到分散風(fēng)險(xiǎn)的目的。債券投資不能簡(jiǎn)單地將基金分為購(gòu)買(mǎi)證券的幾個(gè)品種，而應(yīng)該是一個(gè)最佳的投資組合。這就是說(shuō)，在這樣的組合中，收益是確定的，風(fēng)險(xiǎn)是最小的，或者說(shuō)，風(fēng)險(xiǎn)是確定的，收益是最大的。

四、我國(guó)證券業(yè)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用現(xiàn)狀

伴隨著我國(guó)證券市場(chǎng)的不斷發(fā)展，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在證券領(lǐng)域的研究與應(yīng)用也日益深入。在證券領(lǐng)域中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的研究與應(yīng)用主要從股票定價(jià)、證券資產(chǎn)組合、證券資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)分析以及市場(chǎng)分析等幾個(gè)方面展開(kāi)。就股票定價(jià)模型而言，通?？煞譃槲宸N模式：實(shí)物資產(chǎn)定價(jià)模式、財(cái)務(wù)比率預(yù)測(cè)定價(jià)模式、企業(yè)基礎(chǔ)理論定價(jià)模式（包括零增長(zhǎng)、穩(wěn)定增長(zhǎng)和多重增長(zhǎng)）、資本資產(chǎn)定價(jià)模式和比較分析定價(jià)模式。在此基礎(chǔ)上，本文提出了三個(gè)新的定價(jià)模型，分別是：基于股票特性的定價(jià)模型、基于股票理論價(jià)值度量的定價(jià)模型以及基于區(qū)間分析的定價(jià)模型。本文提出的8種股票定價(jià)模型考慮了各種情況下股票價(jià)值的確定。

近代證券投資理論是證券投資與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的典型實(shí)例。股票投資理論是西方股票投資分析的一個(gè)重要組成部分。事實(shí)上，它是金融理論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)相結(jié)合而形成的新興交叉學(xué)科。本文研究的模型包括：均值差模型、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸擴(kuò)張模型、單指標(biāo)模型、多指標(biāo)模型、資本資產(chǎn)定價(jià)模型、特征模型、套利定價(jià)模型、效率市場(chǎng)檢驗(yàn)等幾個(gè)方面的統(tǒng)計(jì)模型。股票投資的收益主要取決于股票投資組合的質(zhì)量，好的資產(chǎn)組合能帶來(lái)可觀(guān)的收益，壞的資產(chǎn)組合會(huì)造成資金的損失。因而，對(duì)證券組合的研究和應(yīng)用成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)在證券領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。

現(xiàn)有的新出現(xiàn)的投資組合模型包括：穩(wěn)定分布假設(shè)與組合模型、最小損失概率原理與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合模型、多組合投資風(fēng)險(xiǎn)模糊極小化方法、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率變化下的組合優(yōu)化方法、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)貸款下的組合優(yōu)化方法等。將統(tǒng)計(jì)學(xué)方法應(yīng)用于證券組合風(fēng)險(xiǎn)及可行性分析，主要是通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的研究與應(yīng)用實(shí)現(xiàn)的。通過(guò)分析，投資者可以更好地理解中國(guó)股票市場(chǎng)的行為，做出理性的投資決策。

五、證券投資中數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法

一般而言，理性投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)最關(guān)心的兩個(gè)指標(biāo)是：投資收益和投資風(fēng)險(xiǎn)。因?yàn)橥顿Y收益受到很多因素的影響，所以它可以被看作是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)性實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)可能結(jié)果的概率與結(jié)果乘積?？陀^(guān)地反映了隨機(jī)變量的均值;自然得可以用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望來(lái)描述和反映平均投資收益。數(shù)理期望越大，期望收益率就越高，利潤(rùn)就越大。所以，當(dāng)我們知道了收益分布函數(shù)或者用歷史數(shù)據(jù)擬合了收益分布時(shí)，就可以用隨機(jī)變量的期望計(jì)算方法計(jì)算出預(yù)期收益。如果R是一個(gè)離散的隨機(jī)變量，并且其分布規(guī)律是p{R=rk}=PK，那么預(yù)期收益e（R）=∑∞k=1rkpk;如果R是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，并且其概率密度函數(shù)是f（R），那么預(yù)期收益e（R）=+∞_RF（R）Dr。

我們通常把價(jià)格或收益的波動(dòng)和極值的出現(xiàn)視為投資的風(fēng)險(xiǎn)。研究表明，方差可用于測(cè)量隨機(jī)變量與它們的數(shù)學(xué)期望（即平均）之間的偏差。所以用方差來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)是適當(dāng)?shù)?，方差可以衡量?shí)際收益和預(yù)期收益之間的偏差。若R是一個(gè)離散的隨機(jī)變量，則方差2=e（R2）-[e（R）]2;若R是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，則方差2=BA=[R-e（R）]2F（R）Dr。在進(jìn)行投資決策時(shí)，有理性的人只需要判斷收益與風(fēng)險(xiǎn)的比率，他們就能購(gòu)買(mǎi)具有高預(yù)期收益與低風(fēng)險(xiǎn)的證券。但在大多數(shù)情況下，這兩個(gè)因素都不能被考慮在內(nèi)，只能通過(guò)投資偏好或其他指標(biāo)進(jìn)行判斷。

證券投資組合的投資判斷是在實(shí)際投資中，我們經(jīng)常會(huì)遇到多種可投資證券，那需要證券組合。為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，本文主要對(duì)兩種證券組合進(jìn)行分析。如果投資者面臨的是A、B兩類(lèi)不同風(fēng)險(xiǎn)收益的證券，就需要進(jìn)行組合投資。假定配給比例為x，1-x（0≤x≤1），配給的證券分別為A和B。只需將它分為兩種情況。

首先，如果E（A）>E（B），而σ2（A）<σ2（B），那么A證券的預(yù)期收益率比B高，而風(fēng)險(xiǎn)（方差）小于B，那么我們應(yīng)該全倉(cāng)配置A證券，而不是B證券，此時(shí)即x=1。

當(dāng)E（A）>E（B）時(shí)，σ2（A）>σ2（B）時(shí)，是第二種情況。在這個(gè)時(shí)候，高收益和低風(fēng)險(xiǎn)不可兼得，合適的組合是必需的。這個(gè)組合的預(yù)期收益是：

E（Porfolio）=E[xA+（1-x）B]=xE（A）+（1-x）E（B）

變異數(shù)：θ2（porfolio）=x2（A）+2（B）+2（B）+2x（1-x）=2σ2（A）+2σ2（B）

在這里，我們利用上面的兩個(gè)式子求x，即：dE（Porfolio）dx=E（A）-E（B）>0

可見(jiàn)，導(dǎo)函數(shù)大于零，即預(yù)期收益率隨x的增大而增大。如果x=1，則預(yù)期收益率最高，E（A）。

d2σ（Porfolio）

Dx=2xσ2（A）+2（1-x）σ2（B）-4xρσ（A）σ（B）+2ρσ（A）σ（B）上式可解為：x1=02（B）-ρσ2（A）σ2（B）σ2（A）-2ρσ2（A）-2α（A）σ2（B）+σ2（B）

結(jié)果表明，當(dāng)x=x1時(shí)，σ2（Porfolio）求得最小值，也就是組合的方差和風(fēng)險(xiǎn)均為最小。因此，在第二種情況下，通過(guò)合理配置，可以實(shí)現(xiàn)低風(fēng)險(xiǎn)投資。

組合風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)系數(shù)的影響。如果E（A）>E（B），那么σ2（A）>σ2（B）。復(fù)合方差是：

θ2（Porfolio）=x2（A）+2（B）+2（B）+2x（1-x）=2σ2（A）+（B）

結(jié)果表明，相關(guān)性也會(huì)影響風(fēng)險(xiǎn)大小。dρ=2x（1-x）σ（A）σ（B）>0

所以風(fēng)險(xiǎn)隨著ρ的增大而增大。由于ρ的取值范圍為[1，1]，因此兩種證券是完全相關(guān)的。也就是ρ=1，是最危險(xiǎn)的。當(dāng)相關(guān)系數(shù)減小時(shí)，當(dāng)兩種證券都完全為負(fù)相關(guān)時(shí)，某些風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)“分散”，也就是說(shuō)，當(dāng)ρ=-1時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)減小。上述說(shuō)明就是我們常說(shuō)的“請(qǐng)勿將雞蛋放在同一籃子”的理念?，F(xiàn)實(shí)生活中，在多個(gè)概率變量之間，完全線(xiàn)性且不存在正相關(guān)ρ<1的情形。

[xσ（A）+（1-x）σ（B）]2（σ2（Porfolio）

所以，如果將這些因素結(jié)合在一起，部分的“分散”（也就是部分的風(fēng)險(xiǎn)）將被“集中”。但注意，即使在多個(gè)隨機(jī)變量之間，也不完全與線(xiàn)性負(fù)相關(guān)，ρ>-1的情況下，風(fēng)險(xiǎn)通常被認(rèn)為是σ2（Porfolio）][xσ（A）-（1-x）σ（B）]2≥0，盡管通過(guò)投資組合投資可以降低風(fēng)險(xiǎn)，但通常無(wú)法消除風(fēng)險(xiǎn)。

六、結(jié)束語(yǔ)

金融業(yè)的發(fā)展極大地提高了貨幣等資本的流動(dòng)性，實(shí)現(xiàn)了資源的有效合理配置，促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和金融體系的健康運(yùn)行和發(fā)展，成為國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展不可缺少的經(jīng)濟(jì)中介。證券收益率是一種隨機(jī)變量形式。本文利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一些概念和關(guān)鍵指標(biāo)，對(duì)不同要求的證券組合投資進(jìn)行了實(shí)證研究?？上攵?，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，跨學(xué)科的蓬勃發(fā)展，數(shù)理統(tǒng)計(jì)在金融投資領(lǐng)域的應(yīng)用將會(huì)越來(lái)越廣泛。

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作者單位：重慶工商大學(xué)