基于均勻化的縫合夾芯復合材料建模方法研究

姜 東，朱東輝，范芷若，廖 濤

(1.南京林業(yè)大學 機械電子工程學院，南京210037；2.東南大學 空天機械動力學研究所， 南京211189)

縫合式夾芯復合材料是在傳統(tǒng)三明治夾芯復合材料厚度方向使用高強度纖維縫線進行縫紉，再將復合材料面板、芯層以及縫合線固化形成的一體化結(jié)構(gòu)[1-2]，這種方式將顯著提高夾芯板性能[3]，已被廣泛應(yīng)用于航空、航天等領(lǐng)域[4]。準確預測宏觀力學性能是縫合式夾芯復合材料動力學建模的基礎(chǔ)。

針對縫合式夾芯復合材料宏觀彈性性能的研究主要有試驗測試[5]和數(shù)值仿真[6]。試驗是獲取材料力學性能最直接的方法，Wang 等[1]采用三點彎試驗方法研究了6 種縫合夾芯材料的彈性性能，結(jié)果表明增加縫合密度有助于提升抗彎剛度；Singh 和Saponara[8]根據(jù)ASTM試驗標準，測試了縫合線與面板夾角分別為30°、60°和90°時材料的抗彎剛度和芯層剪切性能；Che等[8]采用準靜態(tài)壓縮試驗和剪切試驗研究了縫合工藝對應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的影響。由于試驗工況、試件設(shè)計加工的復雜性等，導致試驗有一定的局限性，仿真方法成為了獲取復合材料宏觀力學性能的有效補充。

針對復合材料細觀代表性體積單元進行分析，提取反映復合材料組分信息、編織形式等特點的單胞模型，采用均勻化方法進行等效[9]，可以得到復合材料有效彈性參數(shù)[10-11]。結(jié)合試驗數(shù)據(jù)，將預測結(jié)果作為初值進行參數(shù)識別，可以得到更加準確的復合材料彈性參數(shù)[12-13]。姜東等[14-15]根據(jù)等效板理論以及三明治夾芯板理論將芯層等效為正交各向異性板，建立了含膠層的三明治夾芯結(jié)構(gòu)有限元模型。馬元春[4]建立了縫合式夾芯復合材料串并聯(lián)單胞模型，基于理論假設(shè)，得到等效彈性參數(shù)預測公式。Ai[16]在單胞有限元模型基礎(chǔ)上，研究了不同縫合角度對縫合式結(jié)構(gòu)等效彈性性能的影響，通過單胞模型獲取準確的彈性參數(shù)，同樣適用于縫合式夾芯結(jié)構(gòu)。燕瑛等[17]將縫紉線簡化為工字型結(jié)構(gòu)，馬健等[18]使用多尺度的方法將泡沫層等效為正交各向異性層，根據(jù)剛度折減的方法使用殼單元模擬面板，建立等效模型。Wang[19]建立的單胞模型為上下面板、芯層以及縫合線組成的混合單胞模型。Lascoup[20]等建立了考慮縫合線真實形貌的單胞模型。

基于均勻化理論，研究縫合式夾芯復合材料結(jié)構(gòu)的動力學建模方法，將縫合后的面板和芯層分別進行等效，建立縫合式夾芯復合材料層合板等效模型，通過等效前后結(jié)構(gòu)動態(tài)特性對比，驗證了建模方法的準確性。在縫合式單胞模型的基礎(chǔ)上，研究了縫合線密度對結(jié)構(gòu)性能的影響。

1 均勻化理論

復合材料由多個組分構(gòu)成，是非均勻的連續(xù)體，表示為M，如圖1所示。由固體力學可知，這種非均質(zhì)連續(xù)體在R域中滿足運動方程與平衡方程

其中：σij、εkl分別為應(yīng)力、應(yīng)變張量為在R域中所受的體力，ρ為體密度，Cijkl為材料本構(gòu)方程的彈性張量。連續(xù)體在邊界Sσ、Su上的基本邊界條件與自然邊界條件滿足式(2)：

圖1 非均質(zhì)材料M在R域內(nèi)所受邊界條件

其中：nj為垂直于Sσ邊界的單位向量為牽引力。實現(xiàn)均勻化的關(guān)鍵在于得到復合材料的等效剛度。由上式可知通過邊界條件可以由單胞模型求解反映周期性結(jié)構(gòu)宏觀彈性性能的問題。

圖2 周期性材料均勻化過程

Hill[21]從應(yīng)變能角度指出當給定邊界條件u使得在單胞體積內(nèi)σij,j=0，區(qū)域內(nèi)的平均應(yīng)變能可通過平均應(yīng)力和應(yīng)變求得

式（3）為Hill能量平均定理，表明均勻化宏觀連續(xù)體與微觀尺度單胞的應(yīng)變能相等，其中σm、εm為宏觀應(yīng)力和應(yīng)變張量。σ、ε分別為單胞的微觀應(yīng)力、應(yīng)變張量。圖2為周期性材料均勻化過程。

2 等效方法

在縫合式夾芯結(jié)構(gòu)中找出有規(guī)律、具有代表性的體積單元用以反映結(jié)構(gòu)整體的宏觀性能。該代表性體積單元可體現(xiàn)宏觀整體結(jié)構(gòu)的組分信息，被稱之為單胞模型。在單胞模型上施加位移邊界條件再通過計算可以得到等效材料參數(shù)[22-23]。由于縫合式夾芯復合材料結(jié)構(gòu)上下面板與內(nèi)部氣凝膠復合材料面板材料參數(shù)之間差異較大，因此將單胞模型取為3層結(jié)構(gòu)，再將上下面板、芯層部分等效為3層均質(zhì)的正交各向異性板，等效過程如圖3所示。

假設(shè)縫合式復合材料具有正交各向異性，其具有3個正交的性能對稱面。正交各向異性的復合材料的本構(gòu)關(guān)系可以表示為以下形式

其中：σm、εm分別為宏觀應(yīng)力和宏觀應(yīng)變。C為彈性剛度矩陣，其求逆得到柔度矩陣S

圖3 縫合式夾芯復合材料單胞等效流程圖

由柔度矩陣S系數(shù)可以求得復合材料的彈性參數(shù)：E1、E2、E3、ν12、ν23、ν31、G12、G23、G31。柔度矩陣中元素與彈性參數(shù)之間關(guān)系如下

本文將選取的縫合式單胞模型分為3層，即上、下面板、夾芯層以及結(jié)構(gòu)內(nèi)部的縫合線。對3 個部分分別施加周期性位移邊界條件進行等效，得到3塊均質(zhì)的正交各向異性板，通過節(jié)點重合最終得到層合板模型。由正交各向異性本構(gòu)方程式(4)可知，若施加的位移邊界條件可以使得等式右側(cè)應(yīng)變分量為單位向量，剛度矩陣的一列等于所對應(yīng)的應(yīng)力分量，即結(jié)構(gòu)在施加6個位移邊界條件如表1所示。分別求得單元中的應(yīng)力并做體積平均如式(7)所示可以得到平均剛度矩陣。

單胞的3 個部分均為對邊平行的六面體形狀，以芯層部分為例闡述施加周期性位移邊界條件方法。圖4所示芯層長寬高尺寸分別為x1×y2×z3。左右、后前以及上下6個面分別標為A、B、C、D、E、F。

圖4 夾芯層部分幾何示意圖

以x方向的位移邊界條件為例，對夾芯層邊界A施加固定約束(0,0,0)，邊界B在x方向上的位移為(x1,0,0)。其他各邊界x方向自由度放開，y、z方向約束即(_,0,0)。這樣的位移邊界條件可以使得本構(gòu)方程中應(yīng)變分量為[ε1m=1,0,0,0,0,0]。再通過應(yīng)力平均法求得應(yīng)變列向量即可求得剛度矩陣的第一列元素。

3 縫合式夾芯復合材料等效

3.1 研究對象

縫合式復合材料板為三明治夾芯結(jié)構(gòu)。包括上、下面板以及夾芯層，在厚度方向采用纖維材料縫合而成。復合材料幾何模型與縫合線分布如圖5所示。

圖5 縫合式夾芯復合材料

表1 周期性位移邊界條件

其尺寸為400 mm×200 mm×11.5 mm，縫合線步長、直徑分別為15 mm、1 mm?？p合形式如圖5所示。結(jié)構(gòu)內(nèi)部的縫合線為雙股縫合線，而外部為單股。上、下面板均為復合材料，上面板厚度為1.0 mm，下面板厚度為0.5 mm。芯層材質(zhì)為氣凝膠，其厚度為10 mm。

縫合式夾芯復合材料中各組分材料參數(shù)如表2至表4所示，其中1、2、3 分別指代x、y、z3 個方向。結(jié)構(gòu)中縫合線為各向同性材料，上下面板均等效為正交各向異性。根據(jù)不同組分賦予材料屬性以完成有限元模型的建立。

縫合線使得層合結(jié)構(gòu)的面板與芯層牢牢固定，增加了夾心板橫向性能，不易分層，也提高了厚度方向的拉伸模量、抗拉強度以及整體抗沖擊等力學性能。但縫合線的作用對結(jié)構(gòu)動態(tài)性能的影響仍有待評估。本文使用均勻化方法研究縫合線對結(jié)構(gòu)性能的影響。此外，考慮到建立縫合式夾芯復合材料精細模型計算效率低，在復雜結(jié)構(gòu)、載荷工況中適用性不高，因此需要對縫合式夾芯復合材料的等效建模方法進行進一步研究。

表2 面板材料參數(shù)

表3 氣凝膠材料參數(shù)

表4 縫合線材料參數(shù)

3.2 面板等效

上下面板和芯層力學材料參數(shù)量級差異較大，將3層結(jié)構(gòu)等效為單層均質(zhì)的各向異性材料板是不合理的。

因此將縫合式夾芯結(jié)構(gòu)仍分為3層分別進行剛度等效。為保證有限元網(wǎng)格的有效性，按照表1列出的邊界條件對單胞有限元模型進行約束定義，分別計算6 種邊界條件下結(jié)構(gòu)宏觀應(yīng)力，并代入復合材料柔度陣。

對于受拉工況，按照本構(gòu)方程，切應(yīng)力應(yīng)該為零，實際計算時實體單元中存在遠小于正應(yīng)力的切應(yīng)力，因此可以忽略不計。最終可以得到等效剛度矩陣C為

將剛度矩陣求逆得到柔度矩陣，再代入式(6)，根據(jù)柔度矩陣與彈性參數(shù)之間的關(guān)系即可得到等效參數(shù)如表5所示。由于面板自身剛度足夠大，同時縫合線所占的體積比例較小，因此等效為無縫合線面板后材料參數(shù)與初始材料參數(shù)差距并不大。

3.3 夾芯層等效

夾芯層部分同樣施加周期性位移邊界條件，提取每次施加邊界條件下單元中的應(yīng)力數(shù)據(jù)，并作體積平均。得到的芯層等效剛度矩陣如下

同樣地將剛度矩陣求逆得到柔度矩陣，再代入關(guān)系式(6)，計算得到等效參數(shù)如表6所示。氣凝膠的剛度遠小于縫合線剛度，經(jīng)等效后芯層等效材料參數(shù)與氣凝膠材料性能相差較大。E3數(shù)值相比面內(nèi)彈性模量變化較大表明了縫合線對于提高板厚方向抗拉剛度有顯著作用。

3.4 動態(tài)特性對比驗證

采用本文方法將縫合式夾芯板結(jié)構(gòu)等效為層合板模型，分為夾芯層以及上下面板3層，等效后的模型為均質(zhì)的無縫合線模型，將此模型前6 階模態(tài)頻率的計算結(jié)果與精細化模型、等效單層板模型計算結(jié)果進行對比。其中精細化模型為根據(jù)等效前的夾芯材料幾何參數(shù)建模得到，即采用殼單元對上、下面板進行建模，使用實體單元對夾芯層建模，縫合線則采用一維桿單元進行模擬，有限元模型如圖6所示。

表5 剛度等效后的材料參數(shù)

表6 剛度等效后的夾芯層材料參數(shù)

圖6 縫合結(jié)構(gòu)有限元模型

單層板模型通過采用均勻化方法將夾芯材料等效為單層板得到。如表7為精細模型與等效模型的模態(tài)頻率對比，層合板模型的模態(tài)頻率與精細化模型之間的誤差均在5%以內(nèi)，平均誤差在3%以內(nèi)，表明層合板模型可準確反映夾芯復合材料結(jié)構(gòu)的彈性性能；單層板等效模型基頻誤差為8.7%，誤差較大。因此，當縫合式夾芯復合材料應(yīng)用于復雜結(jié)構(gòu)、載荷工況中時，可以使用層合板模型進行替代，以達到簡化模型、提高計算效率的目的。

4 縫合密度對等效參數(shù)影響

為進一步研究不同縫合密度對縫合式結(jié)構(gòu)彈性力學性能的影響，基于上述均勻化方法，建立如圖7所示縫合密度分別為30×15、30×10、10×10的3種不同有限元模型開展研究。

圖7 3種不同縫合線密度的單胞模型

對上述3種不同縫合密度下的單胞模型施加周期性邊界條件，計算層合板模型面板以及芯層的等效彈性參數(shù)，如表8所示。

表7 精細模型與等效模型的模態(tài)頻率對比

表8 等效彈性參數(shù)

通過均勻化方法將精細化模型等效為層合板模型?？p合密度增加對層合板模型各組成部分的面內(nèi)等效彈性模量E1、E2影響較?。坏珚A芯層厚度方向等效彈性模量E3有明顯增大。均勻化結(jié)果表明縫合線能使夾芯彈性性能有一定提升。對于上、下面板來說，由于面板自身彈性模量較大，縫合線對其剛度影響不大；對于夾芯層，縫合線可以有效提升其厚度方向彈性模量。

5 結(jié)語

通過對單胞結(jié)構(gòu)中的上下面板、芯層分別施加周期性位移邊界條件，根據(jù)應(yīng)力平均獲得相應(yīng)的等效彈性參數(shù)，將縫合式夾芯結(jié)構(gòu)等效為上中下3 層均質(zhì)的正交各向異性層合板，建立準確的縫合式夾芯復合材料等效動力學模型。研究縫合線密度對材料力學性能的影響，縫合密度的改變對縫合式夾芯復合材料面內(nèi)性能影響較小，對夾芯層厚度方向彈性性能影響較大。