以紙為媒：明慧課程的數(shù)學(xué)實(shí)踐

陸軍

摘要：“紙的世界”是以紙為媒介，以操作探究為手段，以思維發(fā)展為目的的特色課程。它打破了操作和思維的界限，讓動(dòng)手做與用腦想得以有機(jī)融合?！凹埖氖澜纭碧厣n程開(kāi)發(fā)關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)以及兒童認(rèn)知規(guī)律，注重趣味性、探究性、文化性，其課堂實(shí)施主要包括問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、操作探究、意義建構(gòu)和深化拓展等環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：紙的世界明慧課程操作探究思維發(fā)展

明慧課程是明道課程的三大板塊之一，以“涵養(yǎng)智慧”為核心理念，從人文智慧、數(shù)理智慧、科技智慧三個(gè)維度創(chuàng)生。其中，“紙的世界”特色課程作為數(shù)理智慧課程的一部分，以日常生活中常見(jiàn)的紙為依托，以問(wèn)題解決、探究發(fā)現(xiàn)為主要學(xué)習(xí)方式，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、“紙的世界”特色課程的教學(xué)價(jià)值

“紙的世界”特色課程與數(shù)學(xué)課程相關(guān)，建立在相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容基礎(chǔ)上。它創(chuàng)造性地以紙為媒介，通過(guò)涂畫(huà)、折疊、旋轉(zhuǎn)等活動(dòng)，幫助學(xué)生深化數(shù)學(xué)理解、探索數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。這樣的活動(dòng)使操作和思考深度聯(lián)姻，讓學(xué)生用操作支撐思考，用思考指導(dǎo)操作。具體說(shuō)來(lái)，“紙的世界”特色課程的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在如下三個(gè)方面：

（一）“做中學(xué)”得以落地

美國(guó)教育家杜威首先在《民主主義與教育》一書(shū)中提出了“在做中學(xué)”的理念，這一理念一經(jīng)提出便產(chǎn)生了廣泛的影響。在杜威的影響下，陶行知先生提出了“教學(xué)做合一”的觀點(diǎn)，這一觀點(diǎn)對(duì)于當(dāng)時(shí)乃至現(xiàn)今的教育教學(xué)都具有重要的意義。事實(shí)上，動(dòng)手操作既是學(xué)生思維的外顯，又是促進(jìn)學(xué)生思維的重要手段。我們開(kāi)發(fā)的“紙的世界”24個(gè)課程資源都以動(dòng)手操作為活動(dòng)主線，讓學(xué)生通過(guò)涂一涂、折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解和規(guī)律探索?？梢哉f(shuō)，“紙的世界”特色課程讓“做中學(xué)”得以落地。

（二）“想起來(lái)”真正發(fā)生

鄭毓信教授認(rèn)為，我們應(yīng)由幫助學(xué)生“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，即應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地思考，包括由理性思維逐步走向理性精神?！凹埖氖澜纭碧厣n程不是美術(shù)課，也不是手工課，而是數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課。它不是讓學(xué)生成為一個(gè)熟練的操作工，而是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的意義。該課程的操作探究是基于任務(wù)的，“動(dòng)腦想”是課程的靈魂。

（三）“一起學(xué)”成為現(xiàn)實(shí)

“紙的世界”特色課程實(shí)施大多采用合作學(xué)習(xí)的方式。這一方面是知識(shí)學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要，課程設(shè)置的開(kāi)放性問(wèn)題，需要集體性思維;另一方面是操作學(xué)習(xí)的外在要求，很多操作僅憑個(gè)人很難完成，需要合理分工、合作完成。該特色課程讓“一起學(xué)”成為現(xiàn)實(shí)。

二、“紙的世界”特色課程的內(nèi)容開(kāi)發(fā)

“紙的世界”特色課程是以紙為媒介和載體，以動(dòng)手作為手段，以思維品質(zhì)提升為目的的課程。我們以“紙的世界”為研究主題，明確了課程背景、課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、課時(shí)安排，擬定了課程綱要，邊開(kāi)發(fā)、邊實(shí)施、邊改進(jìn)，取得了一定的成效。

（一）內(nèi)容設(shè)置

課程每個(gè)年級(jí)設(shè)置4個(gè)研究主題，一共24個(gè)主題：

一年級(jí)：圖形大家族、探秘平面圖形、神奇的紙圈、有趣的正方形。

二年級(jí)：有趣的巧板、走進(jìn)角的世界、有趣的紙盒、好玩的折紙。

三年級(jí)：奇妙的剪紙、多彩的分?jǐn)?shù)條、決勝24點(diǎn)、神奇的周長(zhǎng)。

四年級(jí)：圖形的密鋪、揭秘特殊三角形、神奇的莫比烏斯帶、紙飛機(jī)的研究。

五年級(jí)：究竟有多高、加法中的運(yùn)算定律、數(shù)格點(diǎn)算面積、探秘七巧板。

六年級(jí)：巧做無(wú)蓋長(zhǎng)方體、卷紙的秘密、奇妙的五角星、面動(dòng)成體我來(lái)玩。

古德萊德認(rèn)為“課程”應(yīng)該劃分為五個(gè)層次，即五種不同的課程形態(tài)：“理想的課程”“正式的課程”“領(lǐng)悟或理解的課程”“運(yùn)作的課程”“經(jīng)驗(yàn)的課程”。“紙的世界”特色課程如何成為一個(gè)可運(yùn)作的課程，并且成為學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的課程，很大程度上取決于課程的可操作性，它應(yīng)該成為教師的實(shí)踐藍(lán)圖?！凹埖氖澜纭碧厣n程每一課時(shí)的內(nèi)容設(shè)置包括如下六個(gè)方面：活動(dòng)主題、適合年級(jí)、活動(dòng)背景、活動(dòng)準(zhǔn)備、活動(dòng)過(guò)程、資料鏈接。無(wú)論是活動(dòng)所需要的材料準(zhǔn)備，還是課程實(shí)施的主要環(huán)節(jié)，抑或課后相應(yīng)的知識(shí)拓展，“紙的世界”特色課程都做了較為細(xì)致的安排。

（二）內(nèi)容特征

1.趣味性?！爸卟蝗绾弥撸弥卟蝗鐦?lè)之者?！焙闷尕澩媸呛⒆拥谋拘?，“紙的世界”特色課程契合學(xué)生特點(diǎn)，開(kāi)發(fā)了各種充滿趣味性的活動(dòng)主題，在折、拼、畫(huà)、做等活動(dòng)中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。從“紙的世界”課程資源的主題名稱中就能夠發(fā)現(xiàn)這種趣味性，如“奇妙的剪紙”“神奇的莫比烏斯帶”“有趣的巧板”“面動(dòng)成體我來(lái)玩”等。

2.探究性。首先，“紙的世界”每一課時(shí)的課程資源都充滿探究的意味，如“究竟有多高”“卷紙的秘密”“探秘七巧板”“紙飛機(jī)的研究”等;其次，課程目標(biāo)追求也在其中有所呈現(xiàn)，如“神奇的紙圈”就是探究如何撕（剪）紙使得紙的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，再如“卷紙的秘密”就是探索怎么卷紙形成的圓柱體體積最大。

3.文化性。呂林海教授將數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的發(fā)展層級(jí)界定為經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解以及文化性理解?！凹埖氖澜纭碧厣n程也一直在追尋文化性。其一，能夠?qū)?shù)學(xué)史的內(nèi)容融入課程之中，如“探秘七巧板”，介紹了七巧板的起源;“數(shù)格點(diǎn)算面積”，介紹了皮格是怎么發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)與面積之間的關(guān)系的。其二，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科有機(jī)融合，如“奇妙的剪紙”與美術(shù)相聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)稱之美、簡(jiǎn)約之美;“有趣的巧板”與語(yǔ)文學(xué)科相聯(lián)系，用七巧板擺出成語(yǔ)故事、寓言故事等。

三、“紙的世界”特色課程的課堂實(shí)施

“紙的世界”特色課程的課堂實(shí)施主要有四個(gè)環(huán)節(jié)，即以開(kāi)放性問(wèn)題為引擎，以操作探究為手段，以意義建構(gòu)為目標(biāo)，以深化拓展為延伸。這四個(gè)環(huán)節(jié)既彼此獨(dú)立，又相互關(guān)聯(lián)，既有一定的階段性，又不截然分離。下面以《巧做無(wú)蓋長(zhǎng)方體》一課為例談?wù)劇凹埖氖澜纭碧厣n程的課堂實(shí)施。

（一）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

張奠宙先生曾經(jīng)提出，數(shù)學(xué)教育的四條特有原則是數(shù)學(xué)化、適度形式化、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、提煉數(shù)學(xué)思想方法。足見(jiàn)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的重要性。哈爾莫斯也認(rèn)為，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟?！凹埖氖澜纭碧厣n程的課堂實(shí)施也是以問(wèn)題貫穿課堂的始終，既有統(tǒng)領(lǐng)全課的核心問(wèn)題，也有引領(lǐng)環(huán)節(jié)的關(guān)鍵性問(wèn)題?！肚勺鰺o(wú)蓋長(zhǎng)方體》一課，在課堂伊始就提出了一個(gè)既有開(kāi)放性又有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題：制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體需要幾張長(zhǎng)方形紙？

（二）操作探究

學(xué)生思維的過(guò)程應(yīng)該遵循從動(dòng)作性思維到表象性思維，再到形式化思維的過(guò)程。因此，動(dòng)手操作理應(yīng)是學(xué)生思維的基礎(chǔ)，具有不可替代的作用。不過(guò)，我們不能為操作而操作，使學(xué)生成為機(jī)械的操作工。更為關(guān)鍵的是，我們要通過(guò)操作引導(dǎo)學(xué)生去探究數(shù)學(xué)的秘密。這一秘密當(dāng)然要由學(xué)生自主獲得?！肚勺鰺o(wú)蓋長(zhǎng)方體》分別讓學(xué)生用五張長(zhǎng)方形紙、三張長(zhǎng)方形紙、兩張長(zhǎng)方形紙、一張長(zhǎng)方形紙制作一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體。學(xué)生在制作的過(guò)程中不斷探索邊與邊、面與面之間的關(guān)系。在三張長(zhǎng)方形紙的研究（見(jiàn)圖1）中，教師追問(wèn)：除了長(zhǎng)12厘米、寬6厘米的小長(zhǎng)方形可以與上面的大長(zhǎng)方形可以做成無(wú)蓋長(zhǎng)方體，其他規(guī)格的長(zhǎng)方形可以嗎？學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)，只要小長(zhǎng)方形的三條邊之和與大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或者寬相等就可以了，變與不變的哲學(xué)思想由此展露無(wú)遺。

（三）意義建構(gòu)

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)不是通過(guò)教師傳授的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會(huì)文化背景下，借助其他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過(guò)意義建構(gòu)的方式而獲得。所要建構(gòu)的意義包括：事物的性質(zhì)、規(guī)律以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系?！肚勺鰺o(wú)蓋長(zhǎng)方體》一課就是學(xué)生利用教師提供的材料，操作、思考、對(duì)話、分享，進(jìn)而尋找制作成無(wú)蓋長(zhǎng)方體的各長(zhǎng)方形之間的內(nèi)在聯(lián)系。如利用一張長(zhǎng)方形紙制作無(wú)蓋長(zhǎng)方體，學(xué)生就通過(guò)剪、折、移、拼等手段，發(fā)現(xiàn)了邊的內(nèi)在規(guī)定性，進(jìn)而形成多種制作方法（見(jiàn)圖2—下頁(yè)圖5）。

（四）深化拓展

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)持續(xù)不斷、循序漸進(jìn)的過(guò)程。一堂課的結(jié)束并不意味著學(xué)生的探究畫(huà)上了句號(hào)。學(xué)生理應(yīng)帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂，帶著更多的問(wèn)題走出課堂。在“紙的世界”特色課程課堂實(shí)施的最后環(huán)節(jié)，我們總是留給學(xué)生問(wèn)題，或者引導(dǎo)學(xué)生提出新的問(wèn)題，進(jìn)而讓探索走出課堂，走進(jìn)更廣闊的世界。這些問(wèn)題可以是對(duì)課堂探究的再深化，也可以是學(xué)生即將面臨的新挑戰(zhàn)。如《巧做無(wú)蓋長(zhǎng)方體》一課，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下的課堂結(jié)尾：“用一張長(zhǎng)方形紙做一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體，是不是任意尺寸的長(zhǎng)方形都可以采用上述四種方法？如果把一張長(zhǎng)方形紙卷一卷又可以得到怎樣的立體圖形呢？”這些問(wèn)題有的引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，有的則開(kāi)啟了學(xué)生新的探究歷程。

綜上，“紙的世界”特色課程充分尊重了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。教師創(chuàng)造性地開(kāi)發(fā)和實(shí)施課程，學(xué)生則依托支架性素材，主動(dòng)探究、積極思考、合作交流，深度學(xué)習(xí)得以真正發(fā)生。

參考文獻(xiàn)：

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[4] 陶行知.陶行知教育文選[M].北京：教育科學(xué)出版社，1981.專題研究【編者按】“用教材教”，首先需要讀懂教材、讀透教材。在此基礎(chǔ)上，則要基于學(xué)情，創(chuàng)造性地開(kāi)發(fā)教材、運(yùn)用教材。本期《專題研究》欄目，一起來(lái)看陸軍老師和姜華老師對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的解讀與開(kāi)發(fā)。