構造新函數(shù) 妙解導數(shù)題

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學

導數(shù)是高考函數(shù)內容的重要組成部分,導數(shù)既是數(shù)學研究的對象,也是研究數(shù)學的工具,在解決導數(shù)與抽象函數(shù)、不等式相結合的有關問題時,觀察條件結構、構造函數(shù)是解決問題的關鍵。

一、含有ex 的函數(shù)

例1設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),對任意x∈R 都有f(x)＞f'(x)成立,則( )。

A.3f(ln 2)＞2f(ln 3)

B.3f(ln 2)=2f(ln 3)

C.3f(ln 2)＜2f(ln 3)

D.3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定

故選A。

點評：若f'(x)-kf(x)＞0,則構造函數(shù),其中當k=1時,則構造函數(shù)

例2已知定義在R 上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),對任意x∈R 滿足f(x)+f'(x)＜0,則下列結論正確的是( )。

A.2f(ln 2)＞3f(ln 3)

B.2f(ln 2)＜3f(ln 3)

C.2f(ln 2)≥3f(ln 3)

D.2f(ln 2)≤3f(ln 3)

解析：設g(x)=exf(x),則g'(x)=(ex)'f(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]＜0,g(x)在R 上是減函數(shù)。因為ln 2＜ln 3,所以g(ln 2)＞g(ln 3),即(ln 2)＞eln3f(ln 3), 2f(ln 2)＞3f(ln 3)。

故選A。

點評：若f'(x)+kf(x)＞0,則構造函數(shù)F(x)=ekxf(x),其中當k=1時,則構造函數(shù)F(x)=exf(x)。

二、含有xn 的函數(shù)

例3已知函數(shù)若對任意的x∈[1 ,2],xf'(x)+f(x)＞0恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是( )。

點評：若xf'(x)+nf(x)＞0,則構造函數(shù)F(x)=xnf(x),其中當n=1時,則構造函數(shù)F(x)=xf(x)。

三、含有sin x 的函數(shù)

例5函數(shù)f(x)的定義域是f'(x)是它的導函數(shù),且f(x)+tanx·f'(x)＞0在定義域內恒成立,則( )。

解析：設g(x)=sinx·f(x),則：

g'(x)=cosx·f(x)+sinx·f'(x)=cosx[f(x)+tanx·f'(x)]＞0。

故選B。

點評：若f(x)+f'(x)tanx＞0 或f(x)cosx+f'(x)sinx＞0,則構造函數(shù)F(x)=sinx·f(x)。

例6已知定義在上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),且對于任意的x∈,都有f'(x)sinx＜f(x)cosx,則下列結論正確的是( )。

點評：若f(x)-f'(x)tanx＞0 或f(x)cosx-f'(x)sinx＞0,則構造函數(shù)

四、含有cos x 的函數(shù)

例7設函數(shù)f'(x)是定義在(0,2π)上的函數(shù)f(x)的導函數(shù),f(x)=f(2πx)。當0＜x＜π 時,f(x)sinx-f'(x)·cosx＜0,若,則( )。

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.c＜b＜aD.c＜a＜b

則a＜b＜c,選A。

點評：若f'(x)-f(x)tanx＞0 或f'(x)cosx-f(x)sinx＞0,則構造函數(shù)F(x)=cosx·f(x)。

例8已知函數(shù)y=f(x)對于任意的滿足f'(x)cosx+f(x)sinx=1+lnx(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)),則下列不等式成立的是( )。

整理可知,選B。

點評：若f'(x)+f(x)tanx＞0 或f'(x)cosx+f(x)sinx＞0,則構造函數(shù)