修正的橫觀各向同性千枚巖巖體強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則

王洪新

（山西晉城公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院，山西 晉城048000）

1 背景

層狀巖體的力學(xué)特性會(huì)隨著傾角的不同而發(fā)生變化，分析層狀巖體變形和破壞特征，解決工程巖體的失穩(wěn)問題，是巖土研究的核心問題，建立合適的強(qiáng)度準(zhǔn)則是解決這一問題的基礎(chǔ)。 眾多學(xué)者基于連續(xù)介質(zhì)思想，在各向同性材料的基礎(chǔ)上，將力學(xué)參數(shù)變?yōu)榕c層理傾角有關(guān)的函數(shù)， 從而模擬層狀巖體的橫觀各向同性性質(zhì)。 Jaeger［1］將黏聚力看成是隨層理面傾角變化的函數(shù)， 而將摩擦角看成是常數(shù)， 對傳統(tǒng)Jaeger理論進(jìn)行了完善；張貴科［2］、楊強(qiáng)等［3］用損傷張量表示節(jié)理連通率， 并根據(jù)連通率對Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則中的粘聚力和內(nèi)摩擦系數(shù)進(jìn)行等效替換，進(jìn)而建立了各向異性節(jié)理巖體的抗剪強(qiáng)度屈服準(zhǔn)則；常江芳等［4］認(rèn)為橫觀各向同性材料的彈塑性本構(gòu)方程是材料組構(gòu)張量、大主應(yīng)力方向的函數(shù)，提出了適用于橫觀各向同性巖體的改進(jìn)D-P準(zhǔn)則。 目前常用的各向異性，包括以下幾種：

1.1 Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則的修正

Hoek和Brown通過對大量的巖石三軸試驗(yàn)資料和巖體的現(xiàn)場試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析， 提出了Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則，其一般表達(dá)式如式（1）：

式中 σ1和σ3為巖石破壞時(shí)的最大和最小主應(yīng)力；σci為巖石單軸抗壓強(qiáng)度；mb，s和α為巖體材料常數(shù)。對完整巖石mb等于材料常數(shù)mi，s=1和α=0.5。

為了反映巖石強(qiáng)度各向異性特征，Hoek和Brown認(rèn) 為mb和s 的 值 隨 層 理 傾 角 而 變 化。 Saroglou 和Tsiambaos［5］指出對于強(qiáng)度各向異性的巖石計(jì)算mb和s繁重而枯燥，并通過直接引入修正因子kβ，對Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行了修正，如式（2）：

式（2）在下文中采用HB1表示， σcβ為巖層走向與主應(yīng)力方向夾角為β時(shí)的單軸抗壓強(qiáng)度，kβ為強(qiáng)度的各向異性系數(shù)。 巖層傾角β為90°時(shí)，各向異性系數(shù)取1，即k90=1.0，并采用β=90時(shí)的三軸數(shù)據(jù)擬合參數(shù)mi，其他角度的參數(shù)kβ根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用式（2）擬合求得。

Xiangchao Shi和Xu Yang［6］重新對Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行了修正，其表達(dá)如式（3）：

式（3）在下文中采用HB2表示，αβ為各向異性影響因子。σci為最大單軸抗壓強(qiáng)度，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)β等于0°或90°時(shí)取得最大抗壓強(qiáng)度值，則σci取σc0和σc90中的最大值。當(dāng)σci=σc0時(shí)，則α0=0.5，mi根據(jù)β=0時(shí)的三軸試驗(yàn)結(jié)果擬合求得；當(dāng)σci=σc90時(shí)，則α90=0.5，mi根據(jù)90°時(shí)的三軸試驗(yàn)結(jié)果擬合求得。 其余角度的αβ根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用式（3）擬合求得。

1.2 Ramamurthy強(qiáng)度準(zhǔn)則

Ramamruthy 等［7］提出了一種經(jīng)驗(yàn)性的強(qiáng)度準(zhǔn)則用于預(yù)測完整各向異性巖體強(qiáng)度的非線性特征，如式（4）：

式中 Bβ和αβ為反映巖體各向異性的材料常數(shù)，可以通過式（5）～式（6）計(jì)算：

式中 σc90為巖層傾角β=90°時(shí)的單軸抗壓強(qiáng)度；α90和B90為巖層傾角β=90°時(shí)Bβ和αβ的值。

由于實(shí)際工程中， 室內(nèi)試驗(yàn)獲得的參數(shù)往往是有限的，且多為低圍壓下的試驗(yàn)結(jié)果，本文旨在提出一種各向異性強(qiáng)度準(zhǔn)則， 依靠有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得的參數(shù)，能夠較好的預(yù)測巖體在多圍壓下的強(qiáng)度。

2 新型修正的各向異性強(qiáng)度準(zhǔn)則

Z.T.Bieniawski［8］基于大量的巖石三軸壓縮試驗(yàn)提出了一種經(jīng)驗(yàn)性的強(qiáng)度準(zhǔn)則，如式（7）：

式中 σc為單軸抗壓強(qiáng)度；A為無量綱系數(shù)， 為巖體材料常數(shù)。

式（7）是基于各向同性的巖石提出的經(jīng)驗(yàn)性強(qiáng)度準(zhǔn)則，為反映巖層的各向異性，可參照式（2），即HB1的方式，直接引入各向異性系數(shù)Rβ對式（7）進(jìn)行修正，如式（8）：

式中 Rβ為強(qiáng)度的各向異性系數(shù)。 巖層傾角β為90°時(shí)，各向異性系數(shù)取1，即R90=1.0，并采用β=90時(shí)的三軸數(shù)據(jù)擬合參數(shù)A， 其他角度的參數(shù)Rβ根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用式（8）擬合求得。

3 擬合結(jié)果的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

采用三種誤差指標(biāo)評價(jià)擬合結(jié)果， 第一種誤差指標(biāo)為均方差（R2）：

式中 N為室內(nèi)試驗(yàn)的總個(gè)數(shù)；σc，exp為室內(nèi)試驗(yàn)峰值強(qiáng)度；σc，pred為理論計(jì)算預(yù)測強(qiáng)度；σc，av為室內(nèi)試驗(yàn)平均峰值強(qiáng)度。

第二種誤差指標(biāo)為單個(gè)數(shù)據(jù)的誤差：

第三種誤差指標(biāo)為絕對誤差的平均值：

根據(jù)三種誤差表達(dá)式的含義，越小，則計(jì)算模型的準(zhǔn)確性越高。 另一方面，R2越高，理論值與試驗(yàn)值的相關(guān)性越好， 所以較低的AAREP往往對應(yīng)一個(gè)較高的R2。通過計(jì)算AAREP的最小值，得到最優(yōu)的擬合參數(shù)。

4 擬合結(jié)果及其討論

4.1 擬合參數(shù)的敏感性分析

強(qiáng)度準(zhǔn)則中參數(shù)［式（2）中的mi和kβ；式（3）中的mi和αβ；式（4）中的Bβ和αβ；式（8）中Rβ和A］擬合的正確性直接影響到強(qiáng)度準(zhǔn)則的正確性。 工程實(shí)踐中常采用回歸分析的方法擬合出相關(guān)參數(shù)，因此，室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量很大程度上影響參數(shù)的擬合結(jié)果和理論計(jì)算的準(zhǔn)確性。當(dāng)只有低圍壓的室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，擬合結(jié)果如不能真實(shí)反映巖石的強(qiáng)度包絡(luò)線， 則強(qiáng)度準(zhǔn)則的正確性會(huì)降低。正是處于這種考慮，Singh［9］特別指出，強(qiáng)度準(zhǔn)則的參數(shù)對圍壓敏感度越低越好，以達(dá)到采用較少的低圍壓下室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果擬合出的參數(shù)也能準(zhǔn)確的預(yù)測高圍壓下峰值強(qiáng)度的效果。

本文采用Mahendra Singh［10］千枚巖的室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果，如圖1。

圖1 千枚巖室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果

由圖1可知， 共進(jìn)行了單軸壓縮試驗(yàn)和圍壓為5，15，30，60MPa4種圍壓的室內(nèi)試驗(yàn)。 本文采用從低到高不同數(shù)量的圍壓組合， 根據(jù)AAREP最小的原則擬合對應(yīng)圍壓下的室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的擬合參數(shù)， 再采用得到的擬合參數(shù)預(yù)測所有圍壓的室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果， 針對千枚巖采用3種組合， 即AQ1 （σ3=5，15MPa）；AQ2 （σ3=5，15，30MPa）；AQ3 （σ3=5，15，30，60MPa），擬合得到的不同準(zhǔn)則的參數(shù)如表1。

表1 三種組合不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的擬合參數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)差的大小反映了數(shù)據(jù)的離散程度，可通過計(jì)算表1中不同強(qiáng)度準(zhǔn)則下參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差以反映圍壓對擬合參數(shù)的影響，計(jì)算表達(dá)式如式（12），標(biāo)準(zhǔn)差越小，代表了其離散程度越小，即擬合參數(shù)對圍壓越不敏感。 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則下參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的大小如表2。

式中 Ti為擬合參數(shù)值。

表2 三種組合不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的各向異性指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

從表2可看出，新型強(qiáng)度準(zhǔn)則各向異性指數(shù)的平均標(biāo)準(zhǔn)差為0.04， HB1強(qiáng)度準(zhǔn)則的平均標(biāo)準(zhǔn)差為0.05，HB2強(qiáng)度準(zhǔn)則的平均標(biāo)準(zhǔn)差為0.1，Ramamurthy強(qiáng)度準(zhǔn)則兩參數(shù)平均標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.69和1.76，不難看出新型強(qiáng)度準(zhǔn)則的標(biāo)準(zhǔn)差最低。

采用類似的方法可以計(jì)算出， 新型強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)A、HB1和HB2強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.16和2.65，新型強(qiáng)度準(zhǔn)則的標(biāo)準(zhǔn)差較小。

4.2 峰值強(qiáng)度擬合結(jié)果對比

采用上節(jié)中AQ1，AQ2，AQ3 3種組合擬合的參數(shù)，利用新型強(qiáng)度準(zhǔn)則式（8）預(yù)測所有圍壓的室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果，擬合結(jié)果如圖2。

圖2 不同組合試驗(yàn)值與理論計(jì)算值對比

由圖2可知，不同圍壓組合下的擬合參數(shù)得到的預(yù)測值均與室內(nèi)試驗(yàn)較為吻合； 隨著室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的增加，擬合結(jié)果與試驗(yàn)值更為吻合。 為了更好的說明新型模型的優(yōu)越性，將AQ1，AQ2，AQ3三組圍壓組合擬合的參數(shù)， 采用不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測所有圍壓的室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果，如圖3，4，5。 其中擬合參數(shù)下Ramamurthy的預(yù)測值偏差過大， 這里不予列出。

由圖3可知，采用二組試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出的參數(shù)用于預(yù)測室內(nèi)試驗(yàn)全部圍壓的峰值強(qiáng)度， 本文新型強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.96，AAREP為5.85%；HB1強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.93，AAREP為7.86%；HB3強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.96，AAREP為6.08%；Ramamurthy強(qiáng)度準(zhǔn)則偏差過大，不予列出。 由計(jì)算結(jié)果看出，采用較少試驗(yàn)數(shù)據(jù)， 本文新型強(qiáng)度準(zhǔn)則的預(yù)測誤差小于其他強(qiáng)度準(zhǔn)則。

圖3 擬合參數(shù)預(yù)測結(jié)果

由圖4可知，采用三組試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出的參數(shù)用于預(yù)測室內(nèi)試驗(yàn)全部圍壓的峰值強(qiáng)度， 本文新型強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.97，AAREP為5.80%；HB1強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.95，AAREP為6.48%；HB3強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.97，AAREP為6.52%；Ramamurthy強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.81，AAREP為12.4%。 由計(jì)算結(jié)果看出，HB2強(qiáng)度準(zhǔn)則的誤差最小，本文強(qiáng)度準(zhǔn)則次之，但兩者相差不大。

圖4 擬合參數(shù)預(yù)測結(jié)果

由圖5可知，采用全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出的參數(shù)用于預(yù)測室內(nèi)試驗(yàn)全部圍壓的峰值強(qiáng)度， 本文新型強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.99，ARREP為5.01%；HB1強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.99，ARREP為3.46%；HB3強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.99，ARREP為4.03%；Ramamurthy強(qiáng)度準(zhǔn)則的均方差R2為0.81，ARREP為12.3%。 由計(jì)算結(jié)果看出，HB1強(qiáng)度準(zhǔn)則的誤差最小，HB2強(qiáng)度準(zhǔn)則準(zhǔn)則次之， 本文新型強(qiáng)度準(zhǔn)則的誤差雖不及HB1和HB2強(qiáng)度準(zhǔn)則正確，但三者相差不大。

圖5擬合參數(shù)預(yù)測結(jié)果

由此可見， 本文的新型強(qiáng)度準(zhǔn)則可以較好的預(yù)測各向異性巖石的峰值強(qiáng)度， 特別是室內(nèi)試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺乏時(shí)，采用本文強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的峰值強(qiáng)度，其準(zhǔn)確性最高。

5 結(jié)語

本文根據(jù)層巖強(qiáng)度的各向異性， 提出一種修正的強(qiáng)度準(zhǔn)則， 并與目前常用的修正Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則以及Ramamurthy強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行對比。 計(jì)算結(jié)果表明，本文提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則，采用有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行預(yù)測時(shí)，表現(xiàn)出較高的相關(guān)性以及較低的誤差，本文提出準(zhǔn)則參數(shù)對圍壓敏感度較低， 達(dá)到了采用較少的低圍壓下室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果擬合出的參數(shù)也能準(zhǔn)確的預(yù)測高圍壓下峰值強(qiáng)度的效果。