自主招生考查物理力與運(yùn)動部分試題賞析

■本刊編輯部

考向一：平動平衡和轉(zhuǎn)動平衡的綜合應(yīng)用

例1(北約)車輪是人類在搬運(yùn)東西的勞動中逐漸發(fā)明的，其作用是使人們能用較小的力量搬運(yùn)很重的物體。假設(shè)勻質(zhì)圓盤代表車輪，其他物體取一正方形形狀。我們現(xiàn)在就比較在平面和斜面兩種情形下，為使它們運(yùn)動(平動、滾動等)所需要的最小作用力。假設(shè)圓盤半徑為b，正方形物體的邊長也為b，它們的質(zhì)量都是m，它們與水平地面或斜面間的動摩擦因數(shù)都是μ，給定傾角為θ的斜面。

(1)使圓盤在平面上運(yùn)動幾乎不需要作用力。使正方形物體在平面上運(yùn)動，需要的最小作用力F1是多少?

(2)在斜面上使正方形物體向上運(yùn)動所需的最小作用力F2是多少?

(3)在斜面上使圓盤向上運(yùn)動所需要的最小作用力F3是多少?限定力F3沿斜面方向。

圖1

解析：(1)設(shè)使正方形物體在平面上運(yùn)動所需的最小作用力F1的方向與水平面間的夾角為α，如圖1所示，則F1cosα=f，N+F1sinα=mg，f=μN(yùn)，解得設(shè)sinφ=，代入上式得F1=當(dāng)α+φ=90°時，F(xiàn)1取最小值。

圖2

(2)設(shè)在斜面上使正方形物體向上運(yùn)動所需的最小作用力F2的方向與斜面間的夾角為β，如圖2所示，則F2cosβ=f+mgsinθ，N+F2sinβ=mgcosθ，f=μN(yùn)，解得

圖3

(3)如圖3所示，圓盤沿斜面向上滾動，斜面提供沿斜面向上的摩擦力f，相對于圓盤與斜面的接觸點(diǎn)，力F3的最大力臂為2b，則2F3b=mgbsinθ，F(xiàn)3+f=mgsinθ，N=mgcosθ，f=μN(yùn)，解得。若若則F3=mg(sinθ-μcosθ)。

點(diǎn)評：本題以車輪為切入點(diǎn)，意在考查共點(diǎn)力平衡條件、力矩平衡條件、力的分解、摩擦力等知識。選題貼近生活實(shí)際，主要考查考生綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)過的力學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識解決生活中的實(shí)際問題的能力。難度略高于高考難度。

考向二：牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用

圖4

例2(卓越)如圖4所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的兩物塊A、B，質(zhì)量分別為m、2m，物塊A放在一傾角θ=30°并固定在水平面上的光滑斜面上，一不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑輕質(zhì)定滑輪，兩端分別與物塊A、B相連接。托住物塊B使兩物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時物塊B距地面的高度為h，輕繩剛好拉緊，物塊A和滑輪間的輕繩與斜面平行。現(xiàn)將物塊B從靜止釋放，斜面足夠長。重力加速度為g。求：

(1)物塊B落地前，輕繩中的張力T。

(2)整個過程中，物塊A沿斜面向上運(yùn)動的最大距離L。

解析：(1)設(shè)物塊B落地前兩物塊加速度的大小為a，對于物塊A取沿斜面向上為正方向，對于物塊B取豎直向下為正方向，由牛頓第二定律得T-mgsinθ=ma，2mg-T=2ma，解得。

點(diǎn)評：本題以連接體問題為背景，意在考查受力分析、力的分解、牛頓第二定律等知識。本題主要考查考生綜合應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律解決連接體問題和多過程問題的能力。難度非常接近高考難度。

考向三：運(yùn)動的合成與分解

圖5

例3(華約)如圖5所示，小球從臺階上以一定初速度水平拋出，恰落到第一級臺階邊緣，反彈后再次落下，經(jīng)0.3s恰落至第3級臺階邊界。已知每級臺階寬度及高度均為18cm，取g=10m/s2，且小球反彈時水平速度不變，豎直速度反向，但變?yōu)樵俣鹊摹?/p>

(1)求小球拋出時的高度及距第一級臺階邊緣的水平距離。

(2)小球是否會落到第5級臺階上?請說明理由。

解析：(1)設(shè)臺階的寬度和高度為a，小球拋出時的水平初速度為v0，第一次與臺階碰撞前、后的速度的豎直分量(取豎直向上為正方向)的大小分別為vy1和vy1'，小球兩次與臺階碰撞的時間間隔為t0，則a=18cm=0.18m，t0=解得vy1=v0=1.2m/s。設(shè)小球從第一次拋出到第一次落到臺階上的時間為t1，落點(diǎn)與拋出點(diǎn)之間的水平距離和豎直距離分別為x1和y1，則，解得y1=0.072m，x1=0.144m。

(2)設(shè)小球第二次與臺階碰撞前速度的豎直分量大小為vy2，則vy22-vy1'2=2g·2a，解得vy2=2.7m/s，可見vy2＞vy1。小球反彈后再次落下到與第3級臺階相同的水平位置所用的時間將大于0.3s，水平位移將大于2a，所以小球不會落到第5級臺階上。

點(diǎn)評：本題以臺階上平拋小球?yàn)榍腥朦c(diǎn)，類似的情境曾在平拋運(yùn)動中見過，但是題設(shè)的條件和設(shè)問方式大有不同。本題意在考查平拋運(yùn)動規(guī)律、豎直上拋運(yùn)動、運(yùn)動的合成和分解等知識的靈活運(yùn)用。考生若用斜拋運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行求解，反而會顯得復(fù)雜，可見本題不僅重在考查考生應(yīng)用運(yùn)動的合成與分解解決問題的能力，而且更為本質(zhì)的是考查考生靈活應(yīng)用等效法的能力，很好地體現(xiàn)了對課程標(biāo)準(zhǔn)要求的過程與方法目標(biāo)的考查。

考向四：萬有引力定律的綜合應(yīng)用

圖6

例4(清華大學(xué)等五校)如圖6所示，衛(wèi)星攜帶一探測器在半徑為3R(R為地球半徑)的圓形軌道上繞地球飛行。在a點(diǎn)，衛(wèi)星上的輔助動力裝置短暫工作，將探測器沿運(yùn)動方向射出(設(shè)輔助動力裝置噴出的氣體質(zhì)量可忽略)。若探測器恰能完全脫離地球的引力，而衛(wèi)星沿新的橢圓形軌道運(yùn)動，其近地點(diǎn)b距地心的距離為n R(n略小于3)，求衛(wèi)星與探測器的質(zhì)量比。(質(zhì)量分別為M、m的兩個質(zhì)點(diǎn)相距為r時的引力勢能為，式中G為引力常量)

解析：設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，探測器質(zhì)量為m'，當(dāng)衛(wèi)星和探測器一起繞地球做圓周運(yùn)動時，由萬有引力定律和牛頓第二定律得，解得。設(shè)分離后探測器速度為v'，探測器剛好脫離地球引力應(yīng)滿足，解得。設(shè)分離后衛(wèi)星速度為u，近地點(diǎn)速度為vb，則，nRvb=3Ru，解得。由分離前后動量守恒得(m+m')v=mu+m'v'，解得。

點(diǎn)評：本題以衛(wèi)星拋射探測器為背景，意在考查萬有引力定律、動能定理、動量守恒定律等知識。試題注重對基本模型和基礎(chǔ)概念理解程度的考查，要求考生在理解的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用。難度略高于高考難度。

考向五：動能定理

圖7

例5(北約)某車輛在平直路面上進(jìn)行行駛測試，測試過程中速度v(帶有正負(fù)號)和時間t的關(guān)系如圖7所示。已知該過程中發(fā)動機(jī)和車內(nèi)制動裝置對車輛所做總功為零，車輛與路面間的動摩擦因數(shù)μ為常量，試求μ值。數(shù)值計算時，取重力加速度g=10m/s2。

解析：對車輛正方向運(yùn)動的整個過程應(yīng)用動能定理得W1+Wz1-μmg x1=0-，對車輛負(fù)方向運(yùn)動的整個過程應(yīng)用動能定理得W2+Wz2-μmg x2=0，二式相加得W1+Wz1-μmg x1+W2+Wz2-μmg x2=。根據(jù)題意知W1+Wz1+W2+Wz2=0，所以。由速度—時間圖像知v0=2m/s，x1=21m，x2=6m，解得。

點(diǎn)評：本題以車輛在平直路面上進(jìn)行行駛測試切入，意在考查動能定理、速度—時間圖像等知識。解答本題時，正確應(yīng)用物理規(guī)律，規(guī)范解題過程，認(rèn)真運(yùn)算，顯得特別重要。難度與高考難度相當(dāng)。

考向六：動量守恒定律

例6(北約)平直鐵軌上停著一節(jié)質(zhì)量M=2m的小車廂，可以忽略車廂與水平鐵軌之間的摩擦。有N名組員沿著鐵軌方向列隊前行，另有1名組長在最后，每名組員的質(zhì)量同為m。

(1)當(dāng)組員和組長發(fā)現(xiàn)前面車廂時，都以相同速度v0跑步，每名組員在接近車廂時又以2v0速度跑著上車坐下，組長卻因跑步速度沒有改變而恰好未追上車，試求N。

解析：(1)設(shè)組員全部上車后，車的速度為v，由動量守恒定律得2Nmv0=(M+N m)v，解得。組長恰好未能追上車，必有v=v0，解得N=2。

(2)設(shè)第一名組員離開后車的速度為v1，第二名組員離開后車的速度為v2，由動量守恒定律得(M+2m)v0=(M+m)v1+m(v1+u)，即4v0=4v1+u，解得。同理得(M+m)v1=Mv2+m(v2+u)，即3v1=3v2+u，解得?？墒菇M長也能追上車，要求v2＜，即，解得。為了計算臨界情況，取則，由能量守恒定律得。