數(shù)學(xué)工具在高中物理運動學(xué)中的運用

■周建中

在高中物理運動學(xué)的學(xué)習(xí)中，物理量間的關(guān)系常用函數(shù)表達式展現(xiàn)，先將函數(shù)中的變量物理化，再結(jié)合函數(shù)的極值求解，將函數(shù)圖像中的截距、斜率、與坐標(biāo)圍成的面積等數(shù)學(xué)量賦予物理意義，才能完成定量分析或?qū)εR界、極值問題的求解。學(xué)會運用數(shù)學(xué)工具能使物理情境更清晰，過程分析更簡捷。

一、掌握常見運動圖像中的含義

1.位移—時間(s-t)圖像：反映的是運動物體的位置隨時間的變化關(guān)系，位置的變化即位移。對于矢量問題，常選取一個正方向，與正方向相反的矢量表示為負(fù)值。因此在二維坐標(biāo)中只能反映直線運動中的位移—時間關(guān)系。同理，二維坐標(biāo)中的速度—時間圖像、加速度—時間圖像也只能反映直線運動中的規(guī)律。位移—時間圖像的縱軸截距表示物體的初位置，某點切線斜率大小反映該點速度，若斜率為負(fù)值即速度方向為負(fù)方向。

2.速度—時間(v-t)圖像：反映的是直線運動物體的速度隨時間的變化規(guī)律，對于變速運動物體可根據(jù)圖像清楚表述物體的速度變化。圖像中某點切線斜率表示加速度，圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積表示在此段時間內(nèi)的位移。若同一坐標(biāo)中描繪出兩個物體的運動圖像，則可以比較出任一時刻兩物體的速度大小，若已知初位置，也可判斷出兩物體間距的變化。

3.其他常見運動圖像：加速度—時間(a-t)圖像，反映加速度隨時間的變化關(guān)系，與坐標(biāo)軸圍成的面積反映此段時間速度的變化量;勻變速直線運動的v2-s圖像，為一條斜線，斜率k=2a。

二、數(shù)學(xué)工具在追及相遇問題中的運用

兩個運動相結(jié)合構(gòu)成的追及相遇問題屬于運動學(xué)中的常見問題。求解此類問題，可以從物理角度出發(fā)，圍繞速度相等這一臨界條件建立位移關(guān)系，從而求解出相遇或避免撞擊的條件;也可以從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，根據(jù)位移差與時間的函數(shù)關(guān)系求解極值得出結(jié)果，運用數(shù)學(xué)方法的求解過程簡潔明了。

例1一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時，汽車以3m/s的加速度開始行駛，恰在此時一輛自行車以6m/s的速度從后邊趕來并勻速駛過路口。則汽車從路口啟動后，在追上自行車前經(jīng)多長時間兩車相距最遠(yuǎn)?此時距離是多少?

解：(1)物理解析法。汽車啟動后速度由零逐漸增大，而自行車的速度是定值，當(dāng)汽車的速度小于自行車的速度時，兩車的距離將越來越大，在汽車的速度增加到等于自行車的速度后，兩車的距離將縮小，因此兩車的速度相等時兩車相距最遠(yuǎn)。有v汽=at=v自，解得t=，最大距離。

(2)數(shù)學(xué)極值法。設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)時間t兩車相距最遠(yuǎn)，則x=x自-。由二次函數(shù)求極值條件可知，當(dāng)t=2s時，函數(shù)有極大值，即兩者相距最遠(yuǎn)，最大距離xmax=6m。

圖1

(3)圖像法。作出自行車和汽車的v-t圖像，如圖1所示，圖像與橫軸所圍的面積表示位移的大小。相遇前，兩車的速度相等時，自行車的位移(矩形的面積)與汽車的位移(三角形的面積)之差達最大，所以。

三、數(shù)學(xué)工具在分析運動學(xué)圖像時的應(yīng)用

在運動學(xué)圖像問題中，應(yīng)先看清橫軸、縱軸的物理意義，再結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)律尋求它們間的關(guān)系。如在位移—時間圖像中，勻速直線運動為一條直線，縱軸截距表示起點位置，斜率表示速度;勻變速直線運動為拋物線，某處切線斜率表示速度。通過這些數(shù)學(xué)規(guī)律能簡捷地找到未知物理量。

圖2

例2A、B兩物體沿同一方向運動，它們的v-t圖像如圖2所示，下列判斷正確的是( )。

A.在t1時刻前，物體B始終在物體A的前面

B.在0～t1時間內(nèi)，物體B的位移比物體A的位移大

C.在t1時刻前，物體B的速度始終比物體A的速度增加得快

D.在t1時刻兩物體不可能相遇

解：由v-t圖像與橫軸圍成的面積表示位移可知，0～t1時間內(nèi)物體B的位移大于物體A的位移，選項B正確;因為不明確兩物體的初始位置，所以不能確定兩物體在運動過程中的位置關(guān)系，選項A、D錯誤;根據(jù)斜率表示加速度可知，物體B的加速度先大于物體A的加速度，后小于物體A的加速度，選項C錯誤。選B。

四、建立函數(shù)關(guān)系式求解問題

圖3

在一些物理問題中，物理量的關(guān)系具有一定的隱蔽性和迷惑性，此時需通過數(shù)學(xué)工具尋求量值關(guān)系，函數(shù)關(guān)系明確后，物理規(guī)律便一目了然。

例3一個質(zhì)點由靜止開始沿直線運動，速度隨位移變化的圖像如圖3所示，下列說法中正確的是( )。

A.質(zhì)點做勻變速直線運動

B.質(zhì)點做勻加速直線運動

C.質(zhì)點做加速度逐漸減小的加速運動

D.質(zhì)點做加速度逐漸增大的加速運動

解：設(shè)v與s滿足關(guān)系式v=ks，則Δv=，即a=kv，結(jié)合質(zhì)點的v-s圖像可清晰得出質(zhì)點的加速度不斷增大。選D。

結(jié)語：在物理學(xué)習(xí)中學(xué)會靈活運用數(shù)學(xué)工具，將數(shù)學(xué)中的變量賦予物理含義顯得尤為重要，在運動學(xué)中，利用函數(shù)極值、不等式的規(guī)律求解物理問題更是常見的方法。