同余式基本性質(zhì)的推廣及其在教學(xué)中的探討

古麗沙旦木·玉奴斯 吾甫爾·卡德爾

[摘? ? ? ? ? ?要]? 給出同余式的一個簡單的性質(zhì)及其證明.我們知道，如果a≡b（modm），則有an≡bn（modm），這里n∈N.也就是說，同余式的兩邊同時可乘n次方冪.給出a≡b（modm）的兩邊可乘不同方冪的有關(guān)結(jié)論.

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 同余式;整除;正因數(shù);n次方冪

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? [文獻標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）10-0096-02

初等數(shù)論是研究整數(shù)最基本的性質(zhì)，是一門十分重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。整除理論是初等數(shù)論的基礎(chǔ)，它是在帶余數(shù)除法的基礎(chǔ)上建立起來的.數(shù)學(xué)上，若兩個整數(shù)除以同一個整數(shù)后得相同的余數(shù)，則稱這兩個整數(shù)為同余.同余理論是初等數(shù)論的核心，它是數(shù)論所特有的思想、概念與方法.最先引用同余的概念與符號者為德國數(shù)學(xué)家高斯.同余理論是研究整數(shù)問題的重要工具之一，利用同余來論證某些整除性的問題是很簡單的.

一、基本性質(zhì)

在文獻中給出同余的許多性質(zhì).若a≡b（modm），則有an≡bn（modm），這里n∈N.這就是說，同余式的兩邊同時可乘n次方冪.本文給出a≡b（modm）的兩邊可乘不同方冪的有關(guān)結(jié)論.

定義[1][2]：設(shè)a，b∈Z，m∈N，如果m|a-b，則稱a和b對m模同余，記作a≡b（modm）.

根據(jù)定義下面四個命題是等價的：

1.a≡b（modm），即a和b對m模同余;

2.m|a-b，即a和b的差被m整除;

3.用m除a和b的余數(shù)相同;

4.a=mk+b，k∈Z或b=ml+al∈Z.

同余式有很多性質(zhì)，下面是其中幾個：

性質(zhì)1 若a≡b（modm），c≡d（modm），則

（1）a±c≡b±d（modm）;

（2）ac≡bd（modm）.

性質(zhì)2 若a≡b（modm），則an≡bn（modm），其中n∈N.

這就是說，同余式a≡b（modm）的兩邊同時可乘n次方冪.

性質(zhì)3 若ac≡bc（modm），（c，m）=1，則a≡b（modm）.

性質(zhì)4 若ac≡bc（modm），（c，m）=d，則a≡b（mod）.

性質(zhì)5 若a≡b（modm），t是m的一個正因數(shù)，則a≡b（modt）.

性質(zhì)6 若a≡b（modm），且c>0，則ac≡bc（modmc）.

二、主要結(jié)果

下面給出同余式a≡b（modm）的兩邊可乘不同方冪的有關(guān)結(jié)論及其證明.

定理1 若a≡b（modm），c≡d（modm），at≡1（modm），其中t是m的一個正因數(shù)，c，d∈N，則ac≡bd（modm）.

證明：由c≡d（modm）得c=mk+d，k∈Z.另一方面，由at≡1（modm）得am≡1（modm），從而ac≡amk+d≡（am）kad≡ad（modm），又因為a≡b（modm），有ad≡bd（modm），故ac≡bd（modm）.? 證畢.

例1：設(shè)17≡5（mod12），2020≡4（mod12），172≡1（mod12），？圯172020≡（172）1010≡1（mod12），且54≡1（mod12），故172020≡54（mod12）.

推論1 若a≡b（modm），c≡d（modm），am≡1（modm），其中c，d∈N，則ac≡bd（modm）.

證明：由c≡d（modm）得c=mk+d，k∈Z.從而有ac≡amk+d≡（am）kad≡ad（modm），又因為a≡b（modm），有ad≡bd（modm），故ac≡bd（modm）.? ? 證畢.

例2：設(shè)5≡23（mod6），2020≡4（mod6），56≡1（mod6），？圯52020≡（56）33654≡54（mod6），且54≡234（mod6），故52020≡234（mod6）.

推論2 若a≡b（modm），c≡d（mods），as≡1（mods），其中s是m的正因數(shù)，c，d∈N，則ac≡bd（mods）.

證明：由c≡d（mods）得c=sk+d，k∈Z.從而有ac≡ask+d≡（as）kad≡ad（mods），又因為a≡b（modm）？圯a≡b（mods），有ad≡bd（mods），故ac≡bd（mods）.? ? 證畢.

例3：設(shè)5≡17（mod12），2020≡4（mod6），56≡1（mod6），？圯52020≡（56）33654≡54（mod6），且5≡17（mod12）？圯5≡17（mod6），？圯54≡174（mod6），故52020≡174（mod6）.

上面給出同余式的兩邊可乘不同方冪的有關(guān)結(jié)論.另外，在文獻[3][4]中結(jié)合實例探究了同余性質(zhì)在檢驗和判斷整除問題、求余數(shù)、解同余方程、求M進制中的某位數(shù)等方面的具體應(yīng)用.在教學(xué)過程中，講同余式的性質(zhì)時適當(dāng)?shù)亟忉屵@些推廣和應(yīng)用不但可以激發(fā)學(xué)生的積極性，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，還可以幫助學(xué)生拓寬解題思路，培養(yǎng)學(xué)生分析和運用方法的能力.

參考文獻：

[1]潘承洞.初等數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.

[2]宋開福.初等數(shù)論[M].北京：中國戲劇出版社，2007.

[3]柯召.數(shù)論講義[M].北京：高等教育出版社，1987.

[4]李復(fù)中.初等數(shù)論選講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1984.

◎編輯 張 慧