基于擴(kuò)展有限元和極限學(xué)習(xí)機(jī)預(yù)測(cè)斜裂紋板疲勞壽命*

宋威震，楊慶勇，倪 偉，胡永敢，何水龍，蔣占四

(桂林電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

Paris[1]第一次提出了疲勞裂紋增長(zhǎng)的模型用于疲勞壽命，在Paris模型中，需要精確的應(yīng)力強(qiáng)度因子去預(yù)測(cè)裂紋增長(zhǎng)和疲勞壽命[2]。應(yīng)力強(qiáng)度因子[3]通過(guò)裂紋的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算，雖然有很多方法來(lái)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，但數(shù)值方法是用的最多的。數(shù)值方法比如：有限元法[4]、無(wú)網(wǎng)格伽遼金法[5]、邊界元法[6]。在這些方法中有限元法是用得最多和最有力的工具，但是有限元法在處理像裂紋這種強(qiáng)不連續(xù)問(wèn)題時(shí)，必須將裂紋尖端設(shè)置為單元結(jié)點(diǎn)，使得裂紋面和單元的邊重合，并且需要在裂紋尖端附近的高應(yīng)力區(qū)劃分很高密度的網(wǎng)格。

為了解決有限元法這種問(wèn)題，Belytschko[7]教授和其課題小組提出了擴(kuò)展有限元法。從提出以后，該法已經(jīng)被許多研究人員應(yīng)用于斷裂力學(xué)問(wèn)題的模擬。

前歐拉法是一種經(jīng)典的預(yù)測(cè)模型，是疲勞裂紋擴(kuò)展的一種常用方法，然而，前歐拉法存在一個(gè)缺點(diǎn)，例如它需要一個(gè)小的步長(zhǎng)來(lái)保持精度[8]。近似模型可以解決這一問(wèn)題，如多項(xiàng)式響應(yīng)面[9]、Kriging[10]、支持向量機(jī)[11]、極限學(xué)習(xí)機(jī)[12-13]等。前歐拉法預(yù)測(cè)裂紋疲勞壽命，缺點(diǎn)是步長(zhǎng)小精度低。如果只用中點(diǎn)法積分Paris模型預(yù)測(cè)裂紋疲勞壽命，當(dāng)中點(diǎn)處的裂紋尺寸未知時(shí)，無(wú)法計(jì)算中點(diǎn)處應(yīng)力強(qiáng)度因子，用極限學(xué)習(xí)機(jī)和中點(diǎn)法相結(jié)合可以解決這一問(wèn)題。所以本文選用極限學(xué)習(xí)機(jī)和中點(diǎn)法相結(jié)合來(lái)預(yù)測(cè)裂紋板疲勞壽命。

1 疲勞壽命預(yù)測(cè)

1.1 疲勞裂紋擴(kuò)展模型

Paris創(chuàng)建了疲勞裂紋擴(kuò)展模型，并得到了廣泛的使用，本文使用Paris模型。Paris模型如下：

(1)

ΔK=Kmax-Kmin

(2)

其中，Kmax和Kmin在給定的加載循環(huán)中，在最大和最小施加應(yīng)力的位置處的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1.2 等效應(yīng)力強(qiáng)度因子

本文主要考慮斜裂紋，斜裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子存在Ι型應(yīng)力強(qiáng)度因子和ΙΙ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，即ΔKΙ和ΔKΙΙ，這時(shí)，就必須考慮等效應(yīng)力強(qiáng)度因子，本文選用Tanaka[14]提出的方法，等效應(yīng)力強(qiáng)度因子定義為：

(3)

式中，ΔKΙ和ΔKΙΙ分別是Ι型和ΙΙ型應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍。

1.3 前歐拉法

目前，裂紋擴(kuò)展問(wèn)題最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法是前歐拉法。前歐拉法為：

yn+1=yn+hf(xn,yn)

(4)

其中，h是從xn到xn+1的距離，f(xn,yn)是y(x)在xn處的斜率。因此，從xn到xn + 1的值采用xn處的斜率進(jìn)行線性近似，其只需要當(dāng)前步的數(shù)據(jù)就可以預(yù)測(cè)下一步的數(shù)據(jù)點(diǎn)，然而其需要進(jìn)行很多次的迭代運(yùn)算，運(yùn)算量大。前歐拉法還有一個(gè)缺點(diǎn)就是要維持一定的精度必須保持較小的步長(zhǎng)增長(zhǎng)。

1.4 中點(diǎn)法

有許多方法允許較大的步長(zhǎng)用于積分，本文選用中點(diǎn)法。中點(diǎn)法[15]通常比前歐拉法有更好的精度。因?yàn)樗窃诋?dāng)前點(diǎn)xn和下一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xn+1之間的中點(diǎn)處取得斜率。即xn+1/2處的斜率。公式可以表示為：

(5)

該方法的精度與h2成正比，因此，精度相同的條件下中點(diǎn)法比前歐拉法允許更大的步長(zhǎng)。

2 積分疲勞裂紋擴(kuò)展模型

2.1 疲勞裂紋擴(kuò)展模型的數(shù)值積分

本文在模擬裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，設(shè)裂紋在擴(kuò)展時(shí)步長(zhǎng)為定裂紋尺寸[8]擴(kuò)展，即固定的裂紋增量Δa=1mm、Δa=2mm。用前歐拉法積分Paris模型，步長(zhǎng)為定裂紋尺寸擴(kuò)展時(shí)，每周期疲勞壽命循環(huán)數(shù)ΔNi可以表示為:

(6)

其中，i是當(dāng)前量，Δa為裂紋增長(zhǎng)量，Ni是當(dāng)前裂紋尺寸時(shí)的循環(huán)數(shù)，Ni+1是下一裂紋尺寸時(shí)的循環(huán)次數(shù)，ΔNi為Ni和Ni+1的差值，是兩個(gè)評(píng)價(jià)點(diǎn)之間的周期數(shù)，ΔKi為循環(huán)次數(shù)Ni處的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值。

雖然前歐拉法可以用來(lái)積分Paris模型，但是使用當(dāng)前點(diǎn)的斜率預(yù)測(cè)下一個(gè)裂紋尺寸的應(yīng)力強(qiáng)度因子，將導(dǎo)致較大的誤差。而且前歐拉法存在收斂速度慢的缺點(diǎn)。因此，需要一種積分方法允許大步長(zhǎng)又不降低精度。

中點(diǎn)法用來(lái)積分Paris模型，對(duì)于裂紋擴(kuò)展時(shí)固定裂紋增量Δa，每周期疲勞壽命循環(huán)數(shù)ΔNi可以表示為：

(7)

其中，ΔKi+1/2是當(dāng)前裂紋尺寸和下一裂紋尺寸中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值。當(dāng)裂紋尺寸i+1/2處的尺寸未知時(shí)無(wú)法計(jì)算ΔKi+1/2，后面提出一種預(yù)測(cè)模型計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值使其滿足中點(diǎn)積分法。圖1為前歐拉法和中點(diǎn)法示意圖。

圖1 前歐拉法和中點(diǎn)法示意圖

2.2 基于擴(kuò)展有限元和極限學(xué)習(xí)機(jī)的預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命步驟

本文采用極限學(xué)習(xí)機(jī)工具包ELM預(yù)測(cè)裂紋在i+1/2處的應(yīng)力強(qiáng)度因子。極限學(xué)習(xí)機(jī)預(yù)測(cè)模型中D為訓(xùn)練樣本，在i+1/2處裂紋的長(zhǎng)度為測(cè)試樣本。

(8)

其中，xi為裂紋長(zhǎng)度，yi為應(yīng)力強(qiáng)度因子(由擴(kuò)展有限元法求解得到)，D作為訓(xùn)練樣本，L為樣本數(shù)。通過(guò)極限學(xué)習(xí)機(jī)得到的測(cè)試樣本輸出值即為裂紋i+1/2處對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命基本步驟：首先進(jìn)行裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的擴(kuò)展有限元迭代求解，然后根據(jù)預(yù)測(cè)模型建立裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子(擴(kuò)展有限元法獲得)的非線性關(guān)系，求取中點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度因子(即式(7)中Δki+1/2);最后，根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子與疲勞壽命的函數(shù)關(guān)系(即式(7))預(yù)測(cè)疲勞壽命循環(huán)數(shù)N。

3 數(shù)值分析

3.1 張力作用下的中心斜裂紋

圖2 張力作用下中心斜裂紋

該模型的解析解為：

(9)

a為裂紋尺寸的一半。

圖3 應(yīng)力分布σyy

圖4中，計(jì)算值是由擴(kuò)展有限元法計(jì)算得到，理論值是由式(9)計(jì)算得到。從圖4可以看出，Ι型應(yīng)力強(qiáng)度因子的增長(zhǎng)速率比ΙΙ型快。由擴(kuò)展有限元法計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子的值與理論公式計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子的值基本吻合，證明了該程序的正確性，也證明了網(wǎng)格大小劃分合適，為下面其他計(jì)算提供保障和正確性。

良肢位是為了保持肢體的良好功能而將其擺放在一種體位或姿勢(shì),是從治療護(hù)理的角度出發(fā)而設(shè)計(jì)的一種臨時(shí)性體位,能有效的固定偏癱后的關(guān)節(jié),也能預(yù)防患者在以后的生活中出現(xiàn)病理性運(yùn)動(dòng)模式[4]。通過(guò)早期對(duì)腦卒中偏癱患者進(jìn)行良肢擺放,發(fā)現(xiàn)可以有效的緩解患者的肌肉緊張,使患肢肌肉處于放松的狀態(tài),減少了患肢肌肉發(fā)生痙攣的機(jī)率,促進(jìn)患肢的血液循環(huán),有效預(yù)防偏癱后遺癥的發(fā)生,提高了患者治療的積極性和患者的生活質(zhì)量,增加了患者的護(hù)理服務(wù)滿意度,使護(hù)患關(guān)系變得更加和諧,也讓患者恢復(fù)了自信,較少了患者焦慮、抑郁的心里狀態(tài),對(duì)未來(lái)生活充滿希望。

圖4 應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋長(zhǎng)度

圖5 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度和應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖6 裂紋擴(kuò)展速率和裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度

圖7顯示的是裂紋擴(kuò)展速率和應(yīng)力強(qiáng)度因子，從圖中可以看出，應(yīng)力強(qiáng)度因子越大，裂紋擴(kuò)展速率越大。

圖7 裂紋擴(kuò)展速率和應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖8顯示的是裂紋擴(kuò)展按定裂紋增量Δa=1mm(2mm，3mm)增長(zhǎng)時(shí)，不同的裂紋增量和疲勞壽命之間的關(guān)系。從圖中可以看出，當(dāng)步長(zhǎng)(Δa的值)固定時(shí)，裂紋增量Δa為3mm，Δa為2mm，Δa為1mm時(shí)，前歐拉法(式(6))預(yù)測(cè)疲勞壽命循環(huán)數(shù)大約為29482，26505，24454。對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)值即裂紋增量Δa為0.1mm時(shí)，疲勞壽命循環(huán)數(shù)大約為21927，前歐拉法預(yù)測(cè)的誤差分別為34%，20%,11.5% 這就造成了當(dāng)定步長(zhǎng)裂紋尺寸增長(zhǎng)時(shí)，步長(zhǎng)(Δa的值)較大時(shí)，前歐拉法預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命誤差較大。

圖8 前歐拉法和疲勞壽命循環(huán)數(shù)

從圖9可以看出,當(dāng)步長(zhǎng)尺寸固定時(shí)，Δa=2mm，用極限學(xué)習(xí)機(jī)結(jié)合中點(diǎn)法預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命大約為22681，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)值Δa=0.1mm時(shí)的疲勞壽命循環(huán)數(shù)21927，誤差為3.5%，對(duì)比相同步長(zhǎng)尺寸Δa=2mm時(shí)，前歐拉法預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命為26505，誤差為20%。通過(guò)對(duì)比相同的步長(zhǎng)尺寸即裂紋增量Δa，可以看出極限學(xué)習(xí)機(jī)結(jié)合中點(diǎn)法比前歐拉法有更高的精度，在誤差方面，極限學(xué)習(xí)機(jī)比前歐拉法誤差更小，同時(shí)在大步長(zhǎng)尺寸(Δa的值較大時(shí))增長(zhǎng)時(shí)，極限學(xué)習(xí)機(jī)結(jié)合中點(diǎn)法精度仍然很高。

圖10顯示的是中心斜裂紋擴(kuò)展后的大致路徑，大致呈現(xiàn)Z形，這與文獻(xiàn)[16-18]基本一致，證明本方法程序的正確性。

圖9 兩種方法和疲勞壽命循環(huán)數(shù)

圖10 斜裂紋擴(kuò)展路徑

3.2 張力作用下的邊緣斜裂紋

(10)

圖11 張力作用下板邊緣斜裂紋

圖12顯示的是固定裂紋長(zhǎng)度a，改變傾斜角度β，Ι型應(yīng)力強(qiáng)度因子和ΙΙ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的大小變化，從圖中可以看出在19°左右，KΙ和KΙΙ在數(shù)值上相等。

圖12 應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋角度

圖13 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度和應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖14 裂紋擴(kuò)展速率和裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度

圖15顯示的是裂紋擴(kuò)展速率和應(yīng)力強(qiáng)度因子，從圖中可以看出，應(yīng)力強(qiáng)度因子越大，裂紋擴(kuò)展速率越大。

圖15 裂紋擴(kuò)展速率和應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖16顯示的是裂紋擴(kuò)展按定裂紋增量Δa=1mm(2mm，3mm)增長(zhǎng)時(shí)，不同的裂紋增量和疲勞壽命之間的關(guān)系。從圖中可以看出，當(dāng)步長(zhǎng)(Δa的值)固定時(shí)，裂紋增量Δa為3mm，Δa為2mm，Δa為1mm時(shí)，前歐拉法(式(6))預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命循環(huán)數(shù)大約為2494，2374，2293。對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)值即裂紋增量Δa為0.1mm時(shí)，預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命循環(huán)數(shù)大約為2212，前歐拉法計(jì)算的誤差分別為12.5%，7.3%,3.6% 造成了當(dāng)定步長(zhǎng)裂紋尺寸增長(zhǎng)時(shí)，步長(zhǎng)(Δa的值)較大時(shí)，前歐拉法預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命誤差較大。

圖16 前歐拉法和疲勞壽命循環(huán)數(shù)

本文同樣用了極限學(xué)習(xí)機(jī)和中點(diǎn)法相結(jié)合的方法，來(lái)預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命。結(jié)果如圖17所示。

圖17 兩種方法和疲勞壽命循環(huán)數(shù)

圖18 斜裂紋擴(kuò) 展路徑

從圖17可以看出,當(dāng)步長(zhǎng)尺寸固定時(shí)，Δa=2mm ，用極限學(xué)習(xí)機(jī)結(jié)合中點(diǎn)法預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命大約為2154，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)值的壽命循環(huán)數(shù)2212，誤差為2.7%，對(duì)比相同步長(zhǎng)尺寸Δa=2mm時(shí)，前歐拉法預(yù)測(cè)裂紋剩余疲勞壽命為2374，誤差為7.3%。通過(guò)對(duì)比相同的步長(zhǎng)尺寸即裂紋增量Δa，可以看出極限學(xué)習(xí)機(jī)結(jié)合中點(diǎn)法比前歐拉法有更高的精度，在誤差方面，極限學(xué)習(xí)機(jī)比前歐拉法誤差更小，同時(shí)在大步長(zhǎng)尺寸(Δa的值較大時(shí))增長(zhǎng)時(shí)，極限學(xué)習(xí)機(jī)結(jié)合中點(diǎn)法精度仍然很高。

圖18顯示的是邊緣斜裂紋擴(kuò)展后的大致路徑，與文獻(xiàn)[16-18]基本一致，證明本方法程序的正確性。

4 結(jié)論

針對(duì)前歐拉法在預(yù)測(cè)裂紋疲勞壽命具有小步長(zhǎng)、精度低的問(wèn)題，提出極限學(xué)習(xí)機(jī)和中點(diǎn)法相結(jié)合的方法，用于預(yù)測(cè)含裂紋板結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。進(jìn)行了兩個(gè)數(shù)值分析，數(shù)值分析結(jié)果表明，本文提出的方法進(jìn)行剩余疲勞壽命預(yù)測(cè)，精度高并且允許大步長(zhǎng)，提高精度的同時(shí)也降低了有限元計(jì)算量。