直紋曲面直母線的若干探究

王楠

[摘? ? ? ? ? ?要]? 主要探究單葉雙曲面方程的兩種不同變換對直母線的影響，并通過實例加以驗證。另外對不同類型的曲面，給出直母線的族數(shù)與參數(shù)個數(shù)的確定方法。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 單葉雙曲面;直紋曲面;直母線

[中圖分類號]? O186.11? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）10-0190-02

單葉雙曲面是直紋曲面，通過代數(shù)的方法將其方程改寫成直線的一般方程，得到了u族、v族直母線。但其方程的改寫方式有兩種，會不會對直母線有影響？解析幾何課本上都沒有給出說明，針對這個問題，本文首先給出了方程的兩種改寫方式，然后通過實例驗證，總結(jié)出了兩種不同變換方法對直母線的影響。另外，直紋曲面的直母線個數(shù)及參數(shù)個數(shù)該如何確定，本文總結(jié)出了三種類型。希望本文的內(nèi)容對學(xué)習(xí)者來說，能夠解決困惑，有一定的參考價值。

一、單葉雙曲面方程兩種不同變換形式

推論1 對于單葉雙曲面上的點，兩族直母線中各有一條直母線通過這點。

推論2 對于單葉雙曲面上的點，兩種不同變換方法，不改變直母線個數(shù)，但u，v族直母線互換。

二、實證分析

例：通過兩種不同變換方法，求過單葉雙曲面=1上的點P（10，3，4）的直母線方程，并指出其特征。

把點P（10，3，4）分別代入上面方程，求得w∶u=1∶2與t=0

代入直母線方程，化簡，得過P（10，3，4）的兩條直母線分別為：

u族直母線方程為l1：6x-20y+15z-60=06x+5y-15z-15=0

其方向向量為：={6，-20，15}×{6，5，-15}={225，180，150}=15{15，12，10}

v族直母線方程為l2：2x-5z=0y-3=0

其直線的方向向量為：2，0，-5}×{0，1，0}={5，0，2}

變換方法

把點P（10，3，4）分別代入上面方程，求得w∶u=1∶1與v∶t=-3∶1

代入直母線方程，化簡，得過P（10，3，4）的兩條直母線分別為：

u族直母線方程為l3：6x-10y+15z+30=06x+10y-15z-30=0

其直線的方向向量為：3={6，-10，15}×{6，10，-15}=60{5，0，2}

v族直母線方程為l4：18x-10y-15z-90=02x+10y-15z+10=0

其直線的方向向量為：{18，-10，-15}×{2，10，-15}=20{15，12，10}

可以發(fā)現(xiàn)，又因為直母線過同一點P，故l與l4表示同一條直線，l2與l3表示同一條直線。從而可得出：（1）過曲面上點P的直母線只有兩族，與變換方法無關(guān);（2）兩種不同變換方法，u，v族直母線互換。

三、二次曲面是直紋曲面的必要條件

其方程能轉(zhuǎn)化為：f1（x，y，z）·f2（x，y，z）=g1（x，y，z）·g2（x，y，z），其中f1，f2，g1，g2均是關(guān)于x，y，z的一次多項式或常數(shù)。

四、直母線族數(shù)與參數(shù)個數(shù)的確定

（i）兩族直母線，兩個參數(shù)

（ii）兩族直母線，一個參數(shù)

參考文獻(xiàn)：

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].4版.北京：高等教育出版社，2006：175-182.

[2]李養(yǎng)成.空間解析幾何[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[3]黃宣國.空間解析幾何與微分幾何[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003：34-35.

◎編輯 陳鮮艷