一種大時滯過程的控制方法

魏 堯, 張 珊, 尤朋飛

(1.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 河北 秦皇島 066004;2.國網(wǎng)北京市電力公司, 北京 100089)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階(fractional order, FO)控制器近年來在各種過程控制領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，比如分?jǐn)?shù)階伺服控制系統(tǒng)、智能PID溫度控制算法等。但在控制系統(tǒng)中，積分環(huán)節(jié)、數(shù)字系統(tǒng)的采樣和計算等因素都會引發(fā)較大的時滯，致使系統(tǒng)控制部分無法對擾動做出及時響應(yīng)，進而影響系統(tǒng)的性能，不能滿足工業(yè)中日益提高的產(chǎn)品加工工藝要求和設(shè)備精度要求。預(yù)測控制等方案為解決時滯問題提供了方法，但實現(xiàn)復(fù)雜[1]。因此，引入預(yù)估控制器仍不失為解決這類問題的一種較為簡單有效的方案。

最經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階控制器為PIλDμ控制器，相較于整數(shù)階PID控制器，其引入了積分階次λ和微分階次μ，擴展了參數(shù)選擇范圍[3]；文獻[4]將Smith預(yù)估控制器與模糊自整定PID算法相結(jié)合，實現(xiàn)了PID參數(shù)的自調(diào)節(jié),并在時滯系統(tǒng)中獲得了穩(wěn)定性能；文獻[5]將Smith預(yù)估控制器引入至內(nèi)?？刂?Internal Model Control, IMC)器中，實現(xiàn)了基于內(nèi)模控制的二自由度(2 degree of freedom, 2DOF)Smith預(yù)估控制器，使系統(tǒng)的跟隨性與抗擾性能解耦，并且也能夠?qū)r滯的過程進行控制；文獻[6-7]提出將分?jǐn)?shù)階(PID)γ控制器引入至內(nèi)?？刂破髦?，實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階控制器控制整數(shù)階系統(tǒng)，但是在有擾動時會產(chǎn)生一定程度的靜差；文獻[8]將分?jǐn)?shù)階PIλ控制器與Smith預(yù)估控制器結(jié)合，實現(xiàn)對1階時滯過程的控制。

文中針對常見的1階和2階含大時滯過程，基于分?jǐn)?shù)階控制器，首先推導(dǎo)出一種分?jǐn)?shù)階(PD)γSmith預(yù)估控制器；之后改進為一種半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制器；最后通過系統(tǒng)的性能指標(biāo)選定控制器參數(shù)后，通過仿真驗證該方法對1階和2階含大時滯過程的有效控制。

1 分?jǐn)?shù)階(PD)γ控制器及Smith預(yù)估控制器

1.1 分?jǐn)?shù)階內(nèi)模控制器

分?jǐn)?shù)階(PID)γ控制器傳遞函數(shù)為

(1)

分?jǐn)?shù)階(PD)γ控制器即為式(1)中參數(shù)Ki=0時形式。內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)

其中Q(s)為內(nèi)?？刂破鳎珿p(s)為被控過程，Gm(s)為過程模型，r(s)、y(s)和d(s)分別為系統(tǒng)的給定輸入、輸出和擾動信號。

當(dāng)系統(tǒng)模型精確時，過程模型Gm(s)與被控過程Gp(s)相等，并且過程模型Gm(s)可逆。

內(nèi)?？刂破鱍(s)可分為低通濾波部分F(s)和被控過程數(shù)學(xué)模型中不含滯后環(huán)節(jié)的最小相位穩(wěn)定部分Gm0(s)的逆，即

(2)

令低通濾波部分F(s)表達式為

(3)

式中:η——濾波器時間常數(shù);

γ——分?jǐn)?shù)階階數(shù)，1<γ<2。

從而將分?jǐn)?shù)階控制器引入內(nèi)?？刂浦?。

1階和2階含大時滯過程傳遞函數(shù)分別為：

(4)

(5)

所對應(yīng)的最小相位部分分別為：

(6)

(7)

將式(4)、式(5)和式(3)分別代入式(2)中，可求得內(nèi)模控制器Q(s)形式分別為：

(8)

(9)

1.2 Smith預(yù)估控制器

Smith預(yù)估控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 Smith預(yù)估控制器結(jié)構(gòu)

其中Gc(s)為控制器，其余部分含義與內(nèi)模控制相同。

在被控過程數(shù)學(xué)模型Gm(s)精確時，給定輸入r(s)和干擾信號d(s)至輸出y(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為:

(10)

(11)

式中：A=(Gm0(s)-Gm(s))。

由圖2可以看出，特征方程中的滯后環(huán)節(jié)被消除，進而設(shè)計控制器時無需考慮該部分。

2 分?jǐn)?shù)階(PD)γ Smith預(yù)估控制器

2.1 常規(guī)分?jǐn)?shù)階(PD)γ Smith預(yù)估控制器

將分?jǐn)?shù)階(PD)γ控制器的形式引入至Smith預(yù)估控制器中。對于控制器Gc(s)的設(shè)計，可參考大林算法的思想，將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)式(10)設(shè)定為如下較為穩(wěn)定的形式

(12)

將式(4)、式(6)和式(5)、式(7)分別代入式(10)中，可得：

(13)

(14)

從式(13)和式(14)可以看出，該控制器可調(diào)參數(shù)少，實現(xiàn)較為容易。

2.2 半分?jǐn)?shù)階二自由度(PD)γ Smith預(yù)估控制器

通過分析文獻[3]中分?jǐn)?shù)階控制器控制整數(shù)階被控對象的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階控制器在抑制擾動時會導(dǎo)致系統(tǒng)的性能下降，產(chǎn)生一定程度的靜差。二自由度控制的寓意是將系統(tǒng)的跟隨性能與抗擾性能進行解耦，使用兩個控制器對兩種性能分別進行控制。因此，在二自由度控制中，將跟隨控制器使用分?jǐn)?shù)階，而干擾抑制控制器使用整數(shù)階來控制整數(shù)階對象是一種較為可行的思路，可將其稱為半分?jǐn)?shù)階二自由度控制。

二自由度Smith預(yù)估控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 二自由度Smith預(yù)估控制器結(jié)構(gòu)

當(dāng)模型精確時，有：

(15)

Gyd(s)=[1-Gm(s)Gc2(s)]Gp(s),

(16)

由上式可看出，系統(tǒng)跟隨性和抗擾性實現(xiàn)了解耦，跟隨性僅和跟隨控制器Gc1(s)有關(guān)，抗擾性僅和干擾抑制控制器Gc2(s)有關(guān)。

采用分?jǐn)?shù)階(PD)γ控制器的形式設(shè)計跟隨控制器Gc1(s)，根據(jù)系統(tǒng)的跟隨性能傳遞函數(shù)式(15)同樣設(shè)計為式(12)的穩(wěn)定形式。由于二自由度Smith預(yù)估控制器與Smith預(yù)估控制器的跟隨性表達式相同，可求得半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制器跟隨控制器Gc1(s)的傳遞函數(shù)也為式(13)和式(14)。

對于干擾抑制控制器Gc2(s)的設(shè)計，采用整數(shù)階控制器的形式。將其拆分為低通濾波部分F(s)和被控過程數(shù)學(xué)模型中不含滯后環(huán)節(jié)的最小相位穩(wěn)定部分Gm0(s)的逆，即式(2)的形式，分別對1階和2階含大時滯過程選取低通濾波部分F(s)為：

(17)

(18)

λ——低通濾波器F(s)的時間常數(shù);

α、α1、α2——分別為濾波器F1(s)和F2(s)函數(shù)中的中間常數(shù)。

可以通過確定中間常數(shù)實現(xiàn)干擾抑制控制器中零點與被控過程中慣性環(huán)節(jié)的極點對消，實現(xiàn)主導(dǎo)極點左移，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后可求得干擾抑制控制器Gc2(s)傳遞函數(shù)分別為：

(19)

(20)

2.3 分?jǐn)?shù)階(PD)γ控制器參數(shù)整定

Smith預(yù)估控制器結(jié)構(gòu)使系統(tǒng)的特征方程中不含滯后環(huán)節(jié)，因此在設(shè)計控制器時，可不考慮系統(tǒng)時滯的作用，僅考慮系統(tǒng)的最小相位部分Gm0(s)。為了滿足系統(tǒng)的魯棒性，通常已知系統(tǒng)設(shè)計所需滿足的相角裕度PM，即系統(tǒng)達到穩(wěn)定臨界狀態(tài)所需附加的相角滯后量，將其用于控制器參數(shù)整定中。根據(jù)經(jīng)典控制理論，開環(huán)傳遞函數(shù)Gop(s)的幅值和相位指標(biāo)參數(shù)定義及性質(zhì)，有：

PM=180°+φ(ωc),

(21)

20lg|A(ωc)|=0,

(22)

式中:ωc——系統(tǒng)的剪切頻率。

為了使閉環(huán)系統(tǒng)對增益的變化有較強魯棒性，設(shè)定剪切頻率ωc附近幅頻特性的斜率為0 dB/dec，即

(23)

聯(lián)立式(21)～式(23)代入上述系統(tǒng)中可求得：

(24)

(25)

通過上述表達式可以看出，所設(shè)計系統(tǒng)有可調(diào)參數(shù)少且整定容易的優(yōu)勢。

另外，由式(10)、式(11)和式(15)、式(16)可知，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程不含有純滯后環(huán)節(jié)，可認(rèn)為這是分?jǐn)?shù)階時滯系統(tǒng)中遲緩型系統(tǒng)的一種。遲緩型系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是當(dāng)且僅當(dāng)傳遞函數(shù)在復(fù)數(shù)域的右半平面不含極點，特別是不含虛軸上的極點。這可以作為判斷文中的系統(tǒng)是否穩(wěn)定的一個方式。

3 仿真結(jié)果與分析

通過MATLAB/Simulink仿真軟件對控制效果進行分析。選擇ITAE、負(fù)調(diào)峰值和超調(diào)量為性能驗證指標(biāo)，對文中所提的兩種典型系統(tǒng)進行驗證。

例1 選取文獻[5]中例1，即式(4)形式的1階含大時滯系統(tǒng)表達式，與之進行比較

(26)

對于分?jǐn)?shù)階常規(guī)Smith預(yù)估控制器，由式(13)的分?jǐn)?shù)階控制器形式，可求得控制器

(27)

為了與文獻[5]有可比性，截止頻率設(shè)定為

ωc=0.02 rad/s,

相角裕度為

PM=65°,

根據(jù)式(24)和式(25)參數(shù)整定，可得：

γ=1.277 8,

η=0.006 746。

設(shè)定系統(tǒng)的給定輸入為單位階躍信號

r(t)=I(t)，

擾動輸入信號為

d(t)=-0.5(t-400)。

例1常規(guī)分?jǐn)?shù)階Smith預(yù)估控制器響應(yīng)波形如圖1所示。

(a) 正常情況

(b) 攝動情況圖4 例1常規(guī)分?jǐn)?shù)階Smith預(yù)估控制器響應(yīng)波形

兩種控制器的仿真響應(yīng)波形見圖4(a)，各項性能指標(biāo)見表1。

表1 例1系統(tǒng)性能指標(biāo)1

為了驗證控制系統(tǒng)魯棒性，對參數(shù)T、K和時滯h均加入50%的攝動，此時系統(tǒng)的響應(yīng)仿真波形見圖4(b)。

通過圖4比較發(fā)現(xiàn)，文獻[5]中的控制器適用于系統(tǒng)存在大攝動的情況，并且存在一定靜差，使ITAE值持續(xù)增大。文中所設(shè)計的控制器適合在系統(tǒng)不存在或僅存在小攝動的情況下使用，能夠提供較好的快速性，并且存在攝動時給定改變或增加擾動后仍可恢復(fù)至原有正常狀態(tài)。

系統(tǒng)的零極點分布如圖5所示。

(a) 給定輸入閉環(huán)系統(tǒng)(b) 擾動輸入閉環(huán)系統(tǒng)

圖5 例1常規(guī)分?jǐn)?shù)階Smith預(yù)估控制器零極點分布

通過對零極點分布分析，極點位于虛軸左側(cè)，通過零極點對消，主導(dǎo)極點更加遠(yuǎn)離虛軸，該系統(tǒng)穩(wěn)定。

對于半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制器，由式(13)和式(22)，取λ=1.5，則控制器傳遞函數(shù)分別為：

(28)

(29)

同樣按照分?jǐn)?shù)階常規(guī)Smith預(yù)估控制器選取參數(shù)，例1半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制響應(yīng)波形如圖6所示。

圖6 例1半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制響應(yīng)波形

系統(tǒng)響應(yīng)仿真波形見圖6中實線。

系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)見表2。

表2 例1系統(tǒng)性能指標(biāo)2

同樣對參數(shù)T、K和延時h加入攝動。系統(tǒng)給定改變或增加擾動后可以恢復(fù)至正常運行。

給定輸入的零極點分布和擾動輸入的零極點分布如圖7所示。

通過對系統(tǒng)零極點分布分析，系統(tǒng)極點也全部位于虛軸左側(cè)，因此該系統(tǒng)穩(wěn)定。

例2 選取式(5)形式的2階含大時滯系統(tǒng)模型

(30)

對于分?jǐn)?shù)階常規(guī)Smith預(yù)估控制器，由式(14)可知分?jǐn)?shù)階控制器

(31)

選取截止頻率

ωc=9.95 rad/s，

相角裕度

PM=1.45°，

根據(jù)式(24)和式(25)進行參數(shù)整定，可得

γ=1.45，

η=0.035 7。

設(shè)定系統(tǒng)的輸入信號為

r(t)=I(t)，

擾動輸入信號

d(t)=-0.5(t-50)。

(a) 給定輸入閉環(huán)系統(tǒng)(b) 擾動輸入閉環(huán)系統(tǒng)圖7 例1半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制器零極點分布

例2常規(guī)分?jǐn)?shù)階Smith預(yù)估控制器響應(yīng)波形如圖8所示。

圖8 例2常規(guī)分?jǐn)?shù)階Smith預(yù)估控制器響應(yīng)波形

系統(tǒng)響應(yīng)仿真波形見圖8中實線。

各項性能指標(biāo)見表3。

表3 例2系統(tǒng)性能指標(biāo)1

在參數(shù)T1、T2、K和延時h中分別加入15%、25%、32%和15%的攝動，即T1=1.15，T2=0.25，K=1.32，h=4.6s，此時系統(tǒng)的響應(yīng)見圖8中虛線?？梢?，存在攝動的情況下，系統(tǒng)給定改變或增加擾動后仍可以恢復(fù)至正常運行。

對于半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith控制器，由式(14)和式(20)，取λ=1，則控制器傳遞函數(shù)分別為：

(32)

(33)

式中：B=(0.22s2+1.2s+1)。

同樣按照分?jǐn)?shù)階常規(guī)Smith預(yù)估控制器選取參數(shù)，例2半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制器響應(yīng)波形如圖9所示。

圖9 例2半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制器響應(yīng)波形

系統(tǒng)仿真波形見圖9中實線。

系統(tǒng)的性能指標(biāo)見表4。

表4 例2系統(tǒng)性能指標(biāo)2

對參數(shù)T1、T2、K和延時h添加攝動。此時系統(tǒng)的響應(yīng)見圖9中虛線，即存在攝動時系統(tǒng)改變給定或增加擾動后仍可以恢復(fù)至正常運行。

4 結(jié) 語

將分?jǐn)?shù)階(PD)γ控制器引入Smith預(yù)估控制器中，得到常規(guī)分?jǐn)?shù)階Smith預(yù)估控制器。將其改進為半分?jǐn)?shù)階二自由度Smith預(yù)估控制器后，實現(xiàn)了系統(tǒng)跟隨性和抗擾性解耦。仿真結(jié)果表明，二者均實現(xiàn)了對1階和2階含大時滯過程的無靜差控制，克服了一定程度的參數(shù)攝動，有較好的快速性，并且還有可調(diào)參數(shù)少、整定容易的優(yōu)點。綜上所述，兩種方法均可作為分?jǐn)?shù)階控制器控制整數(shù)階含大時滯過程的可選控制方案。