數(shù)學(xué)教學(xué)要講道理
——以“公頃”教學(xué)為例

沈 俊

筆者在教學(xué)實踐和教學(xué)觀察中發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)大面積單位“公頃”，教師有“癢”點(diǎn)，學(xué)生有“痛”處。教師的“癢”在于：在室內(nèi)講，學(xué)生沒有真實體驗，想象無法打開，不能體會公頃之“大”；到室外上，教師扯破嗓子組織活動，學(xué)生卻“打醬油”般走過場，練習(xí)時錯例層出不窮。學(xué)生的“痛”在于：好不容易記住相鄰兩個面積單位之間的進(jìn)率是100，“公頃”卻來添堵，憑什么它和平方米的進(jìn)率就得是10000？難記又難算！隔了一段時間，“公頃”已縹緲天外，毫無印象。追根溯源，是新知識“公頃”與經(jīng)驗中的面積單位有了隔閡，“相鄰兩個面積單位間的進(jìn)率是100”無法遷移至新的學(xué)習(xí)情境中，知識的跳躍使理解產(chǎn)生了斷層。因此，筆者認(rèn)為，在教學(xué)中，教師應(yīng)體認(rèn)學(xué)生學(xué)習(xí)的痛癢，精心設(shè)計教學(xué)，重構(gòu)教學(xué)流程，適時提供支架和扶手，修補(bǔ)好斷裂的知識鏈，讓“公頃”講點(diǎn)道理，使學(xué)習(xí)順理成章。

【案例回放】

［片段1］并不突兀，“十米”“百米”已在用

教師在黑板上畫一條長10厘米的線段。

師：這條線段有多長？

生：10厘米、1分米。

師（板書厘米、分米）：都可以嗎？為什么？

生：都可以，因為1分米=10厘米。

師：我們學(xué)過哪些長度單位？你能從小到大有順序地說一說嗎？

生：毫米、厘米、分米、米、千米。

師：相鄰兩個長度單位之間的進(jìn)率有什么特點(diǎn)？

生1：都是10。

生2：除了米和千米的進(jìn)率是1000，其余都是10。

師：毫米、厘米、分米和米，每兩個相鄰單位間的進(jìn)率都是10?？墒牵懊住焙竺婢o接著就是“千米”，進(jìn)率也變成了1000。難道“米”和“千米”之間就沒有其他長度單位了嗎？

生1：“千米”前面也可以有“百米”，如“百米飛人大戰(zhàn)”，跑道一圈是400米，只不過不常用。

教師在千米前板書“百米”，說明400 米＝4百米。

生2：對！我們也進(jìn)行50 米賽跑和60 米迎面接力，也可以有“十米”這個單位。

教師在“百米”前板書“十米”。

師：如此看來，長度單位就齊全了，“千米”也就不再孤單了。那么，生活中和數(shù)學(xué)中為什么不經(jīng)常使用“十米”與“百米”呢？

生活中處處可見“十進(jìn)制”，每兩個相鄰長度單位間的進(jìn)率是10，顯得順理成章。以毫米、厘米、分米、米為單位度量的現(xiàn)象在生活中也時常發(fā)生，學(xué)生積累了不少相關(guān)活動經(jīng)驗和度量認(rèn)知。千米雖是較大的長度單位，但與米的聯(lián)結(jié)并未斷裂，因為從字面上看1千米就等于1000米。教師通過設(shè)問“難道‘米’和‘千米’之間就沒有其他長度單位了嗎”，引發(fā)學(xué)生聯(lián)系生活，順勢補(bǔ)充了“十米”和“百米”這兩個長度單位，為進(jìn)一步研究面積單位的進(jìn)率奠定了基礎(chǔ)。

［片段2］借助直觀，喚醒進(jìn)率表象

師：誰能有條理地說一說，我們已經(jīng)學(xué)過哪些面積單位？

生：平方厘米、平方分米和平方米。

師：1平方厘米的面積有多大？

生：1 平方厘米有大拇指的指甲蓋那么大；邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米。

師：1平方分米和1平方米呢？

胸腔鏡下肺癌根治術(shù)是治療肺癌的常見手術(shù)方法，在確保微創(chuàng)的同時，也能保證腫瘤切除率[1]?？焖倏祻?fù)外科(fast track surgery，F(xiàn)TS)通過微創(chuàng)外科技術(shù)、最佳術(shù)后鎮(zhèn)痛以及早期活動和術(shù)后飲食等圍手術(shù)期處理，減少應(yīng)激反應(yīng)，降低器官功能障礙的風(fēng)險，維持生理狀態(tài)，促進(jìn)術(shù)后恢復(fù)，從而縮短住院時間[2]。我院將FTS理念應(yīng)用于胸腔鏡手術(shù)患者圍手術(shù)期管理，現(xiàn)將結(jié)果報告如下。

…………

師：誰能解釋一下，為什么兩個相鄰面積單位之間的進(jìn)率不是10而是100呢？

生1：以平方分米和平方厘米的進(jìn)率為例，在邊長1分米的正方形的邊上可以擺10個1平方厘米的小正方形，像這樣可以擺10排，就是100個小正方形。所以，1平方分米=100平方厘米。

教師課件演示上述過程。

生2：我們也可以用計算來說明。邊長1分米的正方形面積是1×1=1（平方分米）；也可以把1 分米化成10 厘米，10×10=100（平方厘米）。所以，1平方分米=100平方厘米。

生3：長度單位是一維空間的問題，是一條線；面積單位是二維空間的問題，是一個面。

師：這個說法很值得大家揣摩揣摩?。?/p>

蘇教版三下編排了認(rèn)識面積單位平方厘米、平方分米和平方米的內(nèi)容，學(xué)生知道了兩個相鄰面積單位之間的進(jìn)率是100，到五上才編排認(rèn)識大面積單位“公頃”和“平方千米”，間隔時間長，記憶鏈容易斷，且常常與長度單位的進(jìn)率混淆。如何將新知與舊知進(jìn)行意義對接，這是一個值得思考和揣摩的問題。人的記憶大都是以圖像或符號的形式存儲的，適當(dāng)?shù)那榫郴虼碳つ艽龠M(jìn)記憶提取。上述教學(xué)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生對接生活原型，喚醒面積單位大小的表象，明確面積單位表示大小而非長短。接著借助數(shù)形結(jié)合和計算說理，明確兩個相鄰面積單位的進(jìn)率是100而非10的內(nèi)在原因。進(jìn)而使學(xué)生對原有面積單位有了結(jié)構(gòu)上的認(rèn)知，為“創(chuàng)造”新的面積單位做好了孕伏。

［片段3］“平方百米”，原是順藤摸瓜

師：順著這個思路，如果今天要學(xué)習(xí)一個更大的面積單位，可能是什么？

生：平方十米。

師：有道理嗎？1 平方十米有多大？可以推理出來嗎？

生1：邊長是10 米的正方形，面積是1 平方十米，也就是100平方米。

生2：10×10=100，1平方十米=100平方米。

師：1 平方十米就是100 平方米，比我們的教室多出約20 平方米。有感覺了嗎？順勢推理，再學(xué)一個更大的面積單位自然就是——

生：平方百米。邊長100 米的正方形面積是1平方百米。

師：平方百米與平方十米、平方米有什么關(guān)系？你能說說其中的道理嗎？

生1：正好往下順推，1 平方百米=100 平方十米。

生2：1平方百米=100×100=10000平方米。

生3：老師，我發(fā)現(xiàn)書上沒有“平方百米”這個單位，但我看到1 公頃=10000 平方米，“平方百米”和“公頃”是不是一回事？

師：是的，1 公頃就可以看作1 平方百米。你們喜歡“平方百米”還是“公頃”？如果再學(xué)一個更大的面積單位呢？

有了前面的序曲和孕伏，學(xué)生“創(chuàng)造”一個新的、較大的面積單位已是水到渠成的事情。“米”后面可以有“十米”“百米”“千米”，“平方米”后面自然可以是“平方十米”“平方百米”“平方千米”，教學(xué)順勢而為就好。數(shù)學(xué)邏輯的藤蔓已然在手，摸到一個大西瓜自是順理成章。數(shù)學(xué)，原來就很講道理，只不過有時被人為地掐斷，有時未能被好好地發(fā)掘。如此這般，“公頃”也變得講道理了，兩個相鄰面積單位之間的進(jìn)率一直是100，公頃和平方米之間的進(jìn)率之所以變成了10000，是因為它們之間隔了一個“平方十米”。于是，更大的面積單位“平方千米”也呼之欲出了。

【教后有感】

數(shù)學(xué)是講道理的，其全部魅力在于思考。教師需要設(shè)計教學(xué)，使學(xué)生在符合邏輯的情境中經(jīng)歷過程、改造經(jīng)驗、感悟思想、培育情感。

1.體認(rèn)痛癢，修補(bǔ)經(jīng)驗斷層。

心理學(xué)家奧蘇伯爾曾指出，“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！睘榱舜龠M(jìn)學(xué)習(xí)真正發(fā)生，教師有必要在備課時前后聯(lián)系，體察學(xué)習(xí)痛癢，精心設(shè)計教學(xué)流程，對知識進(jìn)行有效“補(bǔ)償”，為斷裂的知識鏈補(bǔ)上缺失的一環(huán)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更講道理。

面積單位公頃和平方千米與學(xué)生的日常生活距離較遠(yuǎn)、聯(lián)系較少，用教材上的情境導(dǎo)入無異于隔靴搔癢。面積單位突然由“正?！钡倪M(jìn)率100 跳躍到平方米和公頃之間的進(jìn)率10000，這是痛癢點(diǎn)所在，此間的認(rèn)知斷層在哪里？如何“講道理”地安全過渡？這是教學(xué)應(yīng)該重點(diǎn)考量的，需要教師給予學(xué)生理解上的支持和扶助。

教學(xué)先從長度單位入手，順勢引出生活中已經(jīng)應(yīng)用的“十米”和“百米”，然后過渡到復(fù)習(xí)面積單位的大小和進(jìn)率，學(xué)生自然而然就“創(chuàng)造”出“平方十米”和“平方百米”這兩個較大的面積單位，而且由教學(xué)現(xiàn)場統(tǒng)計可知，學(xué)生更喜歡用“平方百米”去代替公頃。如此學(xué)習(xí)，既修補(bǔ)了知識上的斷層，也激發(fā)了學(xué)生“再創(chuàng)造”的動力。

2.整合材料，教材是個引子。

教材編排有其科學(xué)的結(jié)構(gòu)體系，但并不意味著教師教學(xué)時要完全復(fù)制、照搬。教學(xué)本身就是一種不可完全復(fù)制的創(chuàng)新行為，其秉持的并不是“濤聲依舊”，而是“茍日新，日日新，又日新”。教師是連接教材和學(xué)生的紐帶，應(yīng)有自己的理解和創(chuàng)見，讓教材為我所用，使數(shù)學(xué)教學(xué)講道理。

教材是個引子，教學(xué)“公頃”前應(yīng)思考以下幾點(diǎn)：學(xué)習(xí)面積單位就不能忽略長度單位；進(jìn)率10000 就得考量進(jìn)率100；學(xué)習(xí)面積單位也會促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知體積單位。如此，學(xué)習(xí)才會向四面八方打開，生成知識聯(lián)結(jié)，改造已有經(jīng)驗。上述案例中，師生共同經(jīng)歷了“公頃”的創(chuàng)生過程，“相鄰兩個面積單位之間的進(jìn)率是100”很有道理，由“平方米”躍遷到“平方百米”（公頃）并不突兀，再學(xué)習(xí)“平方千米”也是水到渠成。如此，將兩課時的知識點(diǎn)統(tǒng)整到一節(jié)課的時空里來，教學(xué)有整體，學(xué)習(xí)成體系。第二課時可以設(shè)計成活動體驗課，邀請學(xué)生到操場上和校園里去體驗真實情境，沉淀既有經(jīng)驗。

3.邏輯推理，知識本講道理。

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾這樣描述數(shù)學(xué)的表達(dá)形式：“沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來。一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成了冰冷的美麗?！钡拇_如此，數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)出來的皆是一些文字、圖表、字母和公式的組合，是科學(xué)的邏輯考量和成人的結(jié)構(gòu)視角，它無法再現(xiàn)當(dāng)初火熱的思考和探究過程，教師要做的便是對其進(jìn)行解讀和再設(shè)計，使生硬的邏輯體系和冷冰冰的定義變得講道理、有溫度。

長度單位米和千米之間的進(jìn)率之所以是1000，是數(shù)學(xué)本身的力量——兩者之間還存在“十米”和“百米”這兩個不常用的長度單位。當(dāng)教學(xué)“補(bǔ)償”了這片缺漏的陽光后，學(xué)生根據(jù)邏輯關(guān)系進(jìn)行“再創(chuàng)造”，推理出面積單位“平方十米”“平方百米”（公頃）“平方千米”已屬順?biāo)浦?，使冰冷的美麗重歸為火熱的思考。

總之，數(shù)學(xué)本身就是講道理的學(xué)科，有其內(nèi)在的邏輯和體系。數(shù)學(xué)知識也并不是裸露、孤立的存在，需要教師在學(xué)習(xí)者的舊有經(jīng)驗中找到附著點(diǎn)和生長點(diǎn)，借助合適的載體將其“引”出來。因此，在好的教學(xué)現(xiàn)場，知識一定是鮮活可感、講道理的，學(xué)習(xí)者持續(xù)沉浸其中，感受數(shù)學(xué)本身的力量，體驗思維進(jìn)階的愉悅。