太陽位于正東方位的數(shù)學(xué)分析與太陽視運動儀演示

汪和平 呂晨亮

摘 ?要 地理教學(xué)中通常運用一個錯誤的假設(shè)，即：地方時6時，太陽位于正東方向。通過數(shù)學(xué)分析，得出地球上任意緯度地區(qū)太陽能否出現(xiàn)在正東方位以及位于正東方位的時刻。運用太陽視運動儀，可以準(zhǔn)確直觀地演示地球上任意緯度地區(qū)太陽能否位于正東方位、位于正東方位的時刻、太陽視運動規(guī)律等。

關(guān)鍵詞 中學(xué)地理;太陽視運動儀;太陽視運動;正東方位;地球運動

中圖分類號：G633.55 ? ?文獻標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2019）11-0086-03

1 引言

中學(xué)地理教學(xué)通常以教材中北緯40°地區(qū)太陽視運動軌跡圖為參考，如圖1所示。春分、秋分日，太陽從正東升起，正西落下;夏至日，太陽自東北升起，西北落下;冬至日，太陽自東南升起，西南落下。通常運用一個粗略估計：地方時6時，太陽位于正東方位，如圖1中豎直線所示為地方時6時時間線。這給地理教學(xué)和人們認(rèn)識自然規(guī)律帶來很多不便[1]。

太陽能否出現(xiàn)在正東或正西方位？何時出現(xiàn)在正東或正西方位？可以通過進行數(shù)學(xué)分析，同時運用太陽視運動儀，準(zhǔn)確直觀演示不同緯度地區(qū)不同季節(jié)（即太陽直射不同緯度）太陽能否位于正東方位及位于正東方位的時刻并獲得一些規(guī)律。

2 太陽位于正東方位時刻的數(shù)學(xué)分析

如圖2所示，ENWS為觀測地A處地平面，當(dāng)太陽光線DA和正南方SA或正北方NA的夾角為90°時，太陽即位于正東或正西方位，其中D位于天頂除外。

如圖3所示，設(shè)地球半徑為R，地球O的球面上過觀測地A的經(jīng)線與赤道交于G點;設(shè)某日太陽直射地球上B點，過B的經(jīng)線與赤道交于H點。設(shè)∠AOG=φ，為觀測地緯度，-90°≤φ≤90°。若A地在北半球，則φ>0;若A在南半球，則φ<0?！螧OH=δ為太陽直射點緯度，

-23°26′≤δ≤23°26′。設(shè)∠HOG=t為太陽時角，t也為A地與B點的經(jīng)度差，每15°表示1小時，t=0表示地方時正午。與過A地的經(jīng)線相切于A的單位向量AK指示A地正南或正北，AK也是A地地平圈內(nèi)方向向北或向南的單位向量（圖2）。

以O(shè)為原點，以O(shè)G所在直線為x軸，地軸ON所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz。則AK=（-sinφ，0，cosφ），OB=（Rcosδcost，Rcosδsint，Rsinδ），為太陽光線的方向向量。由于照射地球的每一束太陽光線互相平行，若太陽光線與向量AK垂直，即∠DAK=90°時，則太陽位于正東或正西方位，此時AK與OB垂直，即AK·OB=

-Rsinφcosδcost +Rcosφsinδ=0，得。

1）若觀測地與太陽直射點位于同一半球，且觀測地的

|φ|低于直射點的|δ|時，函數(shù)無意義，太陽不會位于正東或正西方向。如?？诘貐^(qū)（20°N），φ=20°，夏至日太陽直射北回歸線，δ=23°26′，太陽不會出在正東方位，太陽始終在北面的天空中。

2）若觀測地與太陽直射點位于同一半球，且觀測地的

|φ|大于直射點的|δ|時，0

/15°時，太陽位于正東方位;地方時12+

/15°時，太陽位于正西方位。如北京地區(qū)（40°N），夏季太陽直射北半球，太陽從東北方向升起，上午經(jīng)過正東方位，正午在南面的天空中。

3）若觀測地與太陽直射點位于不同半球，cost<0，太陽不會出現(xiàn)在正東方位，且日出遲于地方時6時。如北京地區(qū)冬季，太陽直射南半球，太陽在東南方向日出，一天中太陽始終在南面的天空上，不會出現(xiàn)在正東方位，日出時間晚于6時。

4）二分（春分、秋分）日，太陽直射赤道，δ=0°，tan0°=0，無論φ（φ≠90°）取何值，cost=0，得t=

90°，即全球各地（兩極除外）均是6時在正東日出，18時在正西落下。

特別地，除二分日外的任何季節(jié)與任何觀測地，地方時6時太陽均不在正東方位。

5）當(dāng)太陽直射半球（夏半球）的高緯度地區(qū)（高于直射點緯度），φ→90°，tanφ→+∞，→0，t→90°，緯度越高，太陽處于正東方位的時間越接近于6時。

6）在夏半球的低緯度地區(qū)（高于直射點緯度），φ→

0°，tanφ→0，→1，t→0°，緯度越低，太陽處于正東方位的時間越接近于12時。

7）當(dāng)直射點緯度δ等于觀察地緯度φ時，cost=1，t=0，即太陽在地方時12時直射該地，即太陽不會位于正東或正西方位，只有正午時位于天頂。

3 運用太陽視運動儀直觀演示

可以計算地球上不同緯度地區(qū)上午6時的太陽方位角與高度角，以及太陽位于正東位置時的時刻與高度角[2]，本文不再贅述。

運用太陽視運動儀可以直觀演示地球上不同緯度地區(qū)不同季節(jié)中太陽能否位于正東或正西方位。若太陽能出現(xiàn)在正東或正西方位，從太陽視運動儀中可以直接讀出太陽位于正東方位的時刻與高度，也可以直接讀出不同緯度地區(qū)不同時節(jié)地方時6時太陽在天空中的位置（方位角與高度角）[3]。

圖4所示太陽視運動儀，某地一年四季中每一天的太陽視運動軌跡為相互平行的緯線圓，太陽視運動軌跡被24條地方時時間線平均分割，某一天中太陽是沿著或者平行于圖中“不同直射點時的視運動軌跡”中的某條軌跡運動，若太陽位于東西圈，則表示太陽位于觀測正東或正西方位（天頂除外）[4]。地平圈將天球平分為日半球與夜半球，在太陽視運動軌跡與地平圈的交點處可以讀取日出時刻與方位。旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)太陽視運動軌跡所在的球面，可以觀測不同緯度地區(qū)的太陽視運動的準(zhǔn)確規(guī)律[5]。

1）圖4所示太陽視運動儀是觀測地為北緯30°的情形，從太陽視運動儀中太陽直射不同緯度的視運動軌跡可以直觀讀出：夏至日，太陽在9：24位于正東方位，高度為52.9°，而上午6時，太陽位于東偏北20.6°、高度為11.5°的天空中;二分日，太陽在正東升起，日出時間為地方時6時;冬至日，太陽始終位于觀測地南面天空，不會出現(xiàn)在正東的位置;夏半年太陽直射點越接近北回歸線，6時的太陽位置越高，方位越偏北，太陽位于正東的時刻越晚，位于正東的位置越高。

2）圖5所示太陽視運動儀是觀測地為北緯10°的情形，從太陽視運動儀不同直射緯度的太陽視運動軌跡比較中可以直觀讀出：夏至日，太陽始終在北面的天空上，不會出現(xiàn)在正東;二分日，太陽在正東升起，日出時間為6時;冬至日，太陽始終位于觀測地南面天空，不會出現(xiàn)在正東的位置。

夏半年太陽直射點緯度小于北緯10°時，太陽才有可能出現(xiàn)在正東位置，直射點緯度越高（小于北緯10°），6時的太陽位置越高，方位越偏北，太陽位于正東的時刻越晚，位于正東的位置越高。

太陽直射點在北緯10°時，只有正午時太陽位于天頂，其余時間太陽均位于北面的天空中。

3）調(diào)節(jié)太陽視運動儀在不同緯度觀測地，可以直觀發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

①對于北半球地區(qū)，冬半年太陽始終在南面的天空上，不會出現(xiàn)在正東方位;

②夏半年，若觀測地緯度大于太陽直射點緯度，太陽從觀測地東北方向升起，經(jīng)過正東方向到南面天空中，正午在南面天空中。

若觀測地緯度小于太陽直射點緯度，太陽始終在北面天空中，不會出現(xiàn)在正東方位。若觀測地緯度等于太陽直射點緯度，則正午時分太陽位于天頂。由球的對稱性知，南半球地區(qū)也有相應(yīng)規(guī)律。

對于赤道地區(qū)，日出方位與太陽直射點緯度相同，由于太陽視運動軌跡與地平圈垂直，二分日太陽在東西圈上運動，上午始終在正東方位。二分日以外的季節(jié)里，太陽不會出現(xiàn)在正東位置。赤道地區(qū)日出時間均為6時。

對于二分日，全球正東日出，日出時間為6時。除二分日外，太陽都不是從正東日出，6時也不會在正東方位。

從太陽視運動儀中可以直觀看到，6時時間線與地平圈所成的角度等于觀測地緯度。夏半年6時時間線在地平圈以上，6時太陽在天空中。冬半年6時時間線在地平圈以下，6時未日出。6時時間線與地平圈交于0°視運動軌跡線，即只有二分日，太陽于地方時6時位于正東方位;其余時間，6時太陽都不會位于正東方位。除兩極外，其余地區(qū)6時時間線始終不與地平圈垂直，緯度越高的地區(qū)夾角越大，夏半年6時太陽高度角越大。

4 結(jié)語

總之，運用太陽視運動儀可以準(zhǔn)確直觀地演示太陽視運動軌跡，研判太陽視運動規(guī)律，準(zhǔn)確讀取任意緯度觀測地任意季節(jié)任意時刻的太陽高度角與方位角，有效地幫助人們理解因地球運動而帶來的太陽視運動中空間位置關(guān)系的變化與轉(zhuǎn)換，清楚地認(rèn)識生活中的自然現(xiàn)象，而不必粗略估計[6]。

參考文獻

[1]程安良.地方時6時太陽一定位于正東方向嗎[J].新課程，2015（6）：40-41.

[2]汪和平.太陽高度角與方位角的計算與研判[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（10）：62-65.

[3]汪和平.太陽視運動儀的原理、結(jié)構(gòu)、功能及應(yīng)用[J].中國教育技術(shù)裝備，2016（13）：44-47.

[4]呂晨亮，汪和平.太陽直射點緯度移動速度的數(shù)學(xué)分析與儀器演示[J].地理教學(xué)，2018（9）：48-49.

[5]汪和平.多功能太陽視運動儀[J].中國科技教育，

2018（7）：30-31.

[6]汪和平，呂晨亮.對“太陽視運動”教學(xué)冷遇的反思[J].中學(xué)地理教學(xué)參考，2017（7）：47-48.