基于ARMA模型的居民消費(fèi)水平分析與預(yù)測(cè)
——以湖南省為例

■ 黃炳 李維（湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院）

一、導(dǎo)論

國家經(jīng)濟(jì)已經(jīng)進(jìn)入“十三五”規(guī)劃的中后期發(fā)展時(shí)期，合理統(tǒng)籌城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的二元性問題，縮小城鄉(xiāng)居民消費(fèi)水平差距對(duì)湖南省“三農(nóng)”問題和經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展有著重要影響。湖南省位于中國內(nèi)陸東南腹地的長(zhǎng)江經(jīng)濟(jì)帶國家發(fā)展戰(zhàn)略地帶中，同時(shí)對(duì)我國的“一帶一路”建設(shè)也發(fā)揮一定的作用，因而發(fā)展湖南省經(jīng)濟(jì)顯得尤為重要。黎東升等根據(jù)湖北省的農(nóng)村居民消費(fèi)支出數(shù)據(jù)，建立了GM(1,1)灰色動(dòng)態(tài)模型，利用精度檢驗(yàn)對(duì)擬合模型修正，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的推算預(yù)測(cè)[2]。李群霞研究消費(fèi)支出及其影響因素之間的關(guān)系，建立長(zhǎng)期均衡計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，通過影響因素之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，對(duì)數(shù)據(jù)平穩(wěn)性預(yù)處理從而達(dá)到協(xié)整檢驗(yàn)分析非平穩(wěn)經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)量關(guān)系，研究了非平穩(wěn)經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)量關(guān)系[3]。本文將從湖南省居民消費(fèi)水平相對(duì)差距入手，以湖南省居民消費(fèi)水平的歷史數(shù)據(jù)建立平穩(wěn)的時(shí)間序列，構(gòu)建ARMA模型，為“十三五”目標(biāo)提供理論和實(shí)證依據(jù)。

圖1 湖南省1978—2017城鄉(xiāng)居民相對(duì)收入差距變化趨勢(shì)

圖2 差分處理序列后的趨勢(shì)

圖3 差分序列I3的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

圖4 差分序列I3的模型

二、湖南省居民消費(fèi)水平預(yù)測(cè)實(shí)證分析

（一）ARMA模型的建立

1.時(shí)間序列判斷

本文數(shù)據(jù)主要來源于2018年湖南統(tǒng)計(jì)年鑒、2018年中國統(tǒng)計(jì)年鑒和湖南省人民政府網(wǎng)。將湖南省城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平減去湖南省農(nóng)民居民消費(fèi)水平，再除以湖南省城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平得到相對(duì)居民消費(fèi)水平差距，記為Xt（1978≤t≤2017）。圖1為湖南省城鄉(xiāng)居民相對(duì)居民消費(fèi)水平差距趨勢(shì)圖。

由圖1觀察可知，時(shí)間序列Xt含有趨勢(shì)性，是不平穩(wěn)的。同時(shí)通過 ADF 根檢驗(yàn)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)判斷平穩(wěn)性，存在單位根，原始序列Xt不平穩(wěn)。

2.數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理

對(duì)原始數(shù)據(jù)Xt進(jìn)行差分處理，圖2為序列的變化趨勢(shì)。

從圖2可以清晰的看到，經(jīng)過差分處理后的序列是平穩(wěn)的。差分后的t統(tǒng)計(jì)量值為-6582427，而顯著性水平為1%、5%和10%的臨界值分別為-2.639210、-1.951687、-1.610579，t統(tǒng)計(jì)量明顯小于顯著性水平為1%的臨界值，故而拒絕系數(shù)為零的原假設(shè)，即不存在單位根，序列已平穩(wěn)。

3.自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖識(shí)別

根據(jù)圖3自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，對(duì)ACF和PACF進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)該時(shí)間序列I3的自相關(guān)和偏自相關(guān)都具有拖尾的特征，因此可建立ARMA模型。參數(shù)估計(jì)結(jié)果觀察對(duì)比可知ARMA（2,1）和ARMA(5,1)數(shù)值相近且較小，而ARMA（5,1）模型的可決系數(shù)(Adjusted R2)最大，所以ARMA（5,1）模型在這幾個(gè)模型中是比較合適的。

4.建立擬合模型

通過之前對(duì)模型的識(shí)別和選擇，擬合ARMA（5,1）模型：

根據(jù)表1可知，擬合的ARMA(5,1)模型是。

圖5 擬合模型殘差序列自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖

表1 ARMA(5,1)模型的估計(jì)及檢驗(yàn)結(jié)果

表2 模型預(yù)測(cè)表

表3 模型差分預(yù)測(cè)值

（二）ARMA模型的檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)

1.擬合模型殘差檢驗(yàn)

對(duì)擬合模型做出殘差序列得到圖4。

通過判斷殘差是否存在白噪聲檢驗(yàn)擬合模型的信息提取是否完全。對(duì)圖4的擬合模型殘差序列進(jìn)行Q檢驗(yàn)，根據(jù)Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的伴隨概率P值的概率大小判斷是否為白噪聲。由圖可知，擬合模型的P值要顯著大于5%，模型不拒絕殘差是白噪聲的零假設(shè)，從而說明誤差項(xiàng)不存在自相關(guān)，該模型不需要修改。

2.擬合模型預(yù)測(cè)

本文通過擬合的有效模型ARMA(5,1)進(jìn)行預(yù)測(cè)，首先我們需要對(duì)模型的擬合值和實(shí)際值進(jìn)行誤差分析，見表1。

從圖5的絕對(duì)值和均方誤差充分表明模型的誤差區(qū)間保持在較小的范圍內(nèi)，ARMA(5,1)擬合的實(shí)際值與擬合值的絕對(duì)值均在0.05之中，均方誤差幾乎都低于或相近于5%的誤差度。對(duì)擬合模型2011年至2017年進(jìn)行靜態(tài)預(yù)測(cè)，得到圖6，曲線均在有效區(qū)間內(nèi)。對(duì)比2011年至2017年靜態(tài)預(yù)測(cè)值和差分序列得到圖7，模型預(yù)測(cè)值基本和差分序列圖擬合。對(duì)2018年、2019年和2020年進(jìn)行模型預(yù)測(cè)得到表3和圖3.9：根據(jù)ARMA(5,1)模型預(yù)測(cè)2018—2020年三年的居民消費(fèi)水平差距預(yù)測(cè)值為0.000410、0.006399和-0.006342。

圖6 擬合模型樣本內(nèi)預(yù)測(cè)圖

圖7 擬合模型樣本內(nèi)預(yù)測(cè)效果圖

三、結(jié)論

從1978—2017年的城鄉(xiāng)居民消費(fèi)水平相對(duì)差距上看，湖南省居民消費(fèi)水平呈現(xiàn)一定的波動(dòng)性，但是總體層面上依然處于差距擴(kuò)大的局面。隨著居民消費(fèi)水平的繼續(xù)增長(zhǎng)，城鄉(xiāng)的居民消費(fèi)水平差距繼續(xù)拉大，經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長(zhǎng)將會(huì)加大兩極分化的速度。通過模型ARMA(5,1)的預(yù)測(cè)圖可知，在2018年、2019年和2020年三年內(nèi)，湖南省居民消費(fèi)水平差距仍呈擴(kuò)大趨勢(shì)，沒有根本上縮小。