運用數(shù)學史玩轉(zhuǎn)單位分數(shù)

栗小妮 賈彬

【摘 要】單位分數(shù)是一個古老而有趣的問題，“將一個分數(shù)拆為幾個不同的單位分數(shù)之和”是滬教版數(shù)學教科書六年級第二章“分數(shù)”探究活動（二）的內(nèi)容。為了讓學生體驗數(shù)學探究的樂趣，研究者從HPM的視角進行探究式教學設計，利用《萊茵德紙草書》中“把7個面包分給10個人”的問題，引入單位分數(shù)的學習，讓學生體會單位分數(shù)在實際生活中的價值;通過小組合作探究分解的方法，讓學生感受單位分數(shù)的魅力;通過解讀2n分解表和介紹“太陽神眼睛”，給學生提供了課外繼續(xù)探究和學習的機會。

【關(guān)鍵詞】HPM;單位分數(shù);探究性學習

【作者簡介】栗小妮，教育學博士，上海市長寧區(qū)教育學院教研員; 賈彬，高級教師，上海民辦建平遠翔學校黨支部書記。

【基金項目】上海高校“立德樹人”人文社會科學重點研究基地之數(shù)學教育教學研究基地項目“數(shù)學課程與教學中如何落實立德樹人研究”（A8）

單位分數(shù)是一個古老而有趣的問題，“將一個分數(shù)拆為幾個不同的單位分數(shù)之和”是滬教版數(shù)學教科書六年級第二章“分數(shù)”探究活動（二）的內(nèi)容。教科書首先從圖片“太陽神眼睛”引入，展示了將12、13、23、35拆成幾個單位分數(shù)之和的過程;然后通過展示將1拆成幾個單位分數(shù)之和的不同拆分方法，說明將一個分數(shù)拆成幾個單位分數(shù)之和的拆分方法不唯一;最后，教師讓學生將34、27、716、527拆分為幾個單位分數(shù)之和，體驗數(shù)學探究之樂。

盡管將一個分數(shù)拆分為幾個不同的單位分數(shù)之和是一個很有意義的問題，但用單位分數(shù)進行計算卻會使得計算變得非常復雜。既然如此，為何古埃及人對單位分數(shù)還如此情有獨鐘呢？基于此，筆者從HPM的視角進行教學設計，讓學生感受單位分數(shù)的魅力，體會古埃及人使用單位分數(shù)的原因，體驗數(shù)學探究的樂趣。

一、歷史素材及解讀

古埃及人發(fā)明了一種書寫分數(shù)的方法，這些分數(shù)的分子均為1，它們被稱為單位分數(shù)（23例外）。古埃及人將所有真分數(shù)都表示為一些單位分數(shù)的和，并且只利用單位分數(shù)進行書寫與計算，對于分子不是1的分數(shù)，古埃及人習慣將它們轉(zhuǎn)化為分子是1的分數(shù)再進行計算。

單位分數(shù)的廣泛使用是古埃及數(shù)學的一個重要而有趣的特色?！度R茵德紙草書》上就記載了一張將形如2k（k為從5到101的奇數(shù)）的分數(shù)分解為單位分數(shù)之和的表。其中25分解為13+115，211分解為16+166，…，最后一項是將2101分解為1101+1202+1303+1606。有很多學者提出了不同的方法來解釋這個表的來源，但至今這個表還有很多謎團尚未解開[1]。

古埃及人為什么對單位分數(shù)情有獨鐘，據(jù)數(shù)學史家推測，其直接原因可能是分配問題，因為利用單位分數(shù)解決分配問題具有簡單的操作意義，如《萊茵德紙草書》中的問題3“如何給10個人分配6個面包”。答案是每個人分得面包的12+110，這個答案比我們現(xiàn)在的答案35要煩瑣些，但在實際的分配中會更容易，即只要將其中的5個面包對半分，再把第6個面包分成10份，則每人平均分半份外加十分之一份，很容易看出，每個人所分得的一樣多[2]。古埃及人這種單位分數(shù)的分法和用法在地中海區(qū)域延續(xù)了兩千多年。

數(shù)學史的運用方式主要有復制式、順應式、附加式以及重構(gòu)式[3]，基于以上歷史素材分析，筆者進行了HPM視角下的單位分數(shù)教學設計。首先，順應式運用《萊茵德紙草書》中的分面包問題引入本節(jié)課，讓學生體會單位分數(shù)在實際操作解決分配問題中的價值。其次，依據(jù)探究式教學的四階段模式：準備與聚焦、探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流以及評估與延伸[4]來設計探究活動，讓學生自主思考，總結(jié)歸納拆分的方法。再次，順應式運用“2k”分解表設計例題，讓學生利用總結(jié)的拆分方法進行單位分數(shù)的拆分練習，再與歷史上的拆分結(jié)果進行對照，讓歷史再現(xiàn)于課堂。最后，介紹教科書上的“太陽神眼睛”，并留下懸念，供學生課后繼續(xù)思考、探究。

二、教學設計與實施

（一）借用史料，引入新課

師：在《萊茵德紙草書》中，古埃及人使用的分數(shù)，除了23，所有分數(shù)都用單位分數(shù)及其和表示，因此，單位分數(shù)又稱為埃及分數(shù)。下面來看個例子。

（教師PPT展示：把7個面包分給10個人，問：每人分得多少？[5]）

生：710。

師：這在實際生活中是怎么分的呢？

生：將一個面包平均分成10片，7個面包一共分成70片，一個人分得其中的7片，這7片占一個面包的710。

師：是的，這是我們生活中常用的分割方法，那么古埃及人是如何分的呢？他們先將一個面包三等分，7個面包被等分成21份，然后將這21份平均分給10個人，該怎么分呢？

生：每個人2份，還剩1份。

師：剩下的這1份，又怎么分呢？

生：切成10片，每人1片。

師：這一片面包占剩下的這份面包的幾分之幾？

生：110。

師：這一片面包占整個面包的幾分之幾？

生：130。

師：請同學解釋一下。

生：首先將這個面包分成了3份，一份是整個面包的13，然后將其中的一份，也就是13再分成10片，那這片面包就占整個面包的130。

師：在這個分法中，一個人分得的面包占整個面包的幾分之幾？

生：之前每人分得整個面包的23，后來又分得整個面包的130，一共分得整個面包的23+130。

師：驗證一下23+130與710的大小關(guān)系。

生：相等。

師：確實是相等的，那么古埃及人的分法有什么優(yōu)勢呢？

（課堂內(nèi)出現(xiàn)短暫的沉默。）

師：我們從另一個角度細算一下，按我們現(xiàn)在的分法，一個面包分成10片需要切多少刀，7個面包都分成10片，共需要切多少刀？

生：一個面包分成10片需要切9刀，7個面包一共需要切63刀。

師：古埃及人的分法共需要切多少刀呢？

生：一個面包分成3份需要切2刀，7個面包一共需要切14刀，最后一份分成10片需要切9刀，總共切了14+9=23刀。

師：如果從工作量上來講，古埃及人的分法確實有其高明之處，他們?yōu)楹螌挝环謹?shù)如此喜歡，下面讓我們一起來研究單位分數(shù)。

（二）小組合作，探究拆法

教師讓學生閱讀課本中的相關(guān)內(nèi)容，觀察課本中各式拆分的過程和結(jié)果，并以小組的形式說一說等號后面式子的由來，找出拆分的方法，再進行小組匯報。

課本中的例子如下：

12=36=1+26=16+26=16+13;

13=412=1+312=112+312=112+14;

23=46=1+36=16+36=16+12;

35=2440=4+2040=440+2040=110+12;

35=915=1+3+515=115+315+515=115+15+13。

師：有的小組已經(jīng)找到方法，有的小組還存在困惑，還有的小組在尋找方法的過程中又產(chǎn)生了新的疑問。請找到方法的小組說一說你們的方法，不過說方法之前，請說一說我們想要找到什么方法。

生1：找到把一個分數(shù)化成單位分數(shù)相加的形式。

師：相加的結(jié)果我們稱之為什么？

生1：和。

師：若拆成的單位分數(shù)都是一樣的，還好玩嗎？

生1：不好玩，要把一個分數(shù)拆成不同的單位分數(shù)之和的形式。

（教師板書：把分數(shù)拆分成不同的單位分數(shù)之和的方法。）

師：現(xiàn)在研究目標明確了，那么拆分的方法是怎樣的呢？

生1：把一個要拆分的分數(shù)擴大若干倍。

師：用什么方法擴大若干倍？

生1：分子、分母同時乘以相同的數(shù)，然后再把它化為可以變成單位分數(shù)的分數(shù)。

（教師板書：①分子、分母同時乘以相同的數(shù)）

師：把它化為可以變成單位分數(shù)的分數(shù)，有什么方法嗎？

生2：要將分子拆成和分母有因數(shù)關(guān)系的。

師：也就是拆的每一個數(shù)字都是分母的因數(shù)，為什么要拆成分母的因數(shù)呢？

生2：因為這樣子就可以約分，約分后分子就直接約成1。

（教師板書：②將分子拆成幾個分母因數(shù)的和的形式）

師：再接著呢？

生2：將它們分開，然后再約分。

（教師板書：③約分）

師：以上步驟請大家仔細看一下，有沒有不同的意見？

生3：在第②步中要加一個條件——“不同”，就是將分子拆成幾個不同分母因數(shù)的和的形式。

生4：在第①步中，分子、分母同時乘以相同的數(shù)，而且是不為0的數(shù)。

師：不為0的數(shù)有哪些？小數(shù)行不行？

生5：要是正整數(shù)。

生6：這個正整數(shù)不能是1，也就是除1之外的正整數(shù)。

[教師板書：①分子、分母同時乘以相同的正整數(shù)（除1之外）]

師：剛才同學們討論時，有的小組存在疑問，請說一說你們的疑問。

生7：在式子12=36=1+26=16+26=16+13中，可不可以不同時乘以3，同時乘以4或者乘以5也可以嗎？

師：確實如此，比如35，課本上給出了兩種拆分的方式。在35的第一種拆分中，分子、分母同時乘以8，然后再進行拆分;在第二種拆分中，分子、分母同時乘以3，然后再進行拆分。如果按照正整數(shù)的大小，將分子、分母同時乘以2，可以嗎？我們不妨來試試看。

（教師板書：35=610=1+510=110+12）

師：你們覺得這種方法簡潔還是課本上的方法簡潔？

生：這種方法簡潔。

師：可見，有序進行嘗試，有時可以讓我們的研究變得便捷。但有時沒有有序進行，遇到困難又該怎么辦呢？比如23，一開始沒有從2開始嘗試，而是直接同時乘以5，那該怎么辦呢？

（教師板書：23=1015=1+3+5+115=115+15+13+115）

師：對于新產(chǎn)生的不符合要求的115，該如何嘗試拆分？

生：115=460=1+360=160+120。

（教師板書：23=115+15+13+460=115+15+13+1+360=115+15+13+160+120）

師：我們再來回顧一下拆分的方法，拆分的時候，可以先有序進行;如果沒有有序進行，在拆分過程中產(chǎn)生新的不符合要求的分數(shù)，就要繼續(xù)用以上的方法再次拆分，直到符合要求為止。

（三）運用方法，小試牛刀

例 將下列分數(shù)拆分成幾個不同的單位分數(shù)之和。

（1）25 （2）27 （3）29 （4）211

小組內(nèi)分工，每人選擇一個分數(shù)完成，完成后互相交換檢查拆分的過程和結(jié)果是否正確。學生展示如下。

生1：25=615=115+515=115+13。

生2：27=828=1+728=128+14。

生3：29=418=1+318=118+16。

生4：211=1266=1+1166=166+16。

生5：211=633=1+2+333=133+111+233=133+111+466=133+111+1+366=133+111+166+122。

（四）穿越時空，古今對話

師：觀察上述例題中4個分數(shù)，它們有何特點？

生：分子都是2，分母都是奇數(shù)。

師：是的，在《萊茵德紙草書》的第一頁就針對形如2n的分數(shù)給出了分解表，n是從5到101的奇數(shù)。

教師向?qū)W生展示了2n的分解表，并將分解表中的結(jié)果與學生拆分的結(jié)果進行對比，發(fā)現(xiàn)拆分結(jié)果一致。隨后，教師對分解表進行了解讀。學生用兩種方法對211進行了拆分，對于這種情況，古埃及人約定，如果一個展式的加數(shù)最少，那么它就是“最優(yōu)展式”，如果除了加數(shù)最少，展式中的最大分母值也最小，那就更好了。

（五）回歸課本，認識“神眼”

教科書中的“太陽神眼睛”，也稱作荷魯斯之眼（如圖1）。教師讓學生觀察“太陽神眼睛”中的單位分數(shù)之和與1的關(guān)系，并留下懸念，讓學生課后查閱相關(guān)資料了解。

圖1

師：古埃及人認為， 12+14+18+116+132+164與1相等，你覺得對嗎？

生：不對。

師：既然不對，那么它們相差了多少呢？

生：相差了164。

師：確實是相差了164。對單位分數(shù)如此情有獨鐘的古埃及人難道真的不知道12+14+18+116+132+164與1是不相等的嗎？我相信他們是知道的，那么古埃及人用這樣的方式來表示“太陽神眼睛”，是不是有其他的情感因素存在呢？同學們課后可以去查閱相關(guān)資料了解一下。

三、學生反饋

課后，教師對40名學生進行問卷調(diào)查。28名學生能夠基本描述出將一個分數(shù)拆分為幾個不同的單位分數(shù)之和的方法;35名學生能夠回答出古埃及人使用單位分數(shù)的意義是更易于實際操作，并進行公平分配;16名學生對古埃及分割面包的問題印象深刻，認為古埃及人很聰明，善于將數(shù)學用于實際生活中，欽佩他們的智慧;12名學生對小組合作探究將給定分數(shù)進行拆分的過程印象深刻，認為這個過程很“燒腦”，但是很有趣。另外，還有10名學生對“太陽神眼睛”和2n分解表印象深刻，這引起了學生強烈的好奇心，好奇于“大陽神眼睛”背后的故事，疑惑于古埃及人如何制作出這張表;27名學生認為歷史上有很多數(shù)學家研究2n分解表，是為了探尋奧秘，尋找古埃及人拆分分數(shù)的一般方法，探究更好的分解方法。

四、教學反思

古埃及人發(fā)明了單位分數(shù)，對于分數(shù)的計算他們喜歡化為單位分數(shù)進行計算，但這樣的計算方式在今天看來較為煩瑣。既然如此，古埃及人為何還要執(zhí)著地對其進行運用？我們?yōu)楹我獙W習并研究單位分數(shù)呢？我們通過數(shù)學史料中的名題——分割面包，讓學生從分割刀數(shù)多少的角度領會古埃及人使用單位分數(shù)的價值，激發(fā)學生的學習動機，引發(fā)學生探究的欲望，體現(xiàn)了知識之諧。

在小組合作探究教科書例題的分數(shù)拆分過程、尋找拆分方法的環(huán)節(jié)中，教師利用探究式教學四階段模式設計教學活動，充分調(diào)動學生學習的積極性，讓學生在“玩”的過程中，體會單位分數(shù)的魅力。準備與聚焦階段，學生通過閱讀教科書中的單位分數(shù)拆分，初步了解單位分數(shù)拆分的過程;探索與發(fā)現(xiàn)階段，學生通過小組交流，嘗試初步總結(jié)拆分的方法;綜合與交流階段，在教師設問“通過探究，我們想要找到什么的方法？”的引導下，小組分享自己發(fā)現(xiàn)的拆分方法，總結(jié)出將一個分數(shù)拆分成幾個不同單位分數(shù)之和的方法;評估與延伸階段，師生一起通過對比35的不同拆分方法，發(fā)現(xiàn)拆分方法中的第一步可以乘以任意不為0的整數(shù)，再通過多次拆分來達成目的。在師生的一問一答以及教師的不斷追問下，學生的思維不斷被激活，體會了探究之樂。

教師展示《萊茵德紙草書》中古埃及人對形如2/n的分解表時，學生的分解結(jié)果與表中所呈現(xiàn)的一致，讓學生體會到了古埃及人的智慧，感受古埃及人令人欽佩的數(shù)學研究精神以及數(shù)字的魅力。教師對分解表的解讀，激發(fā)了學生的好奇心和進一步探究的欲望，達成了德育之效。

參考文獻：

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[2]卡茲. 數(shù)學史通論[M]. 李文林，王麗霞，譯.北京：高等教育出版社，2008.

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[4]王鑫，汪曉勤，岳增成.基于數(shù)學史的數(shù)學探究活動設計課例分析[J].中學數(shù)學月刊，2018（10）：54-58.

[5] 沈康身.歷史數(shù)學名題賞析[M].上海：上海教育出版社，2010.

（責任編輯：陸順演）